高中数学第1章三角函数121任意角的三角函数第1课时任意角的三角函数的定义数学教案

第1课时随意角的三角函数的定义学习目标1.借助单位圆理解随意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．(要点、难点)

核心修养1.借助单位圆给出随意角三角函数的定义，培育了学生数学抽象和数学建模掌握随意角三角函数(正弦、余弦、正切)的核心修养.在各象限的符号．(易错点)3.掌握公式——并会应用．

2.经过利用三角函数定义及符号特色求值，提高了学生直观想象和数学运算的核心修养

.1．随意角的三角函数的定义如图，设

α是一个随意角，它的终边与单位圆交于点

P(x，y)前提正弦y叫做α的正弦，记作sinα，即sinα＝y余弦x叫做α的余弦，记作cosα，即cosα＝x定义ytanα，即tany正切x叫做α的正切，记作α＝x三角正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或函数坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域三角函数定义域sinαRcosαRtanαx∈Rx≠kπ＋π，k∈Z2正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号图示：口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．4．引诱公式一思虑：终边同样的角的同名三角函数值必定相等吗？提示：必定相等．1．若角α的终边经过点P(2，3)，则有( )A．sinα213B．cosα13＝13＝2C．sin313D．tan2α＝13α＝3C[这里x＝2，＝3，则r＝22＋32＝13，y∴sinα＝3132133，cosα＝，tanα＝，应选C.]131322．已知sinα＞0，cosα＜0，则角α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角B[由正弦、余弦函数值在各象限内的符号知，角α是第二象限角．]3．sin253π＝．325ππ32[sin3π＝sin8π＋3＝sin3＝2.]4．角α终边与单位圆订交于点M3，1．，则cosα＋sinα的值为223＋1[cosα＝x＝3122，sinα＝y＝，2故cosα＋sinα＝3＋12.]三角函数的定义及应用[研究问题]1．一般地，设角α终边上随意一点的坐标为(x，y)，它与原点的距离为r，则sinα，cosα，tanα为什么值？yxy提示：sinα＝r，cosα＝r，tanα＝x.2．sinα，cosα，tanα的值能否随P点在终边上的地点的改变而改变？提示：sinα，cosα，tanα的值只与α的终边地点相关，不随P点在终边上的位置的改变而改变．10【例1】(1)已知角θ的终边上有一点P(x，3)(x＞0)，且cosθ＝10x，求sinθ，tanθ的值为；已知角α的终边落在直线3x＋y＝0上，求sinα，cosα，tanα的值．思路点拨：(1)依照余弦函数定义列方程求x→依照正弦、正切函数定义求sinθ和tanθ的值(2)判断角α的终边地点→分类议论求sinα，cosα，tanα1010，3[由三角函数定义知，xx10x.cosθ＝＝2＝10rx＋9∵x＞0，∴x＝1，∴r＝10.∴sinθ＝310，tanθ＝y＝3.]10x(2)[解]直线3x＋y＝0，即y＝－3x，经过第二、四象限，在第二象限取直线上的点(－1，3)，则r＝2＋（2α＝31α（－1）3）＝2，因此sin，cosα＝－，tan22＝－3；在第四象限取直线上的点(1，－3)，则r＝12＋（－3）2＝2，因此sinα＝－3，cosα＝1，tanα＝－3.221．将本例(1)中条件“x＞0”改为“x＜0”，结果如何？[解]x10x得x＝－1.∵x＜0，由＝10x2＋910sinθ＝，tanθ＝－3.102．将本例(1)中条件“x＞0”改为“x≠0”，结果又如何？[解]

由于

r＝

x2＋9，cos

xθ＝r，x因此x＝，10x2＋9又x≠0，因此x＝±1，因此r＝10.310当x＝1时，sinθ＝10，tanθ＝3，10当x＝－1时，sinθ＝10，tanθ＝－3.3．将本例(1)中“(，3)”改为“(，3x)”，且把“cosθ＝10x”去掉，结果又PxPx10如何？[解]∵x≠0，∴r＝x2＋（3x）2＝10|x|.当x＞0时，P在第一象限，θ为第一象限角，这时r＝10x，31010则sinθ＝10，cosθ＝10，tanθ＝3.当x＜0时，P在第三象限，θ为第三象限角，这时r＝－10x.则sin310θ＝－10，tanθ＝3.θ＝－10，cos104．将本例(2)的条件“3x＋＝0”改为“y＝2”其余条件不变，结果又如何？yx[解]当角的终边在第一象限时，在角的终边上取点P(1，2)，由r＝|OP|＝12＋22＝5，得sin225152α＝＝，cosα＝＝，tanα＝＝2.55551当角的终边在第三象限时，在角的终边上取点Q(－1，－2)，由r＝||＝（－1）2＋（－2）2＝5，OQ－225－15得：sinα＝5＝－5，cosα＝5＝－5，2tanα＝＝2.－1由角α终边上随意一点的坐标求其三角函数值的步骤：已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：①先利用直线与单位圆订交，求出交点坐标，而后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．P(x，y)，P到原点的距离为r(r>0)．则siny②在α的终边上任选一点α＝r，cosαxαα＝r.已知的终边求的三角函数时，用这几个公式更方便．(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，必定注意对字母正、负的鉴别，若正、负不决，则需分类议论．三角函数值符号的运用【例2】(1)已知点P(tanα，cosα)在第四象限，则角α终边在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(2)判断以下各式的符号：①sin145°cos(－210°)；②sin3·cos4·tan5.思路点拨：(1)先判断tanα，cosα的符号，再判断角α终边在第几象限．先判断已知角分别是第几象限角，再确立各三角函数值的符号，最后判断乘积的符号．tanα>0，(1)C[由于点P在第四象限，因此有由此可判断角α终边在第三象限．]cosα<0，[解]①∵145°是第二象限角．∴sin145°＞0.∵－210°＝－360°＋150°，∴－210°是第二象限角，cos(－210°)＜0，sin145°cos(－210°)＜0.π3π3π②∵2＜3＜π，π＜4＜2，2＜5＜2π，sin3＞0，cos4＜0，tan5＜0，sin3·cos4·tan5＞0.判断三角函数值在各象限符号的攻略：基础：正确确立三角函数值中各角所在象限；要点：正确记忆三角函数在各象限的符号；注意：用弧度制给出的角经常不写单位，不要误以为角度致使象限判断错误．提示：注意巧用口诀记忆三角函数值在各象限符号．1．已知角α的终边过点(3a－9，a＋2)且cosα≤0，sinα＞0，则实数a的取值范围是．[－2，3][由于cosα≤0，sinα＞0，因此角α的终边在第二象限或y轴非负半轴上，由于α终边过(3a－9，a＋2)，3a－9≤0，因此因此－2＜a≤3.]a＋2＞0，ααα2．设角α是第三象限角，且sin2＝－sin2，则角2是第象限角．四[角α是第三象限角，则角α2是第二、四象限角，ααα∵sin2＝－sin2，∴角2是第四象限角．]引诱公式一的应用【例3】求值：(1)tan405°－sin450°＋cos750°；7π23π15π13π(2)sin3cos－6＋tan－4cos3.[解](1)原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(2×360°30°)tan45°－sin90°＋cos30°＝1－1＋33＝.22ππππ(2)原式＝sin2π＋3cos－4π＋6＋tan－4π＋4·cos4π＋3ππππ3315＝sincos＋tancos＝×＋1×＝.36432224利用引诱公式一进行化简求值的步骤(1)定形：将已知的随意角写成2kπ＋α的形式，此中α∈[0，2π)，k∈Z.(2)转变：依据引诱公式，转变为求角α的某个三角函数值．求值：若角为特别角，可直接求出该角的三角函数值．3．化简以下各式：(1)a2sin(－1350°)＋b2tan405°－2abcos(－1080°)；(2)sin11π＋cos12π·tan4π.－65[解](1)原式＝a2sin(－4×360°＋90°)＋b2tan(360°＋45°)－2abcos(－3×360°)a2sin90°＋b2tan45°－2abcos0°a2＋b2－2ab＝(a－b)2.1112(2)sin－6π＋cos5π·tan4ππ12π1sin－2π＋6＋cos5π·tan0＝sin6＋0＝2.1．经过三角函数的定义的学习，为此后学习全部三角函数知识打下了基础，要充分理解其内涵，掌握住三角函数值只与角的终边所在地点相关，与所选用的点在终边上的地点无关这一要点点．2．三角函数的定义域是学习三角函数图象与性质的基础，经过对角的会合与函数值之间的对应关系，加深对三角函数定义的理解．3．三角函数值在各象限的符号取决于终边所在的地点，详细说取决于x，y的符号，记忆时联合三角函数定义式，也可用口诀只记正的：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．1．有以下说法：①终边同样的角的同名三角函数的值相等；②sinα是“sin”与“α”的乘积；③若sinα＞0，则α是第一、二象限的角；④若α是第二象限的角，且(，)是其终边上一点，则cosα＝－x.Pxyx2＋y2此中正确的个数是( )A．0B．1C．2D．3πB[①正确；②错误；sinα是整体；③错误，如sin2＝1＞0；④错误，cosα＝xx2＋y2，故B选项正确．]2．若sinθ·cosθ＞0，则θ在( )A．第一或第四象限B．第一或第三象限C．第一或第二象限D．第二或第四象限B[由于sinθ·cosθ＞0，因此sinθ＜0，cosθ＜0或sinθ＞0，cosθ＞0，因此θ在第三象限或第一象限．]3．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边对于x轴对称，α1β若sin＝5，则sin＝．1[