知识点30直角三角形勾股定理2022

第一批一、选择题10．（2022·滨州）满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的为（）A．AB＝，BC＝4，AC＝5 B．AB：BC：AC＝3：4：5 C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．＝0【答案】C【解析】A中，∵4＜5＜，AC2+BC2=52+42=41，AB2=（）2=41，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形；B中，∵AB：BC：AC=3：4：5，设AB=3k，BC=4k，AC=5k，∵AB2+BC2=（3k）2+（4k）2=25k2，AC2=（5k）2=25k2，∴AB2+BC2=AC2，∴△ABC是直角三角形；C中，∠A：∠B：∠C=3：4：5，∴∠A=180°×=45°，∠B=180°×=60°，∠C=180°×=75°，∴△ABC不是直角三角形；D中，∵=0，又∵≥0，≥0，∴cosA=，tanB=，∴∠A=60°，∠B=30°，∴△ABC是直角三角形．故选C．13．(2022·广元)如图,△ABC中,∠ABC＝90°,BA＝BC＝2,将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△DEC,连接BD,则BD2的值是________第13题图【答案】【解析】连接AD,过点D作DM⊥BC于点M,DN⊥AC于点N,易得△ACD是等边三角形,四边形BNDM是正方形,设CM＝x,则DM＝MB＝x+2,∵BC＝2,∴CD＝AC＝,∴在Rt△MCD中,由勾股定理可求得,x＝,DM＝MB＝,∴在Rt△BDM中,BD2＝MD2+MB2＝.2811．（2022·滨州）如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【解析】∵∠AOB=∠COD，∴∠AOC=∠BOD，又∵OA=OB，OC=OD，∴△AOC≌△BOD，∴AC=BD，故①正确；∵△AOC≌△BOD，∴∠MAO=∠MBO，如图，设OA与BD相交于N，又∵∠ANM=∠BNO，∴∠AMB=∠AOB=40°，故②正确；如图，过点O分别作AC和BD的垂线，垂足分别是E，F，∵△AOC≌△BOD，AC=BD，∴OE=OF，∴MO平分∠BMC，故④正确；在△AOC中，∵OA＞OC，∴∠ACO＞∠OAC，∵△AOC≌△BOD，∴∠OAC=∠OBD，∴∠ACO＞∠OBM，在△OCM和△OBM中，∠ACO＞∠OBM，∠OMC=∠OMB，∴∠COM＜∠BOM，故③错误，所以①②④正确．故选B．9．(2022·广元)如图,在正方形ABCD的对角线AC上取一点E.使得∠CDE＝15°,连接BE并延长BE到F,使CF＝CB,BF与CD相交于点H,若AB＝1,有下列结论:①BE＝DE;②CE+DE＝EF;③S△DEC＝,④.则其中正确的结论有()A.①②③ B.①②③ ④ C.①②④ D.①③④第9题图【答案】A【解析】①利用正方形的性质,易得△BEC≌△DEC,∴BE＝DE,①正确;②在EF上取一点G,使CG＝CE,∵∠CEG＝∠CBE+∠BCE＝60°,∴△CEG为等边三角形,易得△DEC≌△FGC,CE+DE＝EG+GF＝EF,②正确;③过点D作DM⊥AC于点M,S△DEC＝S△DMC－S△DME＝,③正确;④tan∠HBC＝2－,∴HC＝2－,DH＝1－HC＝－1,∴,④错误.故选A.10．（2022·绍兴）如图1，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱长进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为()A.B.C.D.【答案】A【解析】如图所示：设DM＝x，则CM＝8﹣x，根据题意得：（8﹣x+8）×3×3＝3×3×5，解得：x＝4，∴DM＝6，∵∠D＝90°，由勾股定理得：BM＝＝5，过点B作BH⊥AH，∵∠HBA+∠ABM＝∠ABM+∠ABM＝90°，∴∠HBA+＝∠ABM，所以Rt△ABH∽△MBD，∴，即，解得BH＝，即水面高度为．7．（2022·益阳）已知M、N是线段AB上的两点，AM=MN=2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC、BC，则△ABC一定是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形【答案】B【解析】如图所示，∵AM=MN=2，NB＝1，∴AB=AM=MN+NB＝2+2+1=5，AC=AN=AM+MN=2+2=4，BC=BM=BN+MN1+2=3，∴，，,∴，∴△ABC是直角三角形.1.（2022·湖州）在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积．如图是由5个边长为1的小正方形拼成的图形．P是其中4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点P的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（）A．2B．C．D．第9题图第9题图【答案】D．【解析】如答图，取左下角的小正方形的中心O，作直线OP，得线段AB，则沿折痕AB裁剪，即可将该图形面积两等分．过点A作AC⊥BD于点C，则∠ACB＝90°．由中心对称的性质可知，BD＝EF＝AG，从而BC＝1．又AC＝3，故在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB＝＝．故选D．第9题答图第9题答图2.(2022·宁波)勾股定理是人类最伟大的科学发现之一,在我国古算书《周髀算经》中早有记载.如图1,以直角三角形的各边分别向外作正方形,再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积,则一定能求出A.直角三角形的面积 B.最大正方形的面积C.较小两个正方形重叠部分的面积 D.最大正方形与直角三角形的面积和【答案】C【解题过程】设图中三个正方形边长从小到大依次为:a,b,c,则S阴影＝c2－a2－b2+b(a+b－c),由勾股定理可知,c2＝a2－b2,∴S阴影＝c2－a2－b2+S重叠＝S重叠,即S阴影＝S重叠,故选C.3.（2022·重庆B卷）如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AB=3，AD⊥BC于点D，BE⊥AC与点E，AE=1.连接DE，将△AED沿直线AE翻折至△ABC所在的平面，得△AEF，连接DF.过点D作DG⊥DE交BE于点G.则四边形DFEG的周长为()B.C.D.【答案】D【解析】∵∠ABC=45°，AD⊥BC，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AD=BD.∵BE⊥AC，AD⊥BD，∴∠DAC=∠DBH，∴△DBH≌△DAC（ASA）.∵DG⊥DE，∴∠BDG=∠ADE，∴△DBG≌△DAE（ASA），∴BG=AE，DG=DE，∴△DGE是等腰直角三角形，∴∠DEC=45°.在Rt△ABE中，BE=，∴GE=，∴DE=.∵D，F关于AE对称，∴∠FEC=∠DEC=45°，∴EF=DE=DG=，DF=GE=，∴四边形DFEG的周长为2（+2-）=.故选D．4.5.67.8.二、填空题15．（2022·苏州）“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造．可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”图①是由边长为10cm的正方形薄板分为7块制作成的“七巧板”，图②是用该“七巧板”拼成的一个“家”的图形该“七巧板”中7块图形之一的正方形边长为cm（结果保留根号）.（图①）（图②）（第15题）【答案】【解析】本题考查了正方形性质、等腰直角三角形性质的综合，由题意可知，等腰三角形①与等腰三角形②全等，且它们的斜边长都为×10=5cm，设正方形阴影部分的边长为xcm，则=sin45°=，解得x=，故答案为.第15题答图17．（2022·威海）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接AC，BD.若∠ACB＝90°，AC＝BC,AB＝BD,则∠ADC＝°【答案】105°【解析】过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB垂足为F，由∠ACB＝90°，AC＝BC,得△ABC是等腰直角三角形，由三线合一得CF为中线，从而推出2CF＝AB，由AB∥CD得DE＝CF，由AB＝BD得BD＝2DE，在Rt△DEB中利用三角函数可得∠ABD＝30°，再由AB＝BD得∠BAD＝∠ADB＝75°，最后由AB∥CD得∠BAD＋∠ADC＝180°求出∠ADC＝105°.18．（2022·苏州）如图，一块舍有45°角的直角三角板，外框的一条直角边长为8cm，三角板的外框线和与其平行的内框线之间的距离均为cm，则图中阴影部分的面积为cm：（结果保留根号）．（第18题）【答案】第18题答图解析：如图，三角板的外框线和与其平行的内框线之间的距离均为cm，所以△ABC与△DEF有公共内心O，连接AD、BE、FC并延长相交于点O，过O作OG⊥AB于G，交DE于H.则GH=，S△ABC=OG×（AB+AC+BC）=AB×AC，∴OG=，∴OH=，∵∵DE∥AB，∴△ODE∽△OAB，∴∴，解得DE=6-，S阴影=S△ABC-S△DEF=.12．（2022·江西）在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为(4，0)、(4，4)，(0，4)，点P在x轴上，点D在直线AB上，若DA＝1，CP⊥DP于点P，则点P的坐标为.【答案】（，0）或（，0）【解析】设点P的坐标为（x，0），（1）当点D在线段AB上时，如图所示：∵DA=1，∴点D的坐标为（，）.∴，，.∵CP⊥DP于点P，∴，∴，即，∵△==＜0，∴原方程无解，即符合要求的点P不存在.（2）当点D在线段BA的延长线上，如图所示：∵DA=1，∴点D的坐标为（，）.∴，，.∵CP⊥DP于点P，∴，∴，即，∵△==＞0，∴，∴点P的坐标为（，0）或（，0）.（2022·株洲）如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CM是斜边AB上的中线，E、F分别为MB、BC的中点，若EF＝1，则AB＝．【答案】4【解析】因为Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CM是斜边AB上的中线，所以AB=2CM,又因为E、F分别为MB、BC的中点，所以EF为中位线，所以CM=2EF,从而AB=4EF=4。1.(2022·枣庄)把两个同样大小含45°的三角尺按如图所示的方式放置,其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A,且另外三个锐角顶点B,C,D在同一直线上,若AB＝2,则CD＝________.【答案】－【解析】在等腰直角△ABC中,∵AB＝2,∴BC＝,过点A作AM⊥BD于点M,则AM＝MC＝BC＝,在Rt△AMD中,AD＝BC＝,AM＝,∴MD＝,∴CD＝MD－MC＝－.2.(2022·巴中)如图,等边三角形ABC内有一点P,分别连接AP,BP,CP,若AP＝6,BP＝8,CP＝10,则S△ABP+S△BPC＝________.【答案】16+24【解析】将△ABP绕点B顺时针旋转60°到△CBP',连接PP',所以BP＝BP',∠PBP'＝60°,所以△BPP'是等边三角形,其边长BP为8,所以S△BPP'＝16,因为PP'＝8,P'C＝PA＝6,PC＝10,所以PP'2+P'C2＝PC2,所以△PP'C是直角三角形,S△PP'C＝24,所以S△ABP+S△BPC＝S△BPP'+S△PP'C＝16+24..3.4.5.67.8.910.11.12.13.14.15.1617.18.1920.21.22.23.24.25.2627.28.2930.31.32.33.34.35.3637.38.39三、解答题1.(2022·巴中)如图,等腰直角三角板如图放置,直角顶点C在直线m上,分别过点A,B作AE⊥直线m于点E,BD⊥直线m与点D.（1）求证:EC＝BD;（2）若设△AEC三边分别为a,b,c,利用此图证明勾股定理.证明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形,∴∠ACB＝90°,AC＝BC,∴∠ACE+∠BCD＝90°,∵AE⊥EC,∴∠EAC+∠ACE＝90°,∴∠BCD＝∠CAE,∵BD⊥CD,∴∠AEC＝∠CDB＝90°,∴△AEC≌△CDB(AAS),∴EC＝BD.（2）∵△AEC≌△CDB,△AEC三边分别为a，b，c,，∴BD＝EC＝a,CD＝AE＝b,BC＝AC＝c,∴S梯形＝(AE+BD)ED＝(a+b)(a+b),S梯形＝ab+c2+ab，

∴(a+b)(a+b)＝ab+c2+ab,整理可得a2+b2＝c2,故勾股定理得证.2.3.4.5.67.8.910.11.12.13.14.15.1617.18.1920.21.22.23.24.25.2627.28.2930.31.32.33.34.35.3637.38.39第二批一、选择题12．(2022·海南)如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,AB＝5,BC＝4,点P是边AC上一动点,过点P作PQ∥AB交BC于点Q,D为线段PQ的中点,当BD平分∠ABC时,AP的长度为()A. B. C. D.第12题图【答案】B【解题过程】在Rt△ABC中,∠C＝90°,AB＝5,BC＝4,∴AC＝3,过点D作DE⊥BC于点E,易证△ABC∽△DQE,∵BD平分∠ABC,PQ∥AB,∴BQ＝QD,设QD＝BQ＝4x,则AP＝3x,DP＝4x,∴PQ＝8x,CP＝x,∴AC＝x＝3,∴x＝,AP＝3x＝,故选B.EE第12题答图【知识点】等腰三角形,相似三角形,一元一次方程8．（2022·毕节）如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面积为（）A． B．3 C． D．5【答案】B【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝90°，∴BC2＝EC2﹣EB2＝22﹣12＝3，∴正方形ABCD的面积＝BC2＝3．故选：B．【知识点】勾股定理．6．（2022·陕西）如图，在Rt△ABC中，，，，垂足为D，E是BC的中点，连接ED，则的度数是（）．A．B．C．D．第6题图第6题图【答案】D【解析】因为，所以，所以，因为，所以，因为在Rt△CDB中，E是BC的中点，所以，所以．【知识点】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、直角三角形的性质．10.（2022·黔三州）如右图,在一斜边长30cm的直角三角形木板(即Rt△ACB)中截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF:AC=1:3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为（）A.200cm2B.170cm2C.150cm2cm2【答案】D.【解答过程】∵AF:AC=1:3，∴设AF=x，则AC=3x，CF=2x.∵四边形CDEF是正方形，∴DE∥AC，DE=2x，∴△BDE∽△BCA，∴，∴BD=4x，BC=6x，在Rt△ABC中，BC2+AC2=AB2，∴9x2+36x2=900，∴x2=20，∴S剩余=S△ABC-S正方形CDEF=，故选D.【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；勾股定理.10.（2022·绵阳）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是125，小正方形面积是25，则（sinθ﹣cosθ）2＝（）A．15 B．55 C．35【答案】A【解析】∵大正方形的面积是125，小正方形面积是25，∴大正方形的边长为55，小正方形的边长为5，∴55cosθ﹣55sinθ＝5，∴cosθ﹣sinθ=5∴（sinθ﹣cosθ）2=1故选A．【知识点】数学常识；勾股定理的证明；解直角三角形的应用二、填空题12.（2022·宜宾）如图，已知直角中，是斜边上的高，，，则．【答案】【解析】在中，，由射影定理得，，，故答案为：．【知识点】勾股定理；射影定理15.（2022·南京）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分∠ACB．若AD＝2，BD＝3，则AC的长．【答案】10．【解析】解：作AM⊥BC于E，如图所示：∵CD平分∠ACB，∴ACBC设AC＝2x，则BC＝3x，∵MN是BC的垂直平分线，∴MN⊥BC，BN＝CN=3∴MN∥AE，∴ENBN∴NE＝x，∴BE＝BN+EN=52x，CE＝CN﹣EN由勾股定理得：AE2＝AB2﹣BE2＝AC2﹣CE2，即52﹣（52x）2＝（2x）2﹣（1解得：x=10∴AC＝2x=10故答案为：10．（2022·宿迁）如图，∠MAN＝60°，若△ABC的顶点B在射线AM上，且AB＝2，点C在射线AN上运动，当△ABC是锐角三角形时，BC的取值范围是．【答案】3＜BC【解析】解：如图，过点B作BC1⊥AN，垂足为C1，BC2⊥AM，交AN于点C2在Rt△ABC1中，AB＝2，∠A＝60°∴∠ABC1＝30°∴AC1=12AB＝1，由勾股定理得：BC1在Rt△ABC2中，AB＝2，∠A＝60°∴∠AC2B＝30°∴AC2＝4，由勾股定理得：BC2＝23，当△ABC是锐角三角形时，点C在C1C2上移动，此时3＜BC＜23故答案为：3＜BC＜23【知识点】勾股定理；解直角三角形12.（2022·南京）无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为20cm的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有cm．【答案】5【解析】解：由题意可得：杯子内的筷子长度为：12则筷子露在杯子外面的筷子长度为：20﹣15＝5（cm）．故答案为5．【知识点】勾股定理的应用14．（2022·陕西）如图，在Rt△ABC中，，，BD是△ABC的角平分线，过点D作交边于点E．若，则图中阴影部分面积为．第14题答图第14题答图【答案】1【思路分析】利用角平分线的定义求得，所以△DBE是直角三角形，过点D作AB,CD的垂线，然后利用三角形相似得到边的比例关系，通过勾股定理，即可求出需要的边的长度，利用面积公式，可以求得最终答案．【解题过程】过点D作，垂足为点F，过点D作，垂足为点G，因为，，所以，因为，，，所以，所以四边形DFBG为矩形，因为BD是△ABC的角平分线，所以，又因为，所以是等腰直角三角形，,又因为,所以（等腰三角形三线合一），所以（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），因为四边形DFBG为矩形，，所以矩形DFBG为正方形，所以，，所以∽，∽所以，，设，则，所以，在Rt△ABC中，由勾股定理得，，即，解得或（舍去），所以，，，所以阴影部分的面积等于

【知识点】角平分线的定义、直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、用割补法求不规则几何图形的面积．19．（2022·毕节）三角板是我们学习数学的好帮手．将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，则CD的长度是．【答案】15﹣5．【解析】过点B作BM⊥FD于点M，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10，∴∠ABC＝30°，BC＝10×tan60°＝10，∵AB∥CF，∴BM＝BC×sin30°＝＝5，CM＝BC×cos30°＝15，在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°，∴∠EDF＝45°，∴MD＝BM＝5，∴CD＝CM﹣MD＝15﹣5．故答案是：15﹣5．【知识点】含30度角的直角三角形；勾股定理．15．（2022浙江舟山，15，3分）在△ABC中，若∠A=45°，AC2-BC2=53AB2，则tanC=【答案】5【解析】【知识点】勾股定理，解直角三角形，等腰直角三角形的判定与性质.20.（2022·黔东南）三角板是我们学习数学的好帮手．将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，则CD的长度是．【答案】15﹣53【解析】解：过点B作BM⊥FD于点M，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10，∴∠ABC＝30°，BC＝10×tan60°＝103，∵AB∥CF，∴BM＝BC×sin30°=103×1CM＝BC×cos30°＝15，在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°，∴∠EDF＝45°，∴MD＝BM＝53，∴CD＝CM﹣MD＝15﹣53．故答案是：15﹣53．【知识点】含30度角的直角三角形；勾股定理15.（2022·鄂州）如图，已知线段AB＝4，O是AB的中点，直线l经过点O，∠1＝60°，P点是直线l上一点，当△APB为直角三角形时，则BP＝．【答案】2或23【解析】∵AO＝OB＝2，∴当BP＝2时，∠APB＝90°，当∠PAB＝90°时，∵∠AOP＝60°，∴AP＝OA•tan∠AOP＝23，∴BP=AB2当∠PBA＝90°时，∵∠AOP＝60°，∴BP＝OB•tan∠1＝23，故答案为：2或23或27．【知识点】勾股定理三、解答题第三批一、选择题8．（2022·郴州）古数学刘将勾（人称角角形勾形割成个正形对全等的三角形，如图所示，已知∠A＝90°，BD＝4，CF＝6，则正方形F边长是A． B．2 C． D．4答案：B（第8题图）（第8题图）解析：本题考查了勾股定理和解一元二次方程，设正方形ADOF的边长为x，则AB＝4＋x，AC＝6＋x，BC＝10，由于∠A＝90°，所以BC2＝AB2＋AC2，即100＝16＋8x＋x2＋36＋12x＋x2，解得x＝2或x＝－12（不合题意，舍去），因此本题选B．二、填空题12．（2022·北京）如图所示的网格是正方形网格，则＝____________°（点A，B，P是网格线交点）.【答案】45°【解析】如图12-1，延长AP至C，连结BC.设图中小正方形的边长为1，由勾股定理得，，；∴.即△PBC为等腰直角三角形，∴∠BPC=45°.由三角形外角的性质得.【知识点】勾股定理及逆定理、三角形外角的性质.16．（2022·襄阳）如图，两个火小不同的三角板放在同一平面内，直角顶点重合于点C，点D在AB上，∠BAC＝∠DEC＝30°，AC与DE交于点F，连接AE，若BD＝1，AD＝5，则eq\f(CF,EF)＝________.答案：316（2022·泸州）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，点E在边CB上，CE＝2EB，点D在边AB上，CD⊥AE，垂足为F，则AD的长为．【答案】92【解析】过D作DH⊥AC于H，∵在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，∴AC＝BC＝15，∴∠CAD＝45°，∴AH＝DH，∴CH＝15﹣DH，∵CF⊥AE，∴∠DHA＝∠DFA＝90°，∴∠HAF＝∠HDF，∴△ACE∽△DHC，∴DHAC∵CE＝2EB，∴CE＝10，∴DH15=15-DH10，∴DH＝9，∴故答案为：92．【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；相似三角形的判定与性质17．（2022·安顺）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D为斜边BC上的一个动点，过D分别作DM⊥AB于点M，作DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为.【答案】【解析】连接AD，如图所示：∵DM⊥AB，DN⊥AC，BDMNCA第17题答图∴∠ABDMNCA第17题答图又∵∠BAC＝90°，∴四边形AMDN是矩形；∴MN＝AD.∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，∴BC＝5，当AD⊥BC时，AD最短，此时△ABC的面积＝BC•AD＝AB•AC，∴AD的最小值＝，∴线段MN的最小值为；【知识点】垂线段最短、矩形的判定与性质、勾股定理、直角三角形面积的计算方法16．(2022·大庆)我国古代数学家赵爽的"勾股方圆图"是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的两直角边长分别为a,b,那么(a－b)2的值是______.第16题图【答案】1【解析】(a－b)2＝a2+b2－2ab,其中,由勾股定理可得,a2+b2＝13,直角三角形面积＝(13－1)÷4＝3,即,所以ab＝6所以(a－b)2＝a2+b2－2ab＝13－12＝1.【知识点】勾股定理,完全平方公式9．（2022·龙东地区）一张直角三角形纸片ABC，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，点D为BC边上的任一点，沿过点D的直线折叠，使直角顶点C落在斜边AB上的点E处，当△BDE是直角三角形时，则CD的长为________．【答案】3或.【解析】如图1，∠DEB是直角时，∵∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，∴BC==8,设CD=x，则BD=8-x，由折叠知CD=ED=x，∵∠ACB＝∠DEB=90°，∴△BED∽△BCA，∴，即，解得x=3;如图2，∠EDB是直角时，ED∥AC，∴△BED∽△BAC，∴,即，解得x=，综上，CD的长为3或. 图1 图2【知识点】轴对称；勾股定理；相似三角形三、解答题18.（2022·呼和浩特）如图，在△ABC中，内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c.（1）若a=6，b=8，c=12，请直接写出∠A与∠B的和与∠C的大小关系；（2）求证：△ABC的内角和等于180°；（3）若，求证：△ABC是直角三角形.解：（1）∠C＞∠A+∠B；（2）证明：过点B作直线DE∥AC，∴∠A=∠ABD，∠C=∠CBE，又∵∠ABD+∠ABC+∠CBE=180°，∴△ABC的内角和等于180°（3）证明：原式可变形为∴(a+c)2-b2=2ac，即a2+