华师版九年级数学上册全册教案教学设计含教学反思

华师版九年级数学上册全册教案教学设计含教学反思

第二十一章二次根式

21.1二次根式

【知识与技能】

1.理解二次根式的概念，并利用&(a>0)的意义解答具体题目.

2.理解右(a20)是非负数和(夜)Ja.

3.理解&=a(a》0)并利用它进行计算和化简.

【过程与方法】

1.提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题.

2.通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出&(a20)是一个非负数，用具

体数据结合算术平方根的意义导出(&)'a(a20),最后运用结论严谨解题.

3.通过具体数据的解答，探究并利用这个结论解决具体问题.

【情感态度与价值观】而

I-a(a<0)

通过具体的数据体会从特殊到一般、分类的数学思想，理解

二次根式的概念及二次根式的有关性质.

1.形如&(a20)的式子叫做二次根式.

2.6(a20)是一个非负数；(&)2=a(a20)及其运用.

利用“&(a30)”解决具体问题.

关键：用分类思想的方法导出a(a20)是一个非负数；用探究的方法导出

曲」a(a2O)

\-a(o<0)

多媒体课件.

回顾：

当a是正数时，、份表示a的算术平方根，即正数a的正的平方根.

当a是零时，右等于0,它表示零的平方根，也叫做零的算术平方根.

当a是负数时，G没有意义.

【教学说明】通过对算术平方根的回顾引入二次根式的概念.

一、思考探究，获取新知

概括：&(a》0)表示非负数a的算术平方根，也就是说，«(a20)是一个非负

数，它的平方等于a.即有：

(1)4a>0；(2)(&)鼻(a20).

形如G(a20)的式子叫做二次根式.

注意：在右中，a的取值必须满足a20,即二次根式的被开方数必须是非负数.

思考：C等于什么？

我们不妨取a的一些值，如2,-2,3,-3等，分别计算对应的标的值，看看有什么

规律.

概括：当a20时，=a；当a<0时，-\[a^=~a.

【教学说明】针对上述问题可给予时间让学生讨论，让学生独立思考。

二、运用新知，深化理解

Lx取什么实数时，下列各式有意义？

(1)6F⑵巫¥；

x-2

(3)V(x-3)2；(4)^7^4+\/4^3x

2.计算下列各式的值：

(1)(V18)2(2)(L

(3)(，)2(4)(35尸

3,若V^TTT+<^T=0,求，严4+/严4的值.

4.化简：

(1)0;(2)“-4尸；

(3)唇(4)--3尸.

5,若-3WxW2时，试化简I%-2I

+，(久+3尸.

【教学说明】可由学生抢答完成，再由老师总结归纳.

【答案】1.(1)冕这于(2)第2-1且工产

4

4

2(3)仝体实数(4)x=j

2.(1)18(2)彳(3)苒(4)453.2

316

4.(1)3(2)4(3)5(4)35.5

1.师生共同回顾二次根式的概念及有关性质：(1)(Va)=a(a^O)；(2)当a20时,

=a；当a<0时，=~a.

2.通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问？请与同伴交流.

【教学说明】教师引导学生回顾知识点，让学生大胆发言，进行知识提炼和知识归纳.

「概念形如痴(67>0)的式子叫做二次根式.

二次—

根式-1性质1：(1)加20(420)

L性质-（2）（指）2=4（。20）

性质2Z止图之.

.<®®©

1.布置作业：从教材相应练习和“习题21.1”中选取.

本节课从复习算术平方根入手引入二次根式的概念，再通过特殊数据的计算，理解二次

根式的有关性质，经历观察、归纳、分类讨论等思维过程，从中获得数学知识与技能，体验

教学活动的方法.

第二十一章二次根式

21.2二次根式的乘除法

21.2.1二次根式的乘法

【知识与技能】

理解五'・孤=，茄(a》b,b20),并利用它们进行计算和化简.

【过程与方法】

由具体数据发现规律，导出&・扬=，石(a20,b20)并运用它进行计算.

【情感态度与价值观】

通过探究&•孤=，石(a^O,b^O),培养特殊到一般的探究精神，培养学生对事

物规律的观察发现能力，激发学生的学习兴趣.

Ja•4b-4ab（a20,b20）,及它的运用.

发现规律，导出，二J茄（a20,b20）.

多媒体课件.2

i.填空：

⑴Rx。=,

....，4..x9.+...........；.

(2)'底x后=,

716x25=；

(3)'/100x./56=,

7100x36=.

参照上面的结果，用或“="填空.

口xR、/4义9,

716x\/25_______\/16x25,

7100x底________710()x36

2.利用计算器计算填空.

五x8屁

区x5师

5xB回;

口x5v5o.

【教学说明】由学生通过具体数据，发现规律，导出&・%=，石（aN0,bN0）.

一、思考探究，获取新知

（学生活动）让3、4个同学上台总结规律.

教师点评：（1）被开方数都是正数；（2）两个二次根式的积等于这样一个二次根式，它

的被开方数等于前两个二次根式的被开方数的积.

一般地，对二次根式的乘法规定为

4a•Jh-4ab(a20,b20).：

例1计算：

(1)J5x/7；(2)Jjx5；

(3)9x师(4)JyX6.

解：(1)5xf7=烬；

⑶。X方=V^5<27=必X3=93；

【教学说明】引导学生应用公式

4~a•4b=\[ab(a20,b20).

二、运用新知，深化理解

1.直角三角形两条直角边的长分别为15cm和12cm,那么此直角三角形斜边长是()

A.3V2cmB.3cmC.9cmD.27cm

2.化简〃的结果是（）

A.\/-aB.A；

（】.—V—（1D.—J（i

3.等式\/x-1•\lx+1=Jx2-1成立的条

件是（）

A.xN1B・％N-1

C.D.xNl或

4.下列各等式成立的是()

A.45x25=85

B.53x4五=205

C.4J3x32=75

1).53x4仅=205

【答案】LB2.C3.A4.D

【教学说明】可由学生抢答完成，再由教师总结归纳.

1.由学生小组讨论汇报通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问？请与

同伴交流.

2.教师总结归纳二次根式的乘法规定，?•括二而(a^O.b^O).

【教学说明】教师引发学习回顾知识点，让学生大胆发言，进行知识提炼和知识归纳.

一般地，有

yfa4h=4ab(a>0,Z>>0)

这就是说，两个算术平方根的积，等于它们

被开方数的积的算术平方根.

1.布置作业：从教材“习题21.2”中选取.

这节课教师引导学生通过具体数据，发现规律，导出•孤=疝(a2O,b2O),

并学会它的应用，培养学生由特殊到一般的探究精神，培养学生对于事物规律的观察、发现

能力，激发学生的学习兴趣.

第二十一章二次根式

21.2二次根式的乘除法

21.2.2积的算术平方根

【知识与技能】

1.^.^-4ab-4a•4b（a》O,b》O）；

2.isffl4ab-4a•Jb（a'O,b2O）.

【过程与方法】

利用逆向思维，得出而=五■•扬（a》O,b》O）,并运用它解题和化简.

【情感态度与价值观】

让学生推导而=右・直（aeo,beO）以训练逆向思维，通过严谨解题，增强学生

准确解题的能力.

-Jab-4a•4b(a20,b20)及其运用.

Jab•4h(a20,b20)的理解与应用.

多媒体课件.2

一般地，对二次根式的乘法规定为—二而（a》0,b20）.反过来，

y[ah=4a•4b（a20,b20）.

【教学说明】引导让学生通过复习上节课学习的二次根式的规定，利用逆向思维，得出

4cib=4a•4b(a20,b20).

一、思考探究，获取新知

例1化简：

(1)<3TT6；(2)V16x81；

(3)V81x10()；(4)\M

解：(1)V5VT6=0x屈=3x4=12；

(2)W6x8l=\Mx闻=4x9=36；

(3)\/81x100=画xx/TOO=9x1()

=90；

(4)回=\^x6=斤XB=3E

【教学说明】引导学生利用疝=—•扬(a20,b>0)直接化简即可.

例2判断下列各式是否正确，不正确的请改正：

(1)7(-4)X(-9)=\T^4x；

(2)屋疹二4xBx后

=4Bx底=4厄=8]3.

【教学说明】注意引导学生理解并掌握积的算术平方根应用的条件：a》0,b20.

二、运用新知，深化理解

1.化简：(1)V20;(2)718;(3)V24；(4)病.

2.自由落体的公式为s=Lgt?(g为重力加速度，它的值为lOm/s?),若物体下落的高度

2

为120m,则下落的时间是s.

【答案】1.(1)25(2)3。(3)2B

(4)3B2.26

【教学说明】可由学生自主完成分组讨论，小组代表汇报，再由老师总结归纳.

1.通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问？请与同伴交流.

2.教师总结归纳积的算术平方根等于各因式算术平方根的积，即

4ab=>[a•4b(a20,b20).

【教学说明】教师引导学生回顾知识点，让学生大胆发言，进行知识提炼和知识归纳.

一般地，有

i4ab=y/a4b(a>0,/>>0)i

这就是说，积的平方根，等于各因式算

术平方根的积.

1.布置作业：从教材“习题21.2”中选取.

^g®@©

本课时教学以“自主探究一一合作交流”为主体形式，先给学生独立思考的时间，提供

学生创新的空间与可能,再给不同层次的学生提供一个交流合作的机会,培养学生独立探究、

合作学习的能力，训练逆向思维，通过严谨解题，增加学生准确解题的能力.

第二十一章二次根式

21.2二次根式的乘除法

21.2.3二次根式的除法

【知识与技能】

1.理解堂=怖(aN0,b>0)和杳=堂(a20,b>0),并运用它们进行计算.

2.利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出

逆向等式及利用它们进行计算和化简.

3.理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式.

【过程与方法】

4a

1.先由具体数据，发现规律，导出(a^0,b>0),并用它进行计算.

4b

_y/a

2.再利用逆向思维,得出(a>0,b>0),并运用它进行解题和化简.

bJb

3.理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式.

【情感态度与价值观】

通过探啜

;(a>0,b>0)培养学生由特殊到一般的探究精神；让学生推导

^4〈a'。"〉。)以训练逆向思维’通过严谨解题’增强学生准确解题的能力.

4a[a_yfa

1.理解(a>0,b>0),(a^0,b>0)及利用它们进行计算和化

y/b

2.最简二次根式的运用.

发现规律，归纳出二次根式的除法规定.最简二次根式的运用.

多媒体课件.2

(学生活动)请同学们完成下列各题.

1.写出二次根式的乘法规定及逆向公式.

2.填空：

zOJ9

/加-

\t-

716

/廊

(一

X2)一

3)q

4)

/怖

V=

回x/16

廊

国

而

/

l=

\

杯:

+L国

.A

3.利用计算器计算填空:

2\

一-

J3一

一7-

口

。

4\

=)=

5一/

规:t

3

一

口

笈

5一

【教学说明】每组推荐一名学生上台阐述运算结果，最后教师点评.

一、思考探究，获取新知

刚才同学们都练习得很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我

们可以得到：

一般地，对二次根式的除法规定:

4a_[a

(a>0,b>0)

反过来,(a20,b>0)

卜面我们利用这个规定来计算和化简一些题目.

例1计算:

直接利嗯

【教学说明】(a^0,b>0)

例2化简:

观察上面各小题的最后结果，发现这些二次根式有这些特点:

(1)被开方数中不含分母；

(2)被开方数中所含的因数(或因式)的基的指数都小于2.

【教学说明】利用二次根式的乘法、除法规定来化简，要求最后结果化成最简二次根式.

二、运用新知，深化理解

1.化简:

(2)-V172-132；

(4)---.

8-2

2.已知'亍则〃的取值范围

是.

3.如图,在RtZ\ABC中，NC=90",AC=2.5cm,BC=6cm,求AB的长.

A

【答案】1.(1)乎(2)-2750(3)

(4)8+五2.0<«^13.6.5cm

【教学说明】第1题可由学生自主完成，第2题、3题教师可给予相应的指导.

请若干学生口述小结，老师再利用电子课件将小结放映在屏幕上.

二次根式的除法

二次根式」1.被开方数有分母时，注意分母的取值范围；

的化简12.进行二次根式乘除运算或化简时，结果要尽可能化简.

1.布置作业：从教材“习题21.2”中选取.

本课时教学突出学生主体性原则，即通过探究学习，指导学生独立思考，通过具体数据

得出规律，再让学生相互交流，或上台展示自己的发现，或表述个人的体验，从中获取成功

的体验后，激发学生探究的激情.

第二H■•一章二次根式

21.3二次根式的加减法

【知识与技能】

1.掌握同类二次根式的概念，会判断同类二次根式，会合并同类二次根式.

2.掌握二次根式加减乘除混合运算的方法.

【过程与方法】

通过二次根式的加减法运算培养学生的运算能力.

【情感态度与价值观】

形成良好的思维习惯，学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能运用所学的知识解

决问题.

二次根式加减法的运算.

^80©

探讨二次根式加减法的运算方法，快速准确进行二次根式加减法的运算.

多媒体课件.2

1.合并同类项：

(1)2x+3x；(2)2X-3X2+5X2.

解：⑴5x；(2)4x2.

这几道题是你运用什么知识做的？加减法则.

2.化简：

(1)停；(2)廊.

解：(1)T；(2)4区

3.如何进行二次根式的加减计算?先化简，再合并.

4.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，这些二次

根式就称为同类二次根式，就是本书中所讲的被开方数相同的二次根式.如2行与3正；

2瓜、3次与5次.

一、思考探究，获取新知

例1计算：

(1)22+32；

(2)2区-3区+5区；

(3)7+2/7+3V55<7'；

(4)3B-23+8.

解：(1)5。；(2)8优;(3)12d(4)2区

例2计算：

(1)2V12-64+3腐；

(2)(41+廊)+(5).

解：(1)14J3；(2)3回+5.

【教学说明】进行二次根式的加减运算时，必须先将其化简，是同类二次根式才可合并.

例3计算:

(1)(揭-5B).6；

(2)(5+B)•(5。-2B);

(3)(35+2))•(3J5-27)；

(4)(4+35产

4LL

解：(1)三-152；(2)19厉;(3)17；

(4)61+245.

【教学说明】在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用.

二、运用新知，深化理解

1.下列计算是否正确？为什么？

⑴底-B二痴二T；

(2)R+9=v?+9；

(3)35-J2=2J2.

2.以卜二次根式：①注；②厄;③停；

④加7中，与8是同类二次根式的是()

A.①和②B.②和③

C.①和④1).③和④

3.计算：

(1)网-画+5；

(2)\M+(项-万j；

(3)；(2+8)一;(2+历)；

24

(4)3\M-9Jy+3712.

4.已知%=8+1,y=B-1，求下列各式的值

(1)X2+2xy+y2；(2)x2-y2.

【答案】L解：(1)不正确，此式结果为2

2-B；

(2)不正确,此式结果为5；(3)正确.

2.C

3.解：(1)35;

(2)10。一3B；

⑶丁丁；

(4)15区

4.解:⑴12；(2)4区

【教学说明】这类计算的简便方法是先变形，再代入求值.

请学生分组讨论，小组代表汇报，教师展示本节课学习的知识要点.

^g®@©

1.同类二次根式

如-2G与4及，3人与-2万

2.二次根式的加减

二次根式相加减，先把各个二次根式化简，

再将同类二次根式合并.

1.布置作业：从教材“习题21.3”中选取.

18@©

本节课通过复习整式的加减法合并同类项，引入二次根式的概念及二次根式的合并方

法，对法则的教学与整式的加减比较学习，在理解、掌握和运用二次根式的加减法运算法则

的学习过程中，渗透了分析、概括、类比等数学思想方法，提高学生的思维品质和兴趣.

第二十二章一元二次方程

22.1一元二次方程

【知识与技能】

1.知道一元二次方程的意义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式ax2+bx+c=0(a

WO).

2.在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型(一元二次方程)的

过程中，使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具,增加对一元二次方程的感性认识.

【过程与方法】

通过解决实际问题，把实际问题转化为数学模型，引入一元二次方程的概念，让学生认

识一元二次方程及其相关概念，提高学生利用方程思想解决实际问题的能力.

【情感态度与价值观】

通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情.

判定一个数是否是方程的根.

由实际问题列出的一元二次方程解出根后，还要考虑这些根是否确定是实际问题的根.

多媒体课件.2

问题1绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长

方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？

【分析】设长方形绿地的宽为x米，不难列出方程x(x+10)=900,整理可得

X2+10X-900=0.(1)

问题2学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两

年的年平均增长率.

解：设这两年的年平均增长率为x,我们知道，去年年底的图书数是5万册，则今年年

底的图书数是5(1+x)万册，同样，明年年底的图书数又是今年年底的(1+x)倍，即5

(1+x)•(1+x)=5(1+x)2万册.可列得方程5(1+x)2=7.2,整理可得5<+10x-2.2=0(2)

【教学说明】教师引导学生列出方程，解决问题.

一、思考探究，获取新知

思考、讨论

问题1和问题2分别归结为解方程（1）和（2）.显然，这两个方程都不是一元二次方

程.那么这两个方程与一元二次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？

共同特点：

（1）都是整式方程

（2）只含有一个未知数

（3）未知数的最高次数是2

【归纳总结】上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2,

这样的方程叫做一元二次方程.通常可写成如下的一般形式：ax2+bx+c=O（a,b、c是已知数,

aWO）.其中ax?叫做二次项，a叫做二次项系数，bx叫做一次项系数，c叫做常数项.

二、典例精析，掌握新知

例1判断下列方程是否为一元二次方程：

I1-x2=0②2（x2-1）=3y

③2/-3.x-1=0@'4--=0

%%

（KK久+3）2=（》-3>⑥9%2=5-4x

解：①是；②不是；③是；④不是；⑤不是；⑥是.

【教学说明】（1）一元二次方程为整式方程；（2）类似⑤这样的方程要化简后才能判断.

例2将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项

系数.一次项系数及常数项.

解：2X2-13X+11=0；2,-13,11.

【教学说明】将一元二次方程化成一般形式时，通常要将首项化负为正，化分为整.

三、运用新知，深化理解

1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及

常数项.

（1）5X2-1=4X

（2）4x=81

(3)4x(x+2)=25

(4)(3x-2)(x+1)=8x-3

解：⑴5X2-4X-1=0；5,-4,-1；

(2)4x2-81=0：4,0,-81

(3)4X2+8X-25=0；4,8,-25

(4)3x-7x+>0；3,-7,1.

2.根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式.

(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25,求正方形的边长x；

(2)一个长方形的长比宽多2,面积是100,求长方形的长x；

(3)把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平

方，求较短一段的长X.

解：⑴4x=25；4xJ25=0；

(2)x(x-2)=100；x-2x-100=0；

(3)x=(1-x)2；x2-3x+l=0.

3.若x=2是方程ax2+4x-5=0的一个根，求a的值.

解：：x=2是方程ax2+4x-5=0的一个根.

3

.•.4a+8-5=0解得：a=--.

4

L只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程.

2.一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0(a#0),一元二次方程的项及系数都是根据

一般式定义的，这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的.

3.在实际问题转化为数学模型(一元二次方程)的过程中，体会学习一元二次方程的必

要性和重要性.

是整式方程

一元二次方程的概念只含有一个未知数

一未知数的最高次数是2

元

二

2

次一元二次方程的一般形式（ix+bx-=0（存0）

方

程

二次项系数

常数项

一元二次方程的解(根)一次项系数

4g®®©

1.布置作业：从教材“习题22.1”中选取.

学习本课时，可让学生先自主探索再合作交流，小组内，小组之间充分交流后概括所得

结论，从而强化学生对一元二次方程的有关概念的认识，掌握建模思想，利用一元二次方程

解决实际问题.

第二十二章一元二次方程

22.2一元二次方程的解法

22.2.1直接开平方法和因式分解法

【知识与技能】

1.会用直接开平方法解形如a(x-k)2=b(aW0,ab20)的方程.

2.灵活应用因式分解法解一元二次方程.

3.使学生了解转化的思想在解方程中的应用.

【过程与方法】

创设学生熟悉的问题情境，综合运用探究式、启发式、活动式等几种方法进行教学.

【情感态度与价值观】

鼓励学生积极主动的参与“教”与“学”的整个过程，激发求知的欲望，体验求知的成

功，增强学习的兴趣和自信心.

利用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程.

合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练地解一元二次方程.

多媒体课件.2

问：怎样解方程(x+1)2=256?

解：方法1：直接开平方，得x+l=±16

所以原方程的解是x,=15,X2=-17

方法2：原方程可变形为：

(x+1)--256=0,方程左边分解因式，得(x+1+16)(x+1-16)=0

即(x+17)(x-15)=0

所以x+17=0或x-15=0

原方程的解*=15,X2=T7

【教学说明】让学生说出作业中的解法，教师板书.

一、思考探究，获取新知

探究一桶油漆可刷的面积为1500dm2,李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形

状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？

探究1设一个盒子的棱长为xdm,则它的外表面面积为，10个这种盒子的外表面面积

的和为，由此你可得到方程为，你能求出它的解吗？

【教学说明】学生通过自主探究，尝试用开平方法解决一元二次方程，体验成功的快乐.

教师应关注学生的思考是否正确，是否注意到实际问题的解与对应的一元二次方程的解之间

的关系，帮助学生获取新知.

【讨论结果】解：6x2,10X6x；10X6x2=1500,整理得x?=25,根据平方根的意义，得x=

±5,可以验证，5和-5是原方程的两个根，因为棱长不能为负值，所以盒子的棱长为5dm,

故x=5dm.

【归纳结论】一般地，对于方程

x2=p,(1)

(1)当p>0时，根据平方根的意义，方程(【)有两个不等的实数根

XI=-7P,X2=A；

(2)当p=0时，方程(I)有两个相等的实数根Xi=Xz=O;

(3)当p<0时，因为对任意实数x,都有所以方程(I)无实数根.

探究2学生通过讨论，交流得出方程为10『4.9/=0.

在学生用配方法或公式法求出上述方程的解后，教师引导学生尝试找出其简捷解法为：

x(10-4.9x)=0.x=0或10-4.9x=0,XFO,X=—七2.04.

249

从而可知物体被抛出约2.04s后落回到地面.

想一想以上解方程的方法是如何使二次方程降为一次方程的？

【教学说明】让学生自主探索，进行归纳总结，既锻炼学生的分析问题，解决问题能力，

又能培养总结化归能力，并从中体验转化、降次的思想方法.

【讨论结果】当方程的一边为0,而另一边可以分解成两个一次因式的乘积时，利用

a・b=O,则a=0或b=0,把一元二次方程变为两个一元一次方程，从而求出方程的解.这种

解法称为因式分解法.

二、典例精析，掌握新知

例1用直接开平方法解下列方程

(1)(3x+l)2=7；(2)y2+2y+l=24;(3)9n-24n+16=l1.

解：(i)一；7；

(2)-1±2⑹；

(3)4±41_

【教学说明】运用开平方法解形如(x+m):n(n>0)的方程时，最容易出现的错误是

漏掉负根.

例2用因式分解法解下列方程：

(1)5x-4x=0

(2)3x(2x+l)=4x+2

(3)(x+5)2=3X+15

_4

解：(1)%l=0,%2二彳

/、21

(2).=y,x2=-y

⑶=-5,%2=-2

【教学说明】解这里的(2)(3)题时，注意整体划归的思想.

三、运用新知，深化理解

1.用直接开平方法解下列方程

(1)3(x-1)-6=0

(2)x-4x+4=5

(3)(x+5)J25

(4)X2+2X+1=4

解：(1)%I=1+优,%2T-K

(2)阳=2+5,出=2-5

(3=0,久2=-10

(4)Q=1,叼=-3

2.用因式分解法解下列方程：

(1)f+%=0(2)x2-2乐=0

(3)3,-6x=-3(4)4.1121=0

(5)(%—4)2=(5-2%)2

解：(1)%]=0,%2=~1

(2).%=。,n=28

(3)%,="2=1

，八1111

(4)盯=—,x2=--

(5)久]=3,x2=1

3.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地

的半径.

解：设小圆形场地的半径为xm.

则可列方程2nx1n(x+5)；

解得Xi=5+5,X2=5-5(舍去).

答：小圆形场地的半径为(5+5a)m.

【教学说明】可由学生自主完成例题，分小组展示结果，教师点评.

1.引导学生回忆用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程的一般步骤.

2.对于形如a(x-k)Jb(a#O,b'O)的方程，只要把(x-k)看作一个整体，就可转

化为x2=n(n>0)的形式用直接开平方法解.

3.当方程出现相同因式(单项式或多项式)时，切不可约去相同因式，而应用因式分解

法解.

因式分解的方法有

ma+mb+me=m(a+b+c);

将方程左边因式

22

分解，右边=0.a±2ab+b=(a±6户；

a2-h2=(a+b)(a-h).

因式分解法原理如果。,力=0，那么o=0或6=0.

简记歌诀：

步骤右化零左分解

两因式各求解

1.布置作业：从教材“习题22.2”中选取.

本节课教师引导学生探讨直接开平方法和因式分解法解一元二次方程，让学生小组讨

论，归纳总结探究，掌握基本方法和步骤，合理、恰当、熟练地运用直接开平方法和因式分

解法，在整个教学过程中注意整体划归的思想.

22.2.2配方法

【知识与技能】

掌握用配方法解一元二次方程.

【过程与方法】

理解通过变形运用开平方法解一元二次方程的方法，进一步体验降次的数学思想方法.

【情感态度与价值观】

在学生合作交流过程中，进一步增强合作交流意识，培养探究精神，增强数学学习的乐

趣.

用配方法解一元二次方程的方法和技巧.

用配方法解一元二次方程的方法和技巧.

多媒体课件.

问题要使一块长方形的场地的长比宽多6m,并且面积为16m*场地的长与宽各是多少？

思考如果设这个长方形场地的宽为xm,则长为,由题意可列出的方程

为，你能将此方程化为（x+n）Jp的形式，并求出它的解吗？

【教学说明】经历从实际问题中抽象出一元二次方程模型的过程，进一步增强学生的数

学建模能力，并通过思考，用类比、转化思想方法探索出解这类方程的一种方法，导入新课.

教学过程中，应给予学生充分思考，交流活动时间，达到探索新知的目的.

一、思考探究，获取新知

讨论:配方法届一元二次方程的一般步骤：

【讨论结果】（1）现将已知方程化为一般形式；（2）化二次项系数为1；（3）常数项移

到右边；（4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；（5）

变形为（x+p）2=q的形式，如果q》0,方程的根是X=-p±Jq；如果q<0,方程无实根.

二、典例精析，掌握新知

例1解下列方程

(1)2X2+1=3X(2)3xJ-6x+4=0(3)(1+x)2+2(1+x)-4=0

【分析】我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配

一个含有x的完全平方.

【解】略

三、运用新知，深化理解

1.将二次三项式x?-4x+2配方后，得()

A.(x-2).2

B.(x-2)-2

C.(X+2)2+2

D.(X+2)2-2

2.已知XJ8X+15=0,左边化成含x的完全平方式，其中正确的有()

A.X-8X+(-4)M1

B.x-8x+(-4)=l

C.XZ+8X+42=1

D.X2-4X+4=-11

r2—r—2

3.若代数式，的值为0,则x的值为_______.

x-1

4.方程x-2x-3=0的解为.

5.要使一块长方形场地的长比宽多3m,其面积为28m试求这个长方形场地的长与宽

各是多少？

【教学说明】通过上述几道题目的练习，可进一步巩固对本节知识的理解和领悟.

【答案】LB

2.B

3.x=2

4.Xi=­1,X2=3

5.长与宽分别为7nl和4m.

1.通过本节课的学习，你能用配方法解一元二次方程吗？有哪些需要注意的地方？

2.用配方法解一元二次方程涉及哪些数学思想方法？

【教学说明】让学生通过对上述问题的回顾与思考，反思学习体会，完善知识体系.

1.通过配成完全平方的形式来解方程的方法，

叫做配方法.

2.用配方法解『II次方程的一般步骤：

一移T二化T三配一四开.

«@©

1.布置作业：从教材“习题22.2”中选取.

1.本节课，重在学生的自主参与，进而获得成功的体验，在数学方法上，仍突出数学研

究中转化的思想，激发学生产生合理的认识冲突，激发兴趣，建立自信心.

2.在练习内容上，有所改进，加强了核心知识的理解与巩固，提高自己解决问题的能力，

感受数学创造的乐趣，提高教学效果.

3.用配方法解一元二次方程是学习解一元二次方程的基本方法,后面的求根公式是在配

方法的基础上推出的，配方法在使用时又与原来学习的完全平方式联系密切，用配方法解一

元二次方程既是对原来知识的巩固，又是对后面学习内容的铺垫.在二次函数顶点坐标的求

解中也同样使用的是配方法，因此配方法是一种基本的数学解题方法.

22.2.3公式法

【知识与技能】

i.理解并掌握求根公式的推导过程；

2.能利用公式法求一元二次方程的解.

【过程与方法】

经历探索求根公式的过程，加强推理技能，进一步发展逻辑思维能力.

【情感态度与价值观】

用公式法求解一元二次方程的过程中，锻炼学生的运算能力，养成良好的运算习惯，培

养严谨认真的科学态度.

用公式法解一元二次方程.

推导一元二次方程求根公式的过程.

多媒体课件

我们知道，对于任意给定的一个一元二次方程，只要方程有解，都可以利用配方法求出

它的两个实数根.事实上，任何一个一元二次方程都可以写成ax?+bx+c=O的形式，我们是否

也能用配方法求出它的解呢？想想看，该怎样做？

【教学说明】让学生回顾用配方法解一元二次方程的一般过程，从而尝试着求

ax2+bx+c=0(aWO)的方程的解，导入新课，教学时，应给予足够的思考时间，让学生自主

探究.

一、思考探究，获取新知

通过问题情境思考后，师生共同探讨方程ax2+bx+c=O(a#0)的解.

bc

由ax'+bx+c=O(aWO),移项，ax?+bx=-c.二次项系数化为1,得x、一x=--.配方，得

aa

bb.c.b.b,b2-4ac

x2+-x+(t—)2=——+(h)-2，InrPl/2

a2aa2a2a4a~

至此，教师应作适当停顿，提出如下问题，引导学生分析、探究：

(1)两边能直接开平方吗？为什么？

(2)你认为下一步该怎么办？谈谈你的看法.

【教学说明】设置停顿并提出两个问题的目的在于纠正学生的盲目行为，引导学生正确

认识代数式b?-4ac的取值与此方程的解之间的关系，加深认知.教学时，应让学生积极主动

思考，畅所欲言，在相互交流中促进理解.

【讨论结果】师生共同完善认知：

(1)当好-4QC>0时，两边可直接开平方,

-6+\/b2-4ac-b-qb~-4ac

x9X2

,•i~l5a=loa；

(2)当/-4ac=0时，有(x+2)。=0.Xj=

2a

X,=-5(注意:防止出现x=-g的错误认识)；

laZa

(3)当If-44c<0时，由(工+g尸<0可

2a

知,此方程无解.

一般地，式子b?-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(aW0)根的判别式，通常用△表示,

即A=b2-4ac.从而有：

①当△=bJ-4ac>0时，方程ax2+bx+c=0(aWO)有两个不相等的实数根；当△=b"-4ac=0

时，方程ax"+bx+c=O(aWO)有两个相等实数根；当△=b"4acV0时，方程ax,bx+cWXaWO)

没有实数解；

—h+h~—4"，、

②当A20时，方程ax'bx+cRSWO)的两个实数根可写成x=—,这个

2a

式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a^0)的求根公式.

二、典例精析，掌握新知

例1不解方程，判别下列各方程的根的情况.

(l)x2+x+l=O;(2)X2-3X+2=0;(3)3X-A/2X=2.

【分析】找出方程中二次项系数、一次项系数和常数项，利用b'-4ac与0的大小关系

可得结论.注意：在确定方程中a、b、c的值时，一定要先把方程化为一般式后才能确定，

否则会出现失误.

【解】由(1)；a=l,b=l,c=l,"TacnJxiXEVO,原方程无实数解；

(2)Va=l,b=-3,c-2,△=bL：-4ac=(-3);;-4X1X2=l>0,.,.原方程有两个不相等实数根;

(3)原方程可化为3x-V2x-2=0,.\a=3,b=-&,c=-2,/.△=b2-4ac=(-72)2-4X3

X(-2)=2+24=26>0....原方程有两个不相等的实数根.

例2用公式法解下列方程:

(1)X2-4X-7=0;(2)2X2-25/2X+1=0;(3)5x2-3x=x+l;(4)x2+17=8x

【分析】将方程化为一般形式后，找出a、b、c的值并计算b?-4ac后，可利用公式求

出方程的解.

【解】

解：(1)•「a=1,6=-4,c=-7A=-

4ac=(-4)2-4x1x(-7)=44>0,/.方程的

两个实数根为X=4土2"二2土叵,即/二2

+7H,X2=2-x/n；

(2)".'a=2.6=-22,c=l,且

4ac=(-2①2_4x2xl=0,.•.方程有两个相