二次函数压轴之角度问题

二次函数压轴之角度问题1．如图，抛物线y＝(x﹣h)2+k与x轴交于A、B两点，且A(﹣1，0)，对称轴为直线x＝2．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）直线l过点A且在第一象限与抛物线交于点C．当∠CAB＝45°时，求点C的坐标；（3）若抛物线与y轴的交点为D，Q为抛物线上一点，若∠ADQ＝45°，求点Q的坐标．（4）Q为x轴上方抛物线上一点．当∠APB＝45°时，求点P的坐标；2．如图抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A(1，0)、B(4，0)两点，与y轴交于点C(0，﹣3)，抛物线顶点为点D．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点M，使得∠BCM＝∠BCO？若存在，求直线CM的解析式．3.如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝（1）求抛物线的解析式；（2）点N坐标为（0，2），点M在抛物线上，且∠NBM＝45°，直接写出点M坐标；如图，已知抛物线y=-x2+bx+c交x轴于点A(-3,0),B(4,0)两点，交y轴于点C，点P是抛物线上一点，连接AC、BC.(1)求抛物线的表达式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得∠QBA=75°？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.5．如图1所示，直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+6（a≠0）交x轴于A（﹣4，0），B（2，0），在y轴上有点E(0，﹣3)．（1）求二次函数的表达式．（2）点D是第二象限内的抛物线上一动点，连接AE和DE．①当tan∠AED＝，求出点D坐标；②如图，若点P是直线CA上的动点，连接OP和PE，当∠OPE最大时，则点P的坐标为．6．如图①，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（x1，0）、点C（x2，0），且x1，x2满足x1+x2＝2，x1•x2＝﹣3，与y轴交于点B，E（m，0）是x轴上一动点，过点E作EP⊥x轴于点E，交抛物线于点P．（1）求抛物线解析式．（2）如图，直线EP交直线AB于点D，连接PB．点E在x轴的正半轴上运动，若∠PBD+∠CBO＝45°，请求出m的值．7．如图，已知直线y＝2x+n与抛物线y＝ax2+bx+c相交于A，B两点，抛物线的顶点是A（1，﹣4），点B在x轴上．（1）求抛物线的解析式：（2）在抛物线上是否存在点Q，使∠BAQ＝45°，若存在，请直接写出点Q的横坐标；若不存在，说明理由．8.如图，平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+nx+4过点A（﹣4，0），与y轴交于点N，与x轴正半轴交于点B．直线l过定点A．（1）求抛物线解析式；（2）连接AN，BN，直线l交抛物线于另一点M，当∠MAN＝∠BNO时，求点M的坐标；9．如图，直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过B、C，且与x轴另一交点为A，连接AC．（1）求抛物线的解析式；（2）点E在抛物线上，连接EC，当∠ECB+∠ACO＝45°时，求点E的横坐标；10.平面直角坐标系中，已知抛物线y=-x2+(1+m)x-m(m为常数)与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C.(1)若m=4,求点A、B、C的坐标;(2)在(1)的条件下，D为抛物线x轴上方一点，连接BD，若∠DBA+∠ACB=90°，求点D的坐标;参考答案1.解：(1)由抛物线y=(x-2)2-9(2)易知A(-1，0)，B(5，0),C(0，-5）AC：y=x+1，与抛物线联立得(x-2)2-9=x+1x1=6,x2=-1(舍)，故C(6,7)∠ADQ=45°,∠ODB=45°,故∠ADO=∠HDB，过点H作DG⊥BD于点G,tan∠ADO=，故tan∠HDG=，设GH=x,则DG=5x，BG=x，故6x=5,x=,BH=，故OH=，DQ解析式为y=x-5,y=(x-2)2-9联立得(x-2)2-9=x-5，x1=,x2=0(舍去)故Q(，)以AB为斜边作等腰直角三角形AMB，以M为圆心，MA为半径作圆，与抛物线的交点即为所求的P点易知：M(2，3)，半径MA=3,MP=MA，设P(m，m2-4m-5),(m-2)2+(m2-4m-5-3)2=18即有(m-2)2+[(m-2)2-12]2=18得(m-2)2-23(m-2)+126=0,m1=2+√(14)，m2=2-，m3=-1，m4=5故Q点的坐标为(2+，5)，(2-,5)解：(1)y=-(x-1)(x-4)(2)①.CM在∠BCO之间时，CM与x轴相交于点D，作DF⟂BC，设OD=m，则DF=m，DB=4-m，BF=2，由勾股定理得m2+22=(4-m)2，m=，D(,0)，直线CM的解析式为：y=2x-3②CM在∠BCO外部时，CM与x轴交于点E，作EG⟂BC于点G，设EG=3t，则BG=4t，而∠BCM=∠BCO=∠OCD，而tan∠OCD=，故tan∠BCM=，即，BE=，E(，0)，直线CM的解析式为y=3.解：方法一：①作∠NBM=45°，并作NG⊥NB交于点G，过点N作EF||x轴，过点B、G作BF⊥EF，GE⊥EF，易知△ENG△FBN，故EN=BF=2，EG=NF=4，故G(-2，-2)，而B(4，0)，故直线BG解析式为y=x-，与抛物线y=x2-5x+4联立得x1=4，x2=故M(，-)②作∠NBM=45°，连接作NP⊥BN交BM于点P，作PQ⊥y轴，易知△PQN△NAB，故PQ=AN=2，NQ=AB=4，故P(2，6)直线BM的解析式：y=-3x+12与抛物线y=x2-5x+4联立得x1=4，x2=-2故M(-2，18)方法二：①由已知可得tan∠NBO=，∠NBE=45°，故tan∠OBE=，故OE=，故直线BE的解析式为y=x-，后与前面过程一样.②∠BFN+∠OBN=45°，tan∠NBO=，故tan∠BFN=，故OF=12，BF的解析式为y=-3x+12后面与前面的方法相同.4.解：(1)y=-x2+x+12如图，Q在第一象限时，在QH上取一点E使EQ=EB，QBA=75，故∠BQE=∠QBE=15，故∠BEH=30°，BH=，BE=EQ=7，EH=，故Q(，)；由对称性可知Q在第二象限时，Q(，)，所以Q点的坐标为(，)和(，)解：(1)y=-(2)①当点D在x轴上方时，过点A作AP⟂DE，过点P作GH||x轴，作AG⟂GH，易知PAG~EPH,设P(m,n)则PH=-m，EH=n+3,得GP=EH=n+3，AG=PH=m，故，得n=，m=，直线DE的解析式为y=-，联立抛物线y=-得x1=-2，x2=6(舍)，故D(-2，6)②作过OE的圆与AC相切于点P，易知∠OPE==∠OMN，sin∠OPE=sin∠OMN=,当r取最小值时，∠OPE最大，由HPM~AOC知HM=，MN=5-，在△OMN中易得(5-)2+()2=r2得r=，PH=，P解：(1)由已知可得x1=3,x2=-1,b=-2，c=3,故抛物线的解析式为y=-x2-2x+3方法1：易知∠OBA=45°，故∠CBP=90°，过点B作MN||x轴交DE于点N，作CM⟂MN于点M，易知△BCM~△PBN，P(m,-m2-2m+3)得PN=3-(-m2-2m+3)=m2+2m,BN=m，故有，m=方法2：易知∠PBC=90°，直线BC的解析式为y=3x+3，故BP的解析式为y=-x+3，与抛物线y=-x2-2x+3联立得x=，故m=(1)y=x2-2x-3(2)1.点Q在AB左侧时，AQ与x轴交于点E，过点E作MN||y轴，作PM⟂MN，AN⟂MN，易知△PME△ENA，PM=EN=4，设点M的横坐标为m，则AN=1-m=ME，P点的横坐标为4+m，纵坐标为1-m，代入抛物线解析式得(4+m)2-2(4+m)-3=1-m得m=-，得直线AQ的解析式为y=-3x-1,与抛物线联立可得x1=1,x2=-2；同理可得直线AF的解析式为y=x-，与抛物线联立可得x3=1,x4=；所以Q点的横坐标为-2或(1)抛物线的解析式为y=-x2-3x+4(2)1.tan∠BNO=，故tan∠MAN=，AM1与y轴交于点E，作EGAN于点G，设EG=m,则AG=4m，而OA=ON，故GN=m，故5m=4,m=,EN=,故E(0,)，直线AE的解析式为y=,与抛物线y=-x2-3x+4联立得x1=，x2=-4(舍)，故M(，)2.AM在上方时，过点F作FHAN于点H，设FH=n,则NH=n,AH=4n，故3n=4，n=FN=,直角AM的解析式为y=x+，联立得x3=-,x4=-4(舍),故M(-，)(1)抛物线的解析式为y=易知A(,0)，B(3，0)，C(0，-3),①当E在上方时，注意到∠OCB=45°，故CE与x轴的交点D与A关于原点对称，即有D(,0)此时CE解析式为y=与抛物线联立可得x1=,x2=0(舍)，故E1点的横坐标为，E1(，2)；②当E在x轴下方时，此