高考数学一轮复习专题二不等式3基本不等式与不等式的综合应用专题检测含解析新人教A版

PAGEPAGE4基本不等式与不等式的综合应用专题检测1.(2020山东师大附中第一次月考,12)下列不等式一定成立的是()A.lgx2+14>lgx(x>0)B.sinx+1sinx≥2(xC.x2+1≥2|x|(x∈R)D.1x2+1>1(答案C本题主要考查应用基本不等式求最值,考查的核心素养是逻辑推理.对于A,由于x2+14≥2x2·14=x,当且仅当x=12时,取“=对于B,当x∈(π,2π)时,sinx<0,sinx+1sinx≤-2,故B不正确;对于C,x2+1-2|x|=(|x|-1)2≥0恒成立,故C对于D,当x=0时,1x2+1=1,故2.(2020西南四省八校9月联考,12)若x>0,y>0,x+2y=1,则xy2x+yA.14B.15C.19答案Cxy2x+y=12y+1x,∵x>0,y>0,x+2y=1,∴1x+2y=1x+2y·1=1x+2y(x+2y)=5+2y∴12y+1x≤19,故xy3.(2020山东青岛期初调研,8)函数f(x)=x2+x+2x+4x2(x>0)A.4+22B.42C.8D.2+2答案A∵x>0,∴f(x)=x2+x+2x+4x2=x2+4x2+x+2x≥2x2·4x2+2x·2x=4+22,当且仅当x2=4x4.(2018福建厦门外国语中学模拟,10)已知实数a>0,b>0,1a+1+1b+1=1,则a+2bA.32B.22C.3D.2答案B∵a>0,b>0,∴a+1>1,b+1>1,又∵1a+1+1b+1=1,∴a+2b=[(a+1)+2(b+1)]-3=[(a+1)+2(b+1)]·1a+1+1b+1-3=1+2(b+1)a+1+a+1b5.(2018河北大名一中月考)已知关于x的不等式x2-4ax+3a2<0(a<0)的解集为(x1,x2),则x1+x2+ax1x2A.63B.233C.4答案D由题意知x1,x2是方程x2-4ax+3a2=0的两根.由根与系数的关系得x1x2=3a2,x1+x2=4a,∴x1+x2+ax1x2=4a+13a,∵a<0,∴-4a+13a≥24a·13a=433,即4a+13a故x1+x2+ax1x2的最大值为-6.(2019晋冀鲁豫名校期末联考,10)已知函数f(x)=x2ex,若a>0,b>0,p=fa2+b22,q=fa+b22,r=fA.q≤r≤pB.q≤p≤rC.r≤p≤qD.r≤q≤p答案D因为a2+b22-a+b2所以a2+b22≥a+b22,又a+b2≥ab(a>0,b>0),所以a+b22≥ab.易得函数f(x)=x2ex在(0,+∞)上单调递增,所以f7.(2020河南濮阳第二次检测,9)已知a>2,b>2,则a2b-2+bA.2B.4C.6D.16答案D因为a>2,b>2,所以a-2>0,b-2>0.令x=b-2,y=a-2,则x>0,y>0.原式=(y+2)2x+(x+2)2y≥2(y+2)2当且仅当x=y=2时取等号.故选D.思路分析利用换元思想,设x=b-2,y=a-2,则x>0,y>0,将原式化为(y+2)2x8.(2019新疆昌吉教育共同体联考,9)在1和17之间插入(n-2)个数,使这n个数成等差数列,若这(n-2)个数中第一个为a,第(n-2)个为b,当1a+25b取最小值时,n的值为 (A.6B.7C.8D.9答案D由已知得a+b=18,则1a+25b=1a+25b×a+b18=1181+25+ba+25ab≥1189.(2019辽宁沈阳东北育才学校五模,9)已知函数f(x)=2x-12x+1+x+sinx,若正实数a,b满足f(4a)+f(b-9)=0,则1A.1B.92C.9答案A因为f(x)=2x-12x+1+x+sinx,所以f(-x)=2-x-12-x+1-x-sinx=-2x-12x+1+x+sinx=-f(x),所以函数f(x)为奇函数,易知f(x)单调递增,又正实数a,b满足f(4a)+f(b-9)=0,所以4a+b-9=0,所以1a+1b=191a+1b(4a+b)=10.(2020黑龙江道里检测,10)设a,b,c,d均为大于零的实数,且abcd=1,令m=a(b+c+d)+b(c+d)+cd,则a2+b2+m的最小值为 ()A.8B.4+23C.5+23D.43答案B∵a,b,c,d均大于零且abcd=1,m=a(b+c+d)+b(c+d)+cd,∴a2+b2+m=a2+b2+(a+b)(c+d)+ab+cd≥2ab+2ab·2cd+ab+cd=4+3ab+cd≥4+23abcd=4+23,当且仅当a=b,c=d,3ab=cd,即a=b=1314,c=d=314时取等号,∴a2+b2+m的最小值为11.(多选题)(2020山东烟台期中,11)下列结论正确的是 ()A.若a>b>0,c<d<0,则一定有bc>B.若x>y>0,且xy=1,则x+1y>y2x>log2(xC.设{an}是等差数列,若a2>a1>0,则a2>aD.若x∈[0,+∞),则ln(1+x)≥x-18x答案AC对于A,∵c<d<0,∴-c>-d>0,∴-1d>-1又∵a>b>0,∴-ad>-bc>0,∴bc>ad,对于B,∵x>y>0,且xy=1,∴可取x=2,y=12,此时x+1y=4,y2x=124=18,log2(x+y)=log252>log22=1,故不满足x+1y>y2x对于C,∵{an}是等差数列,∴a2=a1+a32.又∵a3-a2=a2-a1>0,∴a3>a2>a1>0,∴a1+a32>a1对于D,令f(x)=ln(1+x)-x+18x2,x≥0,则f'(x)=11+x-1+14x=1-(1+x)+14x(1+x)1+x=14x2-34x1+x=x2-3x4(1+x),x>0,令∵f(0)=ln1-0+0=0,∴当x∈(0,3]时,f(x)<0恒成立,故当x∈[0,+∞)时,ln(1+x)≥x-18x2不恒成立,故D不正确,故选AC12.(2019湖北黄冈元月调研,15)若关于x的不等式x+4x-a≥5在x∈(a,+∞)上恒成立,则实数a答案1解析关于x的不等式x+4x-a≥5在x∈(a,+∞)上恒成立,即x-a+4x-a≥5-a在x∈(a,+∞)上恒成立,由x>a可得x-a>0,则x-a+4x-a≥2(x-a)·4x-a=4,当且仅当x-a=2,即x=a+2时13.(2020上海复旦大学附中9月综合练,8)已知a2+2a+2x≤4x2-x+1对于任意的x答案[-3,1]解析由已知a2+2a+2x≤4x2-x+1对于任意的x∈(1,+∞)恒成立可知,a2+2a+2≤4x-1+x对于任意的x∈(1,+∞)恒成立,令g(x)=4x-1+x,x>1,则g(x)=4x-1+x-1+1≥24x-1·(x-1)+1=5,当且仅当x=3时取“=”,∴14.(2019安徽黄山八校联考,16)不等式(acos2x-3)sinx≥-3对任意x∈R恒成立,则实数a的取值范围是.

答案-解析令g(x)=(acos2x-3)sinx,sinx=t,-1≤t≤1,则原函数化为g(t)=(-at2+a-3)t,即