立体几何起始课

《立体几何起始课》教学设计【教材分析】

立体几何是研究三维空间中物体的形状、大小和位置关系的一门数学学科，而三维空间是人们生存发展的现实空间.

所以，学习立体几何对我们更好地认识、理解现实世界，更好地生存与发展具有重要的意义.

本章内容是义务教育阶段“空间与图形”课程的延续与提高，重点是帮助学生逐步形成空间想象能力.

为了符合学生的认知发展规律，培养学生对几何学习的兴趣，增进学生对几何本质的理解，本章在内容的编排及内容的呈现方式上，与以往的处理相比有较大的变化.

本章内容的设计遵循从整体到局部、从具体到抽象的原则，强调借助实物模型，通过整体观察、直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算，引导学生多角度、多层次地揭示空间图形的本质；重视合情推理与逻辑推理的能力，注意适度形式化；倡导学生积极主动、勇于探索的学习方式，帮助学生完善思维结构，发展空间想像能力.

（1）立体几何初步的教学重点是帮助学生逐步形成空间想象能力．我们提供了丰富的实物模型和利用计算机软件呈现的空间几何体，帮助学生认识空间几何体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构，掌握在平面上表示空间图形的方法和技能．

（2）立体几何初步的教学应注意引导学生通过对实际模型的认识，学会将自然语言转化为图形语言和符号语言．我们尽力帮助学生在直观感知的基础上，认识空间中一般的点、线、面之间的位置关系；通过对图形的观察、实验和说理，使学生初步了解空间平行、垂直关系，从而为学生展现立体几何的全貌．

（3）因为学生在学习立体几何之前学习过平面几何，平面几何与立体几何研究的对象又都来自于日常空间的抽象，并且研究的对象有部分重叠，因此学生在学习立体几何过程中一定会受平面几何知识的影响．又因为平面几何中的结论不能原封不动地搬到立体几何中，有的在立体几何中还成立，而有的却不成立，但在立体图形的一个平面上，平面几何的所有结论又全都可用．因此，在立体几何起始课上，有必要向学生讲清这一点，为后续学习扫清障碍．

（4）我们在教学过程中恰当地使用现代信息技术展示空间图形，为理解和掌握图形几何性质(包括证明)的教学提供形象的支持，提高学生的几何直观能力．

【教学目标】

1.

知识与技能目标

使学生明确学习立体几何的目的，初步了解立体几何研究的内容；使学生初步建立空间观念，会看空间图形的直观图；使学生了解平面几何与立体几何的联系与区别，初步了解立体几何研究问题的一般思想方法.

2.

过程与方法目标

通过动手试验、互相讨论等环节，使学生形成自主学习、语言表达等能力，以及相互协作的团队精神；通过对具体情形的分析，归纳得出一般规律，让学生具备初步归纳能力；借助实物模型，通过整体观察、直观感知，使学生形成积极主动、勇于探索的学习方式，完善思维结构，发展空间想像能力.

3.

情感、态度与价值观目标

通过设立多种情景引入方式，让学生激发学习立体几何的兴趣，能够自主学习、自我探索，形成注重实践、热爱科学、勇于创新的情感、态度与价值观.

【重点难点】

重点：初步了解立体几何研究的内容，培养空间想象能力，了解立体几何研究问题的一般思想方法.

难点：克服平面几何的干扰，了解平面几何与立体几何的联系和区别，初步了解立体几何研究问题的一般思想方法.

【学情分析】

在学习这门课之前，学生系统学习了平面几何的知识，对平面中几何图形的位置和数量关系研究较多，在小学和初中阶段只是比较直观地认识了一些简单的几何体，并没有更深入地对空间中几何图形的位置和数量关系进行推理和计算．

学生在学习过程中将会遇到一些问题：如对学习立体几何的兴趣不足、不能很好地使用直观图来表示立体图形、将平面几何的结论不加研究地类推到立体几何中等等．

【教法分析】

1.

由于是起始课，因此多采取直观的演示幻灯片、使用书本、铅笔、木棒、立方体等模型，直观感知、操作确认，避免过度抽象.

思辩论证、度量计算等手段在后续课程中再采用；

2.

鼓励学生通过动手实验、独立思考、相互讨论等手段得出结论，鼓励学生表达自己的见解，教师只做必要的引导和总结；

3.

从多种具体情形出发，引导学生归纳出一般规律，培养学生的归纳总结能力；

4.

采用模型或软件，使学生的想法能够即时得到实现，所想即所见，快速形成正确认知，提高教学实效性.

【教学过程】

（一）课堂引入（为什么要学习立体几何？）

问题1

①是否存在三条直线两两互相垂直？若存在，请举出实际中的例子.

②到一个定点距离等于定长的点的轨迹是______.

③用5根长度相等的木棒（或火柴）搭正三角形，最多搭成几个正三角形？用6根呢？

（学生讨论，动手操作，教师巡视，并参与其中，然后请学生回答.）

生

①存在.

教室墙角处的三条直线两两互相垂直.

②在平面上是圆，在空间中是球.

③5根长度相等的木棒（或火柴）可最多搭成2个正三角形.6根长度相等的木棒（或火柴）搭成三棱锥，可最多搭成4个正三角形.

师

大家回答得都很好！这表明在现实世界中只研究平面问题是不够的，我们必须“冲出平面，走向空间，迎接挑战，有信心吗？”

生

有！

（用生动有趣的问题创设情境，以达到引入新课的目的.）

（二）研究探讨（立体几何主要研究哪些问题？）

问题2

平面几何的研究对象、内容是什么？

（学生回答，教师补充.

对象：平面图形.

内容：点、线的位置关系、图形的画法、相关计算及应用.）

立体几何的研究对象、内容是什么？

生

立体几何的研究对象：空间图形.

（引导学生看苏州博物馆的实景图（如图1），简单叙述建馆的步骤之一——画设计图.）

师

人们在建造房屋、修建水坝、研究晶体的结构、在计算机上设计三维动画、研究高清晰度电视以及虚拟现实技术都需要立体几何.

我们需要进一步了解我们生活的空间，这就是我们学习立体几何的目的.

（提出以下几个问题，然后小结.）

（1）比较图2、图3，哪个更像正方体？

生

图3.

因图2都是实线，像是平面图形.

（2）在图3中，指出、的大小.

生

它们都是直角

师

从图中看是钝角，是锐角.

（3）点在直线上吗？直线与直线相交吗？

生

点不在直线上，直线与直线不相交.

这表明空间图形与平面图形在画法上的差异，在直观图中判断图形的形状不能沿用平面的眼光，要看得“深远”，要有立体感.

（4）在图3中，设，求四边形的面积以及正方体的体积.

生

四边形的面积是1，正方体的体积也是1.

师

由此，我们知道立体几何的研究对象：空间图形；内容：空间图形的画法，点、线、面的位置关系，计算角的大小，线段长短，面积、体积的大小.

（三）思想方法（如何学习立体几何？）

1.

类比思想

例1

判断下列命题的真假

①平行于同一条直线的两条直线互相平行.

②垂直于同一条直线的两条直线互相平行.

③对边平行的四边形是平行四边形.

④对边相等的四边形是平行四边形.

（学生讨论，然后回答）

生

①对.

师

能给出证明吗？

（学生讨论，试图给出证明，但一一自我否定.）

师

这个命题无论在平面上，还是在空间中都是真命题.

推广到空间就是我们将要学习的平行公理，我们以后再具体研究.

棱柱的侧面的三条公共棱就是这种关系.

那么，问题2呢？

生

不对.

在平面上是真命题，但是在空间，垂直于同一条直线的两条直线不一定平行（同时用三支笔比划出两条直线异面的情形，但无法说清楚两条直线的位置关系.）

师

还有可能出现其他位置关系吗？

生

可能.

两条直线也可能相交.

师

我们再一起来研究问题3，这个结论正确吗？

生

对，这是平行四边形的判定定理.

师

有不同意见吗？

（学生有意识地在空间中找反例，但找不到反例.）

生

在空间中也是正确的.

师

问题4呢？

生

不对，因为没说在平面中.

比如把一张长方形的纸沿着对角线折起来，这时四边形的长度没变，对边仍然相等，但不是平行四边形.

师

回答得非常好.

平面中的有些结论放到空间中看有些成立，有些不成立.

在立体几何的学习中，我们要善于与平面几何做比较，认识其共同点，发现其不同点，这种思想方法即为类比思想.

2.

转化思想

例2

如图4，在长方体中，

.

①求的长；

②求.

生

.

师

对.

把所要求的两个量转化到一个三角形中求解，即把空间问题转化为平面问题，便于计算求值.

例3

在例2长方体的顶点有一只小蚂蚁，沿表面爬到顶点，最短路程是多少？

（学生思考、讨论）

师

在平面几何中，两点之间线段最短，在空间呢？

生

还是线段最短.

但是如果小蚂蚁沿着爬行，就是从长方体的内部穿过去了，不行.

师

对，那样的话，小蚂蚁就变成穿山甲了.

那么，到底小蚂蚁该怎么爬行呢？

生

可以过棱的中点，也可以过棱的中点.

（学生议论纷纷，有些同意，但说不出理由，有些反对，但也找不出方法.）

师

先看第一种情况，小蚂蚁穿过棱爬行至，我们可以试着把长方体模型的侧面沿棱翻折到与侧面在同一平面内.

（学生立即明白）

生

在矩形（见图7）中，就是此时的最短距离，.

同理，可求在其他情形时，，所以，最短距离应为.

师

很好.

这是一道难度较大的题，小蚂蚁到底能不能想出办法，关键在于是否能够考虑到把本来不在同一平面的问题转化为同一平面问题求解.

在立体几何中，需要计算空间图形里角的大小、线段的长度等，通常采取的方法就是把空间问题转化成平面问题，即转化思想.

课堂练习

（1）判断下列命题的真假

①过已知直线外一点有且仅有一条直线和已知直线平行；

②过已知直线上一点有且仅有一条直线和已知直线垂直.

（2）如图8，三棱锥中，底面是等边三角形，，，一只蚂蚁从顶点出发绕侧面一周再回到的最短距离是多少？

课外练习

（1）几何学是随着人类文明的进步而发展起来的.

自公元前1800年左右的古埃及，因尼罗河的泛滥要求丈量土地的面积到如今从土木建筑到家居装潢，从机械设计到商品包装，从航空测绘到零件视图……空间图形与我们的生活息息相关.

请同学们查阅资料，了解几何学的发展进程.

（2）举出一些平面几何中正确的结论，判断其在空间中是否仍然成立.

（3）如图9，一个圆柱形水杯的底面半径为1，高为2，一只小蚂蚁从外侧杯底处出发，爬行至内侧杯底处，最短路程是多少？

【教后反思】

序言课的主要任务是揭示这门学科研究的对象、内容、解决问题的思想方法，它具有承前启后的作用.

上好序言课，对学生学好这门学科有着十分重要的作用.立体几何起始课，如何上呢？我们要从学生身边的“存在”讲起，引导学生观察身在其中的教室、校园，从中选取我们要学习的空间点、线、面、体.

这样引入立体几何，学生感到自然、亲切，从而使学生产生学习的兴趣和信心.

（1）

通过本节课的教学，使学生初步建立空间概念，使学生的视野由平面发展到空间.

不过于追求学生数学语言的科学和严谨，而是力求使学生感受体会立体几何的体系和研究思想，不是一开始就让抽象的符号语言把学生吓住，而是使学生感受到立体几何就在身边.

在授课过程中，充分考虑学生的认知水平和学习能力，注重了从学生已有的知识出发设计问题.

如在立体几何研究的内容中，通过学生熟知的正方体、长方体、圆柱、圆锥等的直观图，使学生深刻认识到了空间图形与平面图形在画法上的差异；通过对长方体、正方体的简单运算，向学生说明了在研究空间图形时不能只依据直觉做出判断，要充分利用平面几何的知识.

这部分教学设计，深入浅出，阐明了立体几何研究的内容；在数学思想方法中，用具体的、学生熟悉和感兴趣的例子揭示本质.

（2）

新课标强调学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，还应倡导自助探究、动手实践、合作交流等方式.

所以新课程下的课堂应当是学生独立思考、自主探究和师生互动的学习过程.

教学内容的问题化、教学过程的探索化能激发学生兴趣、调动课堂气氛，使课堂教学成为在教师指导下的探索学习过程.如在引入中通过小实验，创设了学习情境，激发了学生兴趣