江苏省镇江市某中学2022-2023学年高三第一次学情调研数学试卷

高三年级暑期学情调研

数学试题

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的）

1.已知集合4=={x\2<x<5},B={尤-3x-4<0},则4nB==()

A.2,4B.[2,4]C.-1,5)D.-1,2)

2.复数:=()

2—1

.1,3.1.3.「3.1

A.—H--iBD.一+-iC.----F-iD.-+

55555555

3.在△ABC中,点〃在边43上，BD=2DA.记后？=万，CD=n,则而=（）

A.3m-2nB.-2m+3nC.3沅+2元D.2m+3n

4.从2,4,6,8中任取2个不同的数a,b,则|a—b|=4的概率是（)

A.；B.1C.iD.-

2346

5.已知】f（x）=2sin(a)x+cp}(^\(p\<^,a)>0^,f(0)二yf2,/g)=2,且f(x)在&§上无最小值,则

3=()

.3

AB.1C,：D.2

-;2

6.已知不等式ar+2-21nx之0恒成立，则d的取值范围为（)

B-*+8)C.(o,52

A.》+8）D-0,-

sinl

7.已知la=esE%b=n,c=logne,则()

A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a

8.已知球。的体积为宁H高为1的圆锥内接于球。，经过圆锥顶点的平面a截球。和圆锥所得的截面面

O

积分别为S1，S2,若S1=等，则$2=（）

O

A.2B.V5C.>/6D.2V2

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，不选或有错选的得0分）

9.如图所示，已知正方体力BCD-a8传1劣的棱长为1,M,N分别是4D,

CG的中点，P是线段4B上的动点，则下列说法错误的是()

A.直线当必不可能与平面MNP平行

B.AMPN不可能是钝角三角形.

C.当点P与48两点不重合时，平面PMN截正方体所得的截面是六边形

D.平面PMN截正方体所得的截面不可能是三角形

10.已知函数f(x)=-0+1)/，下列说法正确的是()

A.〃町在(一8,-2)上单调递减，在(-2,+8)上单调递增.

B./(x)在R上仅有一个零点

C.若关于x的方程/(x)=a(a€R)有两个实数解，则a<

D./(无)在R上有最大值e-2,无最小值

11.已知/'(x)=(x+l)eHg(x)=x(lnx+1),则()

A.函数/"(X)在R上有两个极值点

B.函数g(x)在(0,+oo)上的最小值为

C.若对任意xe[l,2],不等式g(ax)2g(/+1)恒成立，则实数a的最小值为|

D.若/'(xi)=g(>2)=t(t>0),则％2(与+1)"t的最小值为一｝

12.已知数列的前n项和为Sn,且的=2,0n+i=2Sn+2(nCN*),下列说法正确的有

)

711

A.数列｛5｝是等比数列B.an=2x3-

C.数列｛即｝是递减数列D.数列｛厮｝是递增数列

三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)

13.(x+y)(2x-的展开式中/y3的系数为.

14.己知圆G：(%-2)2+(y-3)2=1,圆C2：(x-3)2+(y-4)2=9,M、N分别是圆G，C?上动点P

是x轴上动点，则\PN\-\PM\的最大值是.

15.已知/"(X)=x2+ax,f(l)=4,曲线/(x)在x=1处的切线在y轴上的截距为-1,则实数a的值为

16.已知椭圆。的焦点为尸式一1,0),尸2(1,0),过尸2的直线与「交于4,6两点.若MF2I=|出尸2|,出居|=

2\BF2\,则椭圆。的方程为.

四、解答题(本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.已知等差数列｛斯｝满足斯+2an+1=3n+5.

(1)求数列｛电>｝的通项公式；

n

(2)设%=(an+2)2,求数列｛%｝的前n项和%.

18.在A/IBC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b=2acos4cosc+2ccos?4

(1)求角4

(2)若a=4,求三角形周长的取值范围.

19.如图，在三棱柱ABC-AiBiCi中，■平面AABC为正三角形，侧面4BB14是边长为2的正

方形，〃为比'的中点.

(1)求证:平面4DCi1平面BCC$i；

(2)求二面角C-AB-G大小的余弦值.

20.一个袋子中有7个大小相同的球，其中有2个红球，2个蓝球，3个黑球，从中随机取出3个球.

(1)求至少取到2个黑球的概率；

(2)设取到一个红球得2分，取到一个蓝球得1分，取到一个黑球得0分，记总得分为％求X的分布列和

均值.

21.己知F］、尸2分别为椭圆E：l(a>b>0)的左、右焦点，M为E上的一个动点，其中M到0的

最短距离为1,且当AMaFz的面积最大时，AMFiF2恰好为等边三角形.

(1)求椭圆E的方程；

(2)设直线丫=/^+m071力0)交椭圆岳于4,B两点，。为坐标原点，直线。4。8的斜率分别为七，k2,

且4包=公.试探究|0川2+|OB『是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.

22.已知函数f(%)=ex-2ln(x4-1).

(1)求证：/(x)>0：

(2)若/(%)>ax+1恒成立，求实数a.

高三年级暑期学情调研

数学试题

1.A2.B3.B4.B5.A6.B7.C8.C

9.ABC10.BD11.BCD12.ABD

r2V2

13.4014.4+V215.216.—+-^-=1

54

17.(1)当n=l时，的+2a2=8①，

当n=2时，a2+2a3=11②，

②一①得，3d=3,解得d=l,

所以氏+2a2=%+2%+2=8,q=2,

所以a”=2+(n—l)xl=n+l；

⑵由(1)得%="+1,

则匕=3n+2)2"=5+3)2%

7；=4x21+5x22+6x23+-+(n+2)2n-1+(n+3)2n,

27；=4x22+5x23+6x24+-+(n+2)2n+(n+3)2n+1,

-7；=4x21+22+23+-+2n-(n+3)2n+1

22(1-

=8+—-----(n+3)2n+1

1—2

=4-(n+2)2n+1,

7；=-4+(n+2)2n+1.

18.(1)

因为b=2acosAcosC+2ccos2A

所以sinB=2sin4cos力cosC+2smecos2A

所以sinB=2cosA-sin(A+C)

因为4、B、C为△ABC的内角，所以sinB=2cos4-sinB

所以cos力=5所以4=g

(2)由题意周长，=a+b+c=4+b+c

所以1=4+2R(s讥B+s讥C),所以1=4+占1讥8+s讥Q4+B)],所以，=4+8sin+巴)

因为86(0,空)，所以B+江&詈)，所以+

所以周长的取值范围为8,12.

19.(1)由△ABC为正三角形，。为a'的中点，可得4D1BC,又J■平面/仇?，ADu平面48a贝ij

BBX1AD,

又BBifyBC=B,BB»BCu平面BCCiB「贝必。_L平面BCC[Bi，又ADu平面2。口，则平面40cl_L平面

BCC]B]；

(2)

取AB的中点E,连接CECE,由△ABC为正三角形，可得CEJ.AB,又BB】_L平面4%,CCX||BBr,贝1J

CQ_L平面ABC,

又ABu平面ABC,则CCt±AB,又CC、PiCE=C,CCr,CEu平面C^E,贝IjAB，平面CC】E,又u平面

CJE,

答案第6页，共3页

则CiE_LAB,则4CEG即为二面角C-AB-G的平面角，易得CC】=2,CE="^=g，

CrE=V4T3=V7,所以C0S4CEG=第="，所以二面角C一AB-Q大小的余弦值为每.

C^E77

20.(1)记4="至少取到2个黑球”，

事件4包含：①取到2个黑球，1个红球或蓝球；②取到3个黑球.

所以P(A)=警/故至少取到2个黑球的概率为甘.

C73535

(2)4的所有可能取值为0,1,2,3,4,5.

C2cl2

X=5即取到2个红球，1个蓝球，则尸

X=4即取到1个红球，2个蓝球，或取到2个红球，1个黑球，

则P(X=4)=4警员=£=也

1个黑球，则P(X=3)=笔&=1|；

X=3即取到1个红球，1个蓝球，

X=2即取到1个红球，2个黑球，或取到2个蓝球，1个黑球，

则P(X=2)=豆詈^=亲

乂=1即取到1个蓝球，2个黑球，则p(x=i)=m==；

21.(1)解：设|&F2l=2c,则由题意可知,

aC

\o1=>Q=2,c=1=>b=V3»

IQ=2c

故椭圆c的方程为=十《=1.

43

⑵解:设4解i，yj,B(x2,y2).联立方程组

y=kx4-m

x2y2]=(3+4/c2)%2+8kmx+4m2—12=0,

{—4I—3=1

所以有4=(8km)2-4(3+4fc2)(4m2-12)>0=>m2<34-4fc2,且

,8km47n2-12

X1+X2=一建市，石久2=有薪

2

因为以心=炉，所以笺丝♦置%=必，Bp/Cni(x1+x2)+m=0,故

22

--8-k-m-+,mzo=0(m。，仆0)=肥1?=一3.

3+4/C2')4

因此，有好+xj=01+x2y-2X62=(一黑1)2-'隽尸=4，

所以|。川2+|0用2=旨+3℃)+妗+3(1_苧)=岑^+6=7.

22.(l)f(x)的定义域为(-I,”).

方法2：r(x)=e"-^,令h(x)=ex-高，因为〃(为=/+品>0,

答案第7页，共3页

所以Mx)在区间上为单调增函数，

又九(0)=-1<0,/i(l)=e—1>0,所以存在唯一的X。6(0,1),使得九(工0)=0.

因为h(x)在区间(-1,为)上为单调减函数，在区间(税,+8)上为单调增函数，

2

且满足靖。=,x=ln2-Zn(x+1),

X。十JL00

2

Xo

所以h(x)>(x0)eZn(x0+1)—m27nm

XO+1Q

=2Q4-%o+l^—2—2Zn2,>2—2In2>0,得证.

⑵X0

令g(%)=f(%)—ax—1,则g(%)