知识点28全等三角形2022

第一批一、选择题1.（2022·滨州）如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【解析】∵∠AOB=∠COD，∴∠AOC=∠BOD，又∵OA=OB，OC=OD，∴△AOC≌△BOD，∴AC=BD，故①正确；∵△AOC≌△BOD，∴∠MAO=∠MBO，如图，设OA与BD相交于N，又∵∠ANM=∠BNO，∴∠AMB=∠AOB=40°，故②正确；如图，过点O分别作AC和BD的垂线，垂足分别是E，F，∵△AOC≌△BOD，AC=BD，∴OE=OF，∴MO平分∠BMC，故④正确；在△AOC中，∵OA＞OC，∴∠ACO＞∠OAC，∵△AOC≌△BOD，∴∠OAC=∠OBD，∴∠ACO＞∠OBM，在△OCM和△OBM中，∠ACO＞∠OBM，∠OMC=∠OMB，∴∠COM＜∠BOM，故③错误，所以①②④正确．故选B．2.3.4.5.67.8.910.11.12.二、填空题16．（2022·嘉兴）如图，一副含30°和45°角的三角板ABC和EDF拼合在个平面上，边AC与EF重合，AC＝12cm．当点E从点A出发沿AC方向滑动时，点F同时从点C出发沿射线BC方向滑动．当点E从点A滑动到点C时，点D运动的路径长为cm；连接BD，则△ABD的面积最大值为cm2．【答案】，【解析】∵AC＝12cm，∠A＝30°，∠DEF＝45°,∴BC＝4cm，AB＝8cm，ED＝DF＝6cm,如图，当点E沿AC方向下滑时，得△E'D'F'，过点D'作D'N⊥AC于点N，作D'M⊥BC于点M,∴∠MD'N＝90°，且∠E'D'F'＝90°,∴∠E'D'N＝∠F'D'M，且∠D'NE'＝∠D'MF'＝90°，E'D'＝D'F',∴△D'NE'≌△D'MF'（AAS）,∴D'N＝D'M，且D'N⊥AC，D'M⊥CM,∴CD'平分∠ACM,即点E沿AC方向下滑时，点D'在射线CD上移动，∴当E'D'⊥AC时，DD'值最大，最大值＝ED﹣CD＝（12﹣6）cm,∴当点E从点A滑动到点C时，点D运动的路径长＝2×（12﹣6）＝（24﹣12）cm.如图，连接BD'，AD'，∵S△AD'B＝S△ABC+S△AD'C﹣S△BD'C,∴S△AD'B＝BC×AC+×AC×D'N﹣×BC×D'M＝24+（12﹣4）×D'N,当E'D'⊥AC时，S△AD'B有最大值，∴S△AD'B最大值＝24+（12﹣4）×6＝（24+36﹣12）cm2．故答案为：（24﹣12），（24+36﹣12）.18．（2022·株洲）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，在直线x＝1处放置反光镜I，在y轴处放置一个有缺口的挡板II，缺口为线段AB，其中点A(0，1)，点B在点A上方，且AB＝1，在直线x＝﹣1处放置一个挡板III，从点O发出的光线经反光镜I反射后，通过缺口AB照射在挡板III上，则落在挡板III上的光线的长度为．第18题【答案】【解析】如图，落在挡板III上的光线的长度为MN的长度,对应的反光镜I的边界点分别为点P和点Q，根据光线的折射，入射角等于反射角可得∠OPF=∠APF,从而证明△APF≌△OPF，所以AO=2AF=2OF，∴AF=,同理△AQB≌△AQO,AB=AO=1，所以NE=2，∵AQ⊥y轴，∴PQ=AF=,由题意知，△AEM≌△AQP，所以ME=PQ=,所以MN=NE-ME=2-=.3.4.5.67.8.910.解答题23．（2022·武汉，23，20分）在△ABC中，∠ABC＝90°，，M是BC上一点，连接AM（1）如图1，若n＝1，N是AB延长线上一点，CN与AM垂直，求证：BM＝BN（2）过点B作BP⊥AM，P为垂足，连接CP并延长交AB于点Q①如图2，若n＝1，求证：②如图3，若M是BC的中点，直接写出tan∠BPQ的值（用含n的式子表示）【解题过程】（1）证明：延长AM交CN于点H，∵AM与CN垂直，∠ABC＝90°，∴∠BAM＋∠N＝90°，∠BCN＋∠N＝90°，∴∠BAM＝∠BCN．∵n＝1，∠ABC＝90°，∴AB＝BC，∠ABC＝∠CBN．∴△ABM≌△CBN，∴BM＝BN．（2）①证明：过点C作CD第21题图【解题过程】证明：由∠ECB=70°得∠ACB=110°.∵∠D=110°，∴∠ACB=∠D.∵AB∥DE，∴∠CAB=∠E.又∵AB=AE，∴△ABC≌△EAD.19．（2022·黄冈）如图，ABCD是正方形，E是CD边上任意一点，连接AE，作BF⊥AE，DG⊥AE，垂足分别为F，G.求证：BF－DG＝FG.【解题过程】（2022安徽）如图，点E在□ABCD内部，AF∥BE，DF∥CE.求证：△BCE≌△ADF；（2）设□ABCD的面积为S，四边形AEDF的面积为T，求的值.EEFCBAD【解题过程】解：（1）证明：如图1，延长FA与CB交于点M，∵AD∥BE，∴∠FAD=∠M，又∵AF∥BE，∴∠M=∠EBC，∴∠FAD=∠EBC，同理得∠FDA=∠ECB，在△BCE和△ADF中，∵∠EBC=∠FAD，BC=AD，∠ECB=∠FDA，∴△BCE≌△ADF；………………4分MMEFCBA图1D（2）如图2，连接EF，由（1）知△BCE≌△ADF，∴AF=BE，又AF∥BE，于是四边形ABEF为平行四边形，∴S△AEF=S△AEB，同理S△DEF=S△DEC，∴T=S△AEB+ S△DEC，另一方面，T=S△AED+S△ADF=S△ACD+S△BCE，∴S=S△AEB+S△DCE+S△AED+S△BCE=2T，于是，=2.………………10分EEFCBA图2D1.（2022·乐山）如图，线段、相交于点,,.求证：.证明：在和中，，, ≌，故.2.（2022·淄博）已知，在如图所示的“风筝”图案中，AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC．求证：∠E＝∠C．证明：∵∠BAE＝∠DAC，∴∠BAE＋∠EAC＝∠DAC＋∠EAC,即∠BAC＝∠DAE.在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE(SAS)，∴∠E＝∠C．18．（2022浙江省温州市，18，8分）（本题满分8分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F．（1）求证：△BDE≌△CDF；（2）当AD⊥BC，AE=1，CF=2时，求AC的长．【解题过程】（1）∵CF∥AB，∴∠B=∠FCD，∠BED=∠F.∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，∴△BDE≌△CDF；（2）∵△BDE≌△CDF，∴BE=CF=2，∴AB=AE+BE=1+2=3.∵AD⊥BC，BD=CD，∴AC=AB=3.25．(2022·泰州,25题,12分)如图,线段AB＝8,射线BG⊥AB,P为射线BG上一点,以AP为边作正方形APCD,且C、D与点B在AP两侧,在线段DP取一点E,使∠EAP＝∠BAP,直线CE与线段AB相交于点F(点F与点A、B不重合).(1)求证:△AEP≌△CEP;(2)判断CF与AB的位置关系,并说明理由;(3)求△AEF的周长.第25题图【解题过程】(1)∵四边形APCD正方形,∴DP平分∠APC,PC＝PA,∴∠APD＝∠CPD＝45°,又因为PE＝PE,∴△AEP≌△CEP(SAS);(2)CF⊥AB．理由如下:∵△AEP≌△CEP,∴∠EAP＝∠ECP,∵∠EAP＝∠BAP．∴∠BAP＝∠FCP,∵∠FCP+∠CMP＝90°,∠AMF＝∠CMP,∴∠AMF+∠PAB＝90°,∴∠AFM＝90°,∴CF⊥AB;第25题答图(1)(3)过点C作CN⊥PB．可证得△PCN≌△APB,∴CN＝PB＝BF,PN＝AB,∵△AEP≌△CEP,∴AE＝CE,∴AE+EF+AF＝CE+EF+AF＝BN+AF＝PN+PB+AF＝AB+CN+AF＝AB+BF+AF＝2AB＝16.第25题答图(2)23．（2022·绍兴）如图1是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形，摆动臂长AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，AD=30，DM=10.（1）在旋转过程中：①当A,D,M三点在同一直线上时，求AM的长；②当A,D,M三点在同一直角三角形的顶点时，求AM的长.（2）若摆动臂AD顺时针旋转90°，点D的位置由△ABC外的点D1转到其内的点D2处，连结D1D2，如图2，此时∠AD2C=135°，CD2=60，求BD2的长.【解题过程】24．（2022·苏州，24，8）如图，△ABC中，点E在BC边上．AE=AB，将线段AC绕点A旋转到AF的位置．使得∠CAF=∠BAE.连接EF，EF与AC交于点G.(1)求证：EF=BC；(2)若∠ABC=65°．∠ACB=28°，求∠FGC的度数第24题图【解题过程】（1）证明：∵线段AC绕点A旋转到AF的位置，∴AC=AF，∴∠CAF=∠BAE.∴∠CAF+∠CAE=∠BAE+∠CAE.即∠EAF=∠BAC．在△ABC和△AEF中，∠BAC=∠EAF，∠BAC=∠EAF，AC=AF，∴△ABC≌△AEF(SAS)，∴EF=BC(2)解：∵AE=AB，∴∠AEB=∠ABC=65°，∵△ABC≌△AEF，∴∠AEF=∠ABC=65°，∠FEC=180°-∠AEB-∠AEF=180°-65°-65°=50°，∵∠FGC是△EGC的外角，∠ACB=28°，∴∠FGC=∠FEC+∠ACB=50°+28°=78°.18．（2022·嘉兴）如图，在矩形ABCD中，点E，F在对角线BD．请添加一个条件，使得结论“AE＝CF”成立，并加以证明．【答案】见解题过程【解题过程】添加条件：BE=DF或DE=BF或AE证明：在矩形ABCD中，ABBE=DF，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴AE=CF.24．（2022山东烟台，24，11分）【问题探究】(1)如图1，△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，，点B，D在同一直线上，连接AD，BD．①请探究AD与BD之间的位置关系：；②若，，则线段AD的长为．【拓展延伸】(2)如图2，△ABC和△DEC均为直角三角形，，，，，，将△DEC绕点C在平面内顺时针旋转，设旋转角为，作直线BD，连接AD，当点B，D，E在同一直线上时，画出图形，并求线段AD的长．【解题过程】（1）本题的答案是①②4探究过程如下：①因为△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，所以，，所以，在△ACD与△BCE中，因为，，，所以△ACD≌△BCE，所以,因为所以，所以即所以，所以．②由①可得△ACD≌△BCE，所以,在Rt△DCE中，由勾股定理得，，在Rt△ACD中，由勾股定理得，，设，则，所以，在Rt△ABD中，由勾股定理得，，即解得或（舍去），所以,即线段AD的长为4．（2）解：情况1：当时，点B，D，E在同一直线上时的图形如图（1）所示，第24题答图（1）第24题答图（1）因为所以所以，因为，，所以在△ACD与△BCE中，因为，，所以△ACD∽△BCE，所以,，所以因为所以，所以即所以，在Rt△DCE中，由勾股定理得，，在Rt△ACD中，由勾股定理得，，设，则，所以，在Rt△ABD中，由勾股定理得，，即解得或（舍去），所以,即当时，点B，D，E在同一直线上时，线段AD的长为．情况2：当时，点B，D，E在同一直线上时的图形如图（2）所示，第24题答图（2）第24题答图（2）因为所以所以，因为，，所以在△ACD与△BCE中，因为，，所以△ACD∽△BCE，所以,，所以因为所以，所以即所以，在Rt△DCE中，由勾股定理得，，在Rt△ACD中，由勾股定理得，，设，则，所以，在Rt△ABD中，由勾股定理得，，即解得或（舍去），所以,即当时，点B，D，E在同一直线上时，线段AD的长为．综上可知，线段AD的长为或．17．（2022·山西）已知,如图,点B,D在线段AE上,AD＝BE,AC∥EF,∠C＝∠F,求证:BC＝DF.第17题图【解题过程】∵AD＝BE,∴AD－BD＝BE－BD,∴AB＝DE,∵AC∥EF,∴∠A＝∠E,在△ABC和△EDF中,∠C＝∠F,∠A＝∠E,AB＝ED,∴△ABC≌△EDF,∴BC＝DF.3.4.5.67.8.910.11.12.13.14.15.1617.18.1920.21.22.23.24.25.2627.28.2930.31.32.33.34.35.3637.38.39第二批一、选择题6（2022·菏泽）如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，若AB＝4，CF＝3，则BD的长是（）A． B．1 C． D．2【答案】B【解析】∵CF∥AB，∴∠A＝∠FCE，∠ADE＝∠F，在△ADE和△FCE中∠A=∠FCE∠ADE=∠F∴△ADE≌△CFE（AAS），∴AD＝CF＝3，∵AB＝4，∴DB＝AB﹣AD＝4﹣3＝1，故选B．【知识点】全等三角形的判定与性质二、填空题12.（2022·齐齐哈尔）如图，已知在△ABC和△DEF中，∠B=∠E,BF=CE,点B、F、C、E在同一条直线上，若使△ABC≌△DEF，则还需添加的一个条件是（只填一个即可）【答案】AB=DE(或∠A=∠D或∠ACB=∠DFE或AC∥DF)【解析】由已知条件证明两三角形全等的条件已经具有一边一角对应相等，需要添加的条件要么是夹已知角的边，构造SAS全等，要么添加另外的任一组角构造ASA或AAS,或者间接添加可以证明这些结论的条件即可.【知识点】三角形全等的判定19（2022·菏泽）如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝4，D为AB的中点，DC⊥BC，则△ABC的面积是．【答案】83．【解析】∵DC⊥BC，∴∠BCD＝90°，∵∠ACB＝120°，∴∠ACD＝30°，延长CD到H使DH＝CD，∵D为AB的中点，∴AD＝BD，在△ADH与△BCD中，CD=DH∠ADH=∠BDC∴△ADH≌△BCD（SAS），∴AH＝BC＝4，∠H＝∠BCD＝90°，∵∠ACH＝30°，∴CH=3AH＝43∴CD＝23，∴△ABC的面积＝2S△BCD＝2×12×4×23故答案为：83．【知识点】全等三角形的判定与性质；解直角三角形三、解答题23.（2022·河北）如图，△ABC和△ADE中，AB＝AD＝6，BC＝DE，∠B＝∠D＝30°.边AD与边BC交于点P(不与点B，C重合)，点B、E在AD异侧.I为△APC的内心.(1)求证：∠BAD＝∠CAE；(2)设AP＝x，请用含x的式子表示PD，并求PD的最大值；(3)当AB⊥AC时，∠AIC的取值范围为m°＜∠AIC＜n°，分别直接写出m、n的值.第23题图第23题备用图【思路分析】（1）先证明△ABC≌△ADE，再利用全等三角形的性质得到结论；（2）由PD=AD-AP=6-x可知当AP最小时，PD最大，此时AP⊥BC，然后使用三角函数求最大值；（3）利用△APC的内心的性质用含有∠AIC的式子表示∠APC的度数，进而利用其点P的位置得到其取值范围，然后接不等式得到∠AIC的取值范围，最后确定m、n的值.【解题过程】（1）在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴∠BAD＝∠CAE.（2）∵AD＝6，AP＝x，∴PD=AD-AP=6-x.∴当AP最小时，PD最大，此时AP⊥BC.如图所示：第23题答图1又∵AB＝6，∠B＝30°，∴x=AP=AB=×6=3，∴=6-x=6-3=3.（3）∵AB⊥AC，∠B＝30°，∴∠ACB=60°.∵I为△APC的内心，∴∠ACI=∠ACB=×60°=30°.∴∠PAC=2∠IAC=2（180°-30°-∠AIC）=300°-2∠AIC，∴∠APC=∠B+∠BAP=30°+90°-∠PAC=120°-（300°-2∠AIC）=2∠AIC-180°，∵30°＜∠APC＜120°，∴30°＜2∠AIC-180°＜120°，解得105°＜∠AIC＜150°，∴m=105，n=150.【知识点】全等三角形的判定和性质、垂线段的性质、最短路线问题、含有30°角的直角三角形的性质、三角形内心的性质、角平分线的定义、三角形的内角和、三角形外角的性质、一元一次不等式组的解法21．（2022·黄石）如图，在中，，为边上的点，且，为线段的中点，过点作，过点作,且、相交于点.（1）求证：（2）求证：【思路分析】（1）由等腰三角形的性质可得AD⊥BC，由余角的性质可得∠C＝∠BAD；（2）由“ASA”可证△ABC≌△EAF，可得AC＝EF．【解题过程】证明：（1）∵AB＝AE，D为线段BE的中点，∴AD⊥BC，∴∠C+∠DAC＝90°，∵∠BAC＝90，°∴∠BAD+∠DAC＝90°，∴∠C＝∠BAD（2）∵AF∥BC，∴∠FAE＝∠AEB，∵AB＝AE，∴∠B＝∠AEB，∴∠B＝∠FAE，且∠AEF＝∠BAC＝90°，AB＝AE，∴△ABC≌△EAF（ASA），∴AC＝EF．【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质18．（2022·陕西）（本题5分）如图，点E、F分别在菱形ABCD的边DC、DA上，且．求证：．【思路分析】根据菱形的性质，可以得到菱形的四条边相等，对角相等，从而可以证明△ADE≌△ABC，所以，故得证．【解题过程】证明：因为四边形ABCD为菱形，所以，，在△AFB与△CEB中，因为，，，所以△APE≌△ABP，所以．【知识点】菱形的性质定理、全等三角形的判定、全等三角形的性质．19（2022·南京）如图，D是△ABC的边AB的中点，DE∥BC，CE∥AB，AC与DE相交于点F．求证：△ADF≌△CEF．【思路分析】依据四边形DBCE是平行四边形，即可得出BD＝CE，依据CE∥AD，即可得出∠A＝∠ECF，∠ADF＝∠E，即可判定△ADF≌△CEF．【解题过程】证明：∵DE∥BC，CE∥AB，∴四边形DBCE是平行四边形，∴BD＝CE，∵D是AB的中点，∴AD＝BD，∴AD＝EC，∵CE∥AD，∴∠A＝∠ECF，∠ADF＝∠E，∴△ADF≌△CEF（ASA）．【知识点】全等三角形的判定；平行四边形的判定18.（2022·广州）如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，求证：△ADE≌CFE．【思路分析】利用AAS证明：△ADE≌CFE．【解题过程】证明：∵FC∥AB，∴∠A＝∠FCE，∠ADE＝∠F，在△ADE与△CFE中：∵∠A=∠FCF∠ADE=∠F∴△ADE≌△CFE（AAS）．【知识点】全等三角形的判定18.（2022·南充）如图，点是线段的中点，且．（1）求证：；（2）若，求的度数．【思路分析】（1）根据线段中点的定义得到，根据平行线的性质得到，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质和平行线的性质即可得到结论．【解题过程】（1）证明：点是线段的中点，，，，在与中，，；（2）解：，，，．【知识点】全等三角形的判定与性质18.（2022·宜宾）如图，，，．求证：．【思路分析】由“”可证，可得．【解题过程】解：证明：，且，【知识点】全等三角形的判定与性质18.（2022·宜昌）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，AB＝DB，BE平分∠ABC，交AC边于点E，连接DE．（1）求证：△ABE≌△DBE；（2）若∠A＝100°，∠C＝50°，求∠AEB的度数．【思路分析】（1）由角平分线定义得出∠ABE＝∠DBE，由SAS证明△ABE≌△DBE即可；（2）由三角形内角和定理得出∠ABC＝30°，由角平分线定义得出∠ABE＝∠DBE=12∠ABC＝15°，在△【解题过程】解：（1）证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠DBE，在△ABE和△DBE中，AB=DB∠ABE=∠DBE∴△ABE≌△DBE（SAS）；（2）解：∵∠A＝100°，∠C＝50°，∴∠ABC＝30°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠DBE=12∠在△ABE中，∠AEB＝180°﹣∠A﹣∠ABE＝180°﹣100°﹣15°＝65°．【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的定义、三角形内角和定理第三批一、选择题第7题图7．（2022·安顺）如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥DE，AC∥DF，那么添加下列一个条件后，仍无法判断△ABC≌△DEF的是（）第7题图A．AB＝DE B．∠A＝∠D C．AC＝DF D．BF＝EC【答案】A【解析】∵AB∥DE，AC∥DF，∴∠B＝∠E，∠ACB＝∠DFE，A、添加AB＝DE可利用AAS判断△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；B、添加∠A＝∠D无法判断△ABC≌△DEF，故此选项符合题意；C、添加AC＝DF可利用AAS判断△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；D、添加BF＝EC可得BC＝EF，可利用ASA判断△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；故选：B．【知识点】全等三角形的判定。判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．二、填空题14．（2022·襄阳）如图，已∠ABC＝∠DCB，添加下列条件中的一个：①∠A＝∠D，②AC＝DB，③AB＝DC，其中不能确定△ABC≌△DCB的是________(只填序号)．答案：②解析：本题考查了全等三角形的判定方法.已知∠ABC=∠DCB，图中有公共边BC=CB，因而添加①∠A=∠D可用AAS证明全等，添加③可用SAS证明全等，添加②就变成了“边边角”，不能确定全等．15.（2022·邵阳）如图，已知，请你添加一个条件，使得，你添加的条件是．（不添加任何字母和辅助线）【答案】或或【解析】，，可以添加，此时满足；添加条件，此时满足；添加条件，此时满足，故答案为或或；【知识点】全等三角形的判定三、解答题23.（2022·桂林）如图，，，点在上．（1）求证：平分；（2）求证：．【解题过程】解：（1）在与中，即平分；（2）由（1）在与中，得【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质20.（2022·镇江）如图，四边形中，，点、分别在、上，，过点、分别作的垂线，垂足为、．（1）求证：；（2）连接，线段与是否互相平分？请说明理由．解：（1）证明：，，，，，，，，，在和中，，；（2）线段与互相平分，理由如下：连接、，如图所示：由（1）得：，，，四边形是平行四边形，线段与互相平分．【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；平行线的性质16.（2022·云南）如图，AB＝AD，CB＝CD.求证：∠B＝∠D.证明：在△ABC和△ADC