高考数学一轮复习专题三函数的概念性质与基本初等函数6函数的图象综合篇课件新人教A版

考点一函数图象的识辨1.利用描点法作函数的图象(1)确定函数的定义域;(2)化简函数解析式;(3)讨论函数的性质(奇偶性、

单调性、周期性等);(4)列表(尤其注意特殊点,零点,最大值与最小值,与坐

标轴的交点);(5)描点;(6)连线.(用平滑的曲线连点)2.图象变换(1)平移变换考点清单(2)对称变换y=f(x)

①

y=-f(x)

;y=f(x)

②

y=f(-x)

;y=f(x)

③

y=f(2a-x)

;y=f(x)

④

y=-f(-x)

.(3)伸缩变换y=f(x)

⑦

y=f(ωx)

;y=f(x)

⑧

y=Af(x)

.(4)翻折变换y=f(x)

⑨

y=|f(x)|

.y=f(x)

⑩

y=f(|x|)

.3.函数图象的对称性(1)若y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x),则f(x)的图象关于直线

x=

对称.(2)若y=f(x)满足f(x)=2b-f(2a-x),则f(x)的图象关于点

(a,b)

中心对称.(3)函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图象的对称轴为直线

x=

.(4)函数y=f(x-a)+b与y=-f(a-x)+b的图象关于点

(a,b)

对称.考点二函数图象的应用函数图象是对函数关系的一种直观、形象的表示,是体现数形结合

思想的基础,应解决好以下三个方面的问题:(1)作图:应注意在定义域内依据函数的性质选取关键的一部分点;(2)识图:在观察、分析图象时,要注意到图象的分布及变化趋势、具有的

性质、解析式与图象的关系;(3)用图:函数的图象形象地显示了函数的性质,充分利用图象提供的信息

可以研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等问题,利用

函数y=f(x)与y=g(x)的图象交点个数判断f(x)=g(x)的解的个数及求不等式

的解集等.考法一识图与辨图问题的常见类型及解题策略知能拓展例1(1)(2019山西太原名校联盟,4)函数y=x2-2|x|(x∈R)的部分图象可能是

()

(2)(2021届湖南9月份百校联考,5)函数f(x)=x2sinx-xcosx在[-π,π]上的图象

大致为

()(3)(2020普通高等学校招生全国统一模拟考试)已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)可以为

()A.f(x)=

-

B.f(x)=

C.f(x)=

-x

D.f(x)=

解析(1)显然函数是偶函数,排除B,D.取x=0,则y=-1.排除A.故选C.(2)因为f(-x)=-x2sinx+xcosx=-f(x),所以f(x)为奇函数,其图象关于原点对称,

故排除C与D,因为f

=

·

<0,所以排除B,故选A.(3)首先对4个选项进行奇偶性判断,可知f(x)=

为偶函数,不符合题意,排除B;其次,对剩下的3个选项在(0,+∞)上的零点个数进行判断,f(x)=

在(0,+∞)上无零点,不符合题意,排除D;最后对剩下的2个选项进行单调性判断,f(x)=

-x在(0,+∞)上单调递减,不符合题意,排除C.故选A.答案(1)C(2)A(3)A方法总结识图与辨图问题的常见类型及解题策略1.由解析式确定函数图象.此类问题往往需要化简函数解析式,利用函数

的性质(单调性、奇偶性、过定点等)判断,常用排除法.2.已知函数图象确定相关函数的图象.此类问题主要考查函数图象的变

换(如平移变换、对称变换等),要注意函数y=f(x)与y=f(-x)、y=-f(x)、y=-f(-x)、y=f(|x|)、y=|f(x)|等的相互关系.3.借助动点探究函数图象.解决此类问题可以根据已知条件求出函数解

析式后再判断函数的图象;也可采用“以静观动”,即将动点处于某些特

殊的位置处考察图象的变化特征,从而作出选择.经典例题以下为教师用书专用例

(2020安徽合肥模拟,5)函数f(x)=

+

在[-2π,0)∪(0,2π]上的图象大致为

()解析本题考查函数的图象与性质,考查推理论证能力以及数形结合思想.函数的定义域关于原点对称,f(-x)=

+

=

+

=f(x),故函数f(x)为偶函数,图象关于y轴对称,排除C;f(π)=-

<0,排除B;f(2π)=

>0,排除D.故选A.答案

A例

(2020江西南昌四校联考,7)函数f(x)=

sinx的图象大致形状是

()

解析易知f(x)的定义域为R.f(x)=

sinx=

sinx,则f(-x)=

·sin(-x)=

·(-sinx)=

·sinx=f(x),则f(x)是偶函数,其图象关于y轴对称,排除B,D,当x=1时,f(1)=

·sin1<0,排除A,故选C.答案

C考法二函数图象的应用例2

(多选题)已知函数f(x)=

若x1<x2<x3<x4,且f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4),则下列结论正确的是

()A.x1+x2=-1

B.x3x4=1C.1<x4<2

D.0<x1x2x3x4<1解析作出函数f(x)的图象,如图.由图可知,x1+x2=-2,-2<x1<-1,当y=1时,由|log2x|=1,有x=

,2;所以

<x3<1<x4<2;由f(x3)=f(x4)有|log2x3|=|log2x4|,即log2x3+log2x4=0,所以x3x4=1,则x1x2x3x4=x1x2=x1(-2-x1)=-(x1+1)2+1∈(0,1).故选BCD.答案

BCD方法总结利用函数的图象研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数,其性质(单调性、奇偶

性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究,但一定要注意性质

与图象特征的对应关系.例3若关于x的不等式

>x+m的解集为

.求实数m的值.解题导引作出y=

=(2x+1

,y=x+m的图象,根据图象的上下位置求出m的值.解析作函数y=

及y=x+m的图象如图所示,则原不等式的解集等价于函数y=

的图象在y=x+m的图象上方部分的横坐标x的取值范围.由图可知,要使原不等式的解集为

,则x=4是两图象的交点的横坐标,即方程

=x+m的解.∴m=

-4=-1.方法总结利用函数的图象研究不等式当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时,常将不等式问题转

化为两函数图象的上下关系问题,从而利用数形结合法求解.例4若函数f(x)=

与g(x)=|x+a|+1的图象上存在关于y轴对称的点,则实数a的取值范围是

()A.RB.(-∞,-e]

C.[e,+∞)

D.⌀解题导引

解析设y=h(x)与y=f(x)的图象关于y轴对称,则h(x)=f(-x)=

作出y=h(x)与y=g(x)的函数图象,如图所示:∵f(x)与g(x)的图象上存在关于y轴对称的点,∴y=h(x)与y=g(x)的图象有交点,∴-a≤-e,即a≥e.故选C.答案

C方法总结利用函数的图象研究方程根的个数当方程与基本初等函数有关时,可以通过函数图象来研究方程的根,方程f(x)=0的根就是函数f(x)的图象与x轴的交点的横坐标,方程f(x)=g(x)的根就

是函数f(x)与g(x)图象的交点的横坐标.经典例题以下为教师用书专用例

(2018浙江金丽衢十二校第三次联考(5月),9)已知函数f(x)=

设方程f(x)=t(t∈R)的四个不等实根从小到大依次为x1,x2,x3,x4,则下列判断中错误的是

()A.x1+x2+x3+x4=40B.x1x2=1C.x3x4=361D.x3x4-20(x3+x4)+399=0解析由题可知,函数f(x)=

的图象关于直线x=10对称,所以有

且满足

从而x1+x2+x3+x4=40,

即

对照选项可知,选项C错误.故选C.答案

C例

(2018浙江镇海中学5月模拟,9)已知函数f(x)=

则方程f(f(x))-2

=0的实根个数为

()A.3

B.4

C.5

D.6解析令t=f(x),则方程f(f(x))-2

=0等价于f(t)-2t-

=0,作出函数y=f(t)和y=2t+

的图象(图略).易知有两个不同的公共点,其横坐标分别为0,t0(1<t0<2),再作出y=f(x)和y=0,y=t0的图象(图略),易判断出其交点个数为4,故

选B.答案

B例

(2017福建宁德一模,12)已知函数f(x)=

若方程f(f(x))-2=0恰有三个实数根,则实数k的取值范围是

()A.[0,+∞)

B.[1,3]C.

D.

解析∵f(f(x))-2=0,∴f(f(x))=2,∴f(x)=-1或f(x)=-

(k≠0).(1)当k=0时,作出f(x)的函数图象如图所示:由图象可知f(x)=-1无解,∴k=0不符合题意;(2)当k>0时,作出f(x)的函数图象如图所示:由图象可知f(x)=-1无解且f(x)=-

无解,即f(f(x))-2=0无解,不符合题意;(3)当k<0时,作出f(x)的函数图象如图所示:由图象可知f(x)=-1有1个实根,∵f(f(x))-2=0有3个实根,∴f(x)=-

有2个实根,∴1<-

≤3,解得-1<k≤-

.综上,k的取值范围是

.故选C.例已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)=f(2-x),若函数y=|x2-2x-3|与y=f(x)图象的

交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),则

=

()A.0

B.m

C.2m

D.4m解析由题意可知f(x)的图象关于直线x=1对称,而y=|x2-2x-3|=|(x-1)2-4|的

图象也关于直线x=1对称,所以两个图象的交点关于直线x=1对称,且每对

关于直线x=1对称的交点的横坐标之和为2,所以

xi=m,故选B.答案

B小题巧解(特值法)取x0=

,sin

=

<tan

=1,得p是真命题.例

(2018浙江教育绿色评价联盟适应性试卷(1月),8)已知函数f(x)=ln(ax2

+bx+c)的部分图象如图所示,则a-b+c的值是

()A.-1

B.1C.-5

D.5解析由题图可知,2,4为方程ax2+bx+c=0的两根,且f(1)=0,即

解得

因此a-b+c=5,故选D.答案

D例

(2018浙江杭州二中期中,7)函数f(x)=xm(1-x)n在区间[0,1]上的图象如

图所示,则m,n的值可能是

()A.m=1,n=1

B.m=1,n=2C.m=2,n=1

D.m=2,n=2解析由题意知f'(x)=mxm-1(1-x)n+nxm(1-x)n-1·(-1)=[m(1-x)-nx]xm-1(1-x)n-1,令m(1-x)-nx=0,解得x=

.由图象可知,其极值点小于

,即

<

,即m<n,故选B.答案

B例

(2016浙江宁波十校联考,8)已知函数f(x)=x2-x-

(x<0),g(x)=x2+bx-2(x>0),b∈R,若f(x)图象上存在两个不同的点A,B分别与g(x)图象上A',B'两

点关于y轴对称,则b的取值范围为

()A.(-4

-5,+∞)

B.(4

-5,+∞)C.(-4

-5,1)

D.(4

-5,1)解析设函数g(x)图象上任一点为(x,x2+bx-2),其关于y轴的对称点为(-x,x2

+bx-2),所以方程x2+bx-2=x2+x-

,即(b-1)x2+(b+1)x-2=0在(0,+∞)上有两个不相等的实根,因此

解得4

-5<b<1,即实数b的取值范围是(4

-5,1),故选D.答案

D例

(2020全国Ⅰ卷模拟,10)已知函数f(x)=

若|f(x)|≥mx恒成立,则实数m的取值范围为

()A.[2-2

,2]

B.[2-2

,1]C.[2-2

,e]

D.[2-2

,e]解析作出函数|f(x)|的图象如图所示.当x≤0时,令x2+2x+2=mx,即x2+(2-m)x+2=0,令Δ=0,即(2-m)2-8=0,解得m=2±2

,结合图象可知,m=2-2

;当x>0时,令e2x-1=mx,考虑f(x)=e2x-1与h(x)=mx的图象相切时,设切点为(x0,

-1),则

解得m=2,结合图象可知,实数m的取值范围为[2-2

,2].故选A.答案

A思路分析作出函数|f(x)|的图象,当x≤0时,令x2+2x+2=mx,得x2+(2-m)x+2=

0