高考数学一轮复习专题八立体几何5空间向量及其在立体几何中的应用综合篇课件新人教A版

考点一用向量法证明平行、垂直1.空间向量的有关定理(1)共线向量定理:共线向量定理可以分解为两个命题(a,b(b≠0)为空间内

任意两个向量):(i)a∥b⇒存在唯一实数λ,使得a=λb;(ii)若存在实数λ,使得

a=λb,则a∥b,其中命题(ii)是空间向量共线的判定定理.(2)四点共面的充要条件:a.空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在

有序实数对(x,y),使

=x

+y

成立;b.对空间任意一点O,有

=x

+y

+z

,若①

x+y+z=1

,则P,A,B,C四点共面,反之亦成立.(3)空间向量基本定理:a.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的

一组基底;b.基底选定后,空间的所有向量均可由基底唯一表示.考点清单设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).(1)a∥b⇔a=λb(b≠0)⇔②

a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3

(λ∈R);(2)a⊥b⇔a·b=0⇔③

a1b1+a2b2+a3b3=0

;(3)|a|=

=

;(4)cos<a,b>=

=④

.3.与空间向量有关的问题(1)空间直角坐标系(i)一般建立右手直角坐标系;(ii)建立的空间直角坐标系必须满足三坐标

轴两两垂直,让尽可能多的点落到坐标轴上或第一卦限(第一卦限内点的2.与空间向量运算有关的结论坐标都为正).(2)直线的方向向量和平面的法向量(i)直线的方向向量是指和这条直线平行(或在这条直线上)的有向线段所

表示的向量,一条直线的方向向量可以有无数个.(ii)平面的法向量:a.一个平面的法向量是与平面垂直的直线的方向向量,因此一个平面的法

向量有无数个,其中任意两个都是共线向量,但零向量不能作为平面的法

向量.b.平面法向量的求法:首先要建立空间直角坐标系,然后用待定系数法求

解.具体的步骤为:设平面的法向量为n=(x,y,z),找出(求出)平面内的两个不共线的向量a,b,根据法向量的定义得

由此可建立关于x、y、z的方程组,解方程组,并取其中的一组解,该组解可作为法向量的坐标.4.利用空间向量解决平行、垂直问题设不同直线l,m的方向向量分别为a,b,不同平面α,β的法向量分别为u,v,则(1)l∥m⇔a∥b⇔a=kb,k∈R且k≠0;(2)l∥α⇔a⊥u⇔a·u=0;(3)α∥β⇔u∥v⇔u=λv,λ∈R且λ≠0;(4)l⊥m⇔a⊥b⇔a·b=0;(5)l⊥α⇔a∥u⇔a=ku,k∈R且k≠0;(6)α⊥β⇔u⊥v⇔u·v=0.考点二用向量法求空间角与距离1.空间角的计算(1)异面直线所成角公式:设a、b分别为异面直线l1、l2的方向向量,θ为l1、

l2所成的角,则cosθ=|cos<a,b>|=

.(2)线面所成角公式:设l为平面α的斜线,a为l的方向向量,n为平面α的法向

量,θ为l与α所成的角,则sinθ=⑤|cos<a,n>|=

.(3)二面角公式:设n1、n2分别为平面α、β的法向量,二面角为θ,则θ=<n1,n2>

或θ=π-<n1,n2>(需要根据具体情况判断相等或互补),其中cos<n1,n2>=

.2.点到平面的距离公式P为平面α外一点,a、n分别为平面α过P点的斜向量、法向量,d为P到α的

距离,则d=|a|·|cos<a,n>|=

.注意线面、面面距离均可转化为点到平面的距离,用点到平面的距离

公式求解.3.两点间的距离公式:已知点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则A,B两点间的距离为|

|=⑥

.拓展延伸1.最小角定理:平面的斜线和它在平面内的射影所成的角是

这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中最小的角.2.三余弦公式:cosθ=cosθ1·cosθ2(如图所示,其中θ1是斜线OA与平面α所成

的角,θ2是斜线OA的射影AB与平面内的直线AC的夹角,θ是斜线OA与平面

内的直线AC的夹角).

考法一求直线与平面所成角的方法知能拓展例1

(2018浙江,19,15分)如图,已知多面体ABCA1B1C1,A1A,B1B,C1C均垂直

于平面ABC,∠ABC=120°,A1A=4,C1C=1,AB=BC=B1B=2.(1)证明:AB1⊥平面A1B1C1;(2)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值.

解析解法一:(1)证明:如图,以AC的中点O为原点,分别以射线OB,OC为x,y轴的非负半

轴,建立空间直角坐标系O-xyz.由题意知各点坐标如下:A(0,-

,0),B(1,0,0),A1(0,-

,4),B1(1,0,2),C1(0,

,1).因此

=(1,

,2),

=(1,

,-2),

=(0,2

,-3).由

·

=0得AB1⊥A1B1.由

·

=0得AB1⊥A1C1.又A1B1∩A1C1=A1,所以AB1⊥平面A1B1C1.(2)设直线AC1与平面ABB1所成的角为θ.由(1)可知

=(0,2

,1),

=(1,

,0),

=(0,0,2).设平面ABB1的法向量为n=(x,y,z).由

得

可取n=(-

,1,0).所以sinθ=|cos<

,n>|=

=

.因此,直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值是

.解法二:(1)证明:由AB=2,AA1=4,BB1=2,AA1⊥AB,BB1⊥AB得AB1=A1B1=2

,所以A1

+A

=A

,故AB1⊥A1B1.由BC=2,BB1=2,CC1=1,BB1⊥BC,CC1⊥BC得B1C1=

,由AB=BC=2,∠ABC=120°得AC=2

,由CC1⊥AC,得AC1=

,所以A

+B1

=A

,故AB1⊥B1C1.又A1B1∩B1C1=B1,因此AB1⊥平面A1B1C1.(2)如图,过点C1作C1D⊥A1B1,交直线A1B1于点D,连接AD.由AB1⊥平面A1B1C1,AB1⊂平面ABB1得平面A1B1C1⊥平面ABB1,由C1D⊥A1B1得C1D⊥平面ABB1,所以∠C1AD是AC1与平面ABB1所成的角.由B1C1=

,A1B1=2

,A1C1=

得cos∠C1A1B1=

,则sin∠C1A1B1=

,所以C1D=

,故sin∠C1AD=

=

.因此,直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值是

.方法总结求直线与平面所成角的方法1.定义法(1)作:在斜线上选取恰当的点,过该点向平面引垂线,作出所求角,其中确

定垂足的位置是关键;(2)证:证明所作的角为直线与平面所成的角;(3)求:

构造角所在的三角形,利用解三角形的知识求角.2.公式法sinθ=

(其中h为斜线上除斜足外的任一点到所给平面的距离,l为该点到斜足的距离,θ为斜线与平面所成的角).3.向量法sinθ=|cos<

,n>|=

(其中AB为平面α的斜线,n为平面α的法向量,θ为斜线AB与平面α所成的角).经典例题以下为教师用书专用例

(2018浙江杭州高三教学质检,19)如图,在三棱锥A-BCD中,∠BAC=∠

BAD=∠DAC=60°,AC=AD=2,AB=3.(1)证明:AB⊥CD;(2)求CD与平面ABD所成角的正弦值.

解析(1)证明:∵AB=AB,∠BAC=∠BAD=60°,AC=AD,∴△ABC≌△ABD,∴BC=BD,

(2分)如图,取CD的中点E,连接AE,BE,则AE⊥CD,BE⊥CD,又AE∩BE=E,∴CD⊥平面ABE,

(5分)∵AB⊂平面ABE,∴AB⊥CD.

(7分)(2)解法一:在△ABD中,根据余弦定理得BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cos60°=7,∴BD=

,∵DE=1,∴BE=

,AE=

,∴AB2=BE2+AE2,∴AE⊥BE.

(9分)以E点为坐标原点,以EB,EC,EA所在直线分别为x轴,y轴和z轴建立空间直

角坐标系,如图.

则A(0,0,

),B(

,0,0),C(0,1,0),D(0,-1,0),∴

=(

,0,-

),

=(0,-2,0),

=(0,-1,-

).

(11分)设平面ABD的法向量为m=(x,y,z).

则

取m=(1,-

,

),

(13分)设CD与平面ABD所成的角为α,则sinα=|cos<

,m>|=

=

=

.故CD与平面ABD所成角的正弦值为

.

(15分)解法二:在△ABD中,根据余弦定理得BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cos60°=7,∴BD=

,∵DE=1,∴BE=

,AE=

,∴AB2=BE2+AE2,∴AE⊥BE.

(9分)设点C到平面ABD的距离为h,CD与平面ABD所成的角为α,∵VA-BCD=VC-ABD,即

CD·S△ABE=

h·S△ABD,

(11分)∴h=

=

=

,

(13分)∴sinα=

=

,故CD与平面ABD所成角的正弦值为

.

(15分)例

(2019江西宜春12月大联考,18)如图,四边形ABCD为矩形,E为DC的

中点,AB=2AD=4,沿AE将△AED折起,使点D折到P点的位置,且PB=PC.(1)求证:平面PAE⊥平面ABCE;(2)求直线AP与平面PBC所成角的正弦值.

解析(1)证明:如图,取AE的中点O,BC的中点F,连接OP,OF,PF,则OF∥AB,∴OF⊥BC.∵PB=PC,∴PF⊥BC.又OF∩PF=F,∴BC⊥平面POF,则BC⊥PO.∵E为DC的中点,AB=2AD=4,∴PA=PE,则PO⊥AE.∵AE,BC是平面ABCE内的相交直线,∴PO⊥平面ABCE,又PO⊂平面PAE.∴平面PAE⊥平面ABCE.(2)在平面ABCE内,过点O作OM⊥OF,则以O为原点,以OM,OF,OP所在直

线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,由题设知,A(1,-1,0),P(0,0,

),B(1,3,0),C(-1,3,0),∴

=(1,3,-

),

=(-1,3,-

),设平面PBC的法向量为n=(x,y,z),由

得,

x=0,取z=

,则y=

,∴平面PBC的一个法向量为n=

.设直线AP与平面PBC所成角为θ,∵

=(-1,1,

),∴sinθ=|cos<n,

>|=

=

=

,即直线AP与平面PBC所成角的正弦值为

.考法二求二面角的方法例2

(2020山东日照、潍坊、临沂部分学校6月模拟,19)已知在四棱锥P-

ABCD中,底面ABCD是边长为4的正方形,△PAD是正三角形,CD^平面

PAD,E,F,G,O分别是PC,PD,BC,AD的中点.(1)求证:PO^平面ABCD;(2)求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小;(3)线段PA上是否存在点M,使得直线GM与平面EFG所成角为

?若存在,求线段PM的长度;若不存在,说明理由.解析(1)证明:因为△PAD是正三角形,O是AD的中点,所以PO⊥AD,又因为CD⊥平面PAD,PO⊂平面PAD,所以PO⊥CD.因为AD∩CD=D,AD,CD⊂平面ABCD,所以PO⊥平面ABCD.(2)解法一(向量法):如图,连接OG.以O点为原点,分别以OA、OG、OP所

在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.则O(0,0,0),A(2,0,0),B(2,4,0),C(-2,4,0),D(-2,0,0),G(0,4,0),P(0,0,2

),E(-1,2,

),F(-1,0,

),则

=(0,-2,0),

=(1,2,-

).设平面EFG的法向量为m=(x,y,z).由

得

令z=1,则m=(

,0,1),易知n=(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量,设平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小为θ,所以cosθ=

=

=

.所以平面EFG与平面ABCD所成锐二面角为

.解法二(定义法):连接OF,OG,由于E,F,G,O分别是PC,PD,BC,AD的中点,所

以EF∥CD,又知CD∥OG,因此平面EFG也就是平面EFOG,平面EFG与平

面ABCD所成锐二面角为二面角E-OG-D,因为CD⊥平面PAD,OF⊂平面PAD,所以CD⊥OF,所以OG⊥OF.又OG⊥AD,所以∠FOD为二面角E-OG-D的平面角,又F,O分别是PD,AD的中点,所以OF∥PA,又因为△PAD是正三角形,所以∠FOD=∠PAD=

,所以平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小为

.(3)假设线段PA上存在点M,使得直线GM与平面EFG所成角为

,即直线GM与平面EFG的法向量m所成的角为

.设

=λ

,λ∈[0,1],

=

+

=

+λ

,所以

=(2λ,-4,2

(1-λ)),所以cos

=|cos<

,m>|=

,整理得2λ2-3λ+2=0,Δ<0,方程无解,所以不存在这样的点M.方法总结求二面角的平面角的方法1.向量法:利用公式cos<n1,n2>=

(n1,n2分别为两平面的法向量)进行求解,注意<n1,n2>与二面角平面角大小的关系,是相等还是互补,需结合图

形进行判断.2.定义法:在二面角的棱上找一特殊点,过该点在两个半平面内分别作垂

直于棱的射线,如图(1),∠AOB为二面角α-l-β的平面角.3.垂面法:过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面的

交线所形成的角即为二面角的平面角,如图(2),∠AOB为二面角α-l-β的平

面角.4.垂线法(三垂线定理法):过二面角的一个半平面内一点作另一个半平面所在平面的垂线,从垂足出发向棱引垂线,利用三垂线定理(线面垂直的性

质)即可找到所求二面角的平面角或其补角.如图(3),∠ABO为二面角α-l-β

的平面角.

经典例题以下为教师用书专用例如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,

=λ

,

=λ

,且0<λ<1.(1)求证:A1F⊥平面C1DE;(2)当△BEF的面积取得最大值时,求λ的值,并求出此时二面角B1-EF-D的

余弦值.解析依题意,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建

立如图所示的空间直角坐标系,

因为正方体的棱长为2,且

=λ

,

=λ

(0<λ<1),则D(0,0,0),A1(2,0,2),B1(2,2,2),C1(0,2,2),E(2,2λ,0),F(2-2λ,2,0).(1)证明:因为

=(-2λ,2,-2),

=(2,2λ-2,-2),

=(0,2,2),所以

·

=(-2λ,2,-2)·(2,2λ-2,-2)=0,

·

=(-2λ,2,-2)·(0,2,2)=0,所以A1F⊥C1E,A1F⊥DC1,又C1E∩DC1=C1,所以A1F⊥平面C1DE.(2)因为S△BEF=

(2-2λ)2λ=-2

+

,所以当λ=

时,即E,F分别是棱AB,BC的中点时,△BEF的面积取得最大值,此时点E,F的坐标分别为E(2,1,0),F(1,2,0),则

=(0,-1,-2),

=(-1,1,0),设平面B1EF的法向量m=(a,b,c),则

得

令a=2,得平面B1EF的一个法向量为m=(2,2,-1),显然底面ABCD的一个法向量为n=(0,0,1),设二面角B1-EF-D的平面角为θ,由题意知θ为钝角,因为cos<m,n>=

=-

,所以cosθ=-

,即二面角B1-EF-D的余弦值为-

.解后反思二面角的求解一般可直接利用空间向量求解,将二面角转化

为二面角的两个面的法向量的夹角,但要注意两个平面的法向量的夹角

与所求二面角之间的关系,转化这两者之间的关系时,要先根据几何体或

空间图形的结构特征判断二面角的取值范围,然后下结论.例

(2018北京西城二模,16)如图,梯形ABCD所在的平面与等腰梯形

ABEF所在的平面互相垂直,AB∥CD∥EF,AB⊥AD,CD=DA=AF=FE=2,

AB=4.(1)求证:DF∥平面BCE;(2)求二