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文档简介

第一节向量的线性表示在平面内选择两个不共线的向量组成一组基地线性表示出该平面内任意一个向量的过程称为向量的线性表示，即（其中为基底），向量的线性表示是学习向量的入门级知识，必须熟练掌握.平面向量基本定理告诉我们这一过程是完全可以实现的，那么具体有哪些方法呢？这就是本节我们要学习的知识.方法一、平行四边形法则与三角形法则【例1】已知平行四边形的对角线分别为，，且，点是上靠近的四等分点，设，用表示.【解析】在平行四边形中.点评综合使用向量的加、减、数乘运算的几何意义，将目标向量朝着基底方向推进.【变式1】如图，在平行四边形中，为边的中点，与对角线交于点，设，用表示.【变式2】如图，在中，设，的中点为，的中点为，的中点为，若，则.【例2】如图所示，在中，点是边上，且，点在边上，且与相交于点，设，用表示.【解析】已知，根据梅涅劳斯定理：即故所以又.【知识拓展】梅涅劳斯定理:如图所示，已知分别是直线与的三边所在直线的交点，则.证明：过点作交于点，则，故.说明在应用梅涅劳斯定理时一定要认真观察“哪条直线截哪个三角形”.【变式1】如图，在中，分别为边上的点，且，相交于点，若，，则（）B．C．D．方法二、交叉法则【例3】在中，点满足若，则【解析】已知，则，故因此；.【知识拓展】一般地，在中，为上一点，且则从结果上看式子中向量，的系数就是线段与在线段中的比例系数的一个交换，因此我们称该法则为交叉法则.适当记住该结论可以提高线性表示的效率.【变式1】（2022全国=2\*ROMANII卷）在中，点在上，平分．若，，，则（）A.B.C.D.【变式2】在正方形中，分别为边的中点，为线段的交点，设，则方法三、坐标法【例4】如图，在平面四边形中，，，，点为线段的中点．若()，则的值为_______．【解析】以为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设，则，，，因为，即所以解得因此.点评：利用坐标法进行向量线性表示实质是将问题转化为解二元一次方程组.【变式

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