函数经典试题

最新经典试题系列一•函数与导数

1、已知函数f(x)=ax+lnx,aeR

(I)求函数f(x)的极值;

(II)对于曲线上的不同两点P|(X1,yJ,P2(X2，y2),如果存在曲线上的点Q(Xo，y()),且X1<x0<x?,使

得曲线在点Q处的切线1//PR，则称I为弦RP2的伴随切线。特别地，当x0=1X|+(l-%%(0〈入<1)时,

又称1为PF2的卜伴随切线。

(i)求证：曲线y=f(x)的任意一条弦均有伴随切线，并且伴随切线是唯•的；

(ii)是否存在曲线C,使得曲线C的任意一条弦均有伴随切线？若存在，给出一条这样的曲线，

2

并证明你的结论；若不存在，说明理由。

2、对于三次函数/(%)=4》3+历/+<?才+4(0/0)。

定义：(D“X)的导数/'(X)(也叫/(X)一阶导数)的导数/〃1)为“X)的二阶导数，若方程

f(x)=0有实数解X。，则称点(x0,/(x0))为函数y=/(x)的“拐点”；

定义：(2)设/为常数，若定义在R上的函数y=/(x)对于定义域内的一切实数x,都有

/(x0+x)+/(x0-x)=2/(Xo)恒成立，则函数y=/(x)的图象关于点。0，/(%))对称。

(1)己知/(x)=d—3X?+2X+2,求函数/(x)的“拐点”A的坐标；

(2)检验(1)中的函数/(x)的图象是否关于“拐点”A对称；

(3)对于任意的三次函数/(尤)=0?+反2+5+欠(4工0)写出一个有关,拐点，，的结论(不必证明)。

3、已知函数/(x)=24'-lnx-2.

(I)求/(x)的单调区间；(II)若不等式三二二>4恒成立，求实数用的取值组成的集合.

Inx

4、已知函数/(x)=ax+Inx,aeR.

(1)求函数/(x)的极值;

(II)对于曲线上的不同两点6(X[,y),8*2，%)，如果存在曲线上的点。(毛,%)，且玉</<%2,

使得曲线在点Q处的切线/〃P旦,则称/为弦46的伴随切线.特别地，当X。=+(1-A)X2(0<2<1)

时，又称/为6巴的丸-伴随切线.

(i)求证：曲线y=/(x)的任意一条弦均有伴随切线，并且伴随切线是唯一的:

(ii)是否存在曲线C，使得曲线。的任意一条弦均有,―伴随切线？若存在，给出条这样的曲线，

2

并证明你的结论；若不存在，说明理由.

5、已知函数/(幻=以3+3--6ax-ll,g(x)=3x2+6x+12,和直线n?：y=kx+9.又/(-1)=0.

(1)求2的值：

(II)是否存在k的值，使直线，〃既是曲线片f(x)的切线，又是片g(x)的切线；如果存在，求出k

的值；如果不存在，说明理由.

(III)如果对于所有x2-2的X,都有/(x)4依+94g(x)成立，求k的取值范围.

6、已知曲线C：y="(其中e为自然对数的底数)在点尸(l,e)处的切线与x轴交于点2,过点。作x

轴的垂线交曲线C于点《，曲线C在点《处的切线与x轴交于点02,过点Q作x轴的垂线交曲线C于

点£，……，依次下去得到一系列点耳、P2......月,设点心的坐标为"eN*).

(I)分别求4与y”的表达式；(II)设。为坐标原点,求fl。瑞

/=1

7、已知x=0是函数/(x)=(x2+bx)eax(a>0)的极值点。

(1)求实数b的值；

(2)若函数y=/(x)—加恰有一个零点，求实数机的范围；

(3)当a=1时，函数y=/(x)的图象在x=%(a“>0,neN")处的切线与x轴交点是-a“+[,0)。

若q=l,+问是否存在等差数列｛%｝,使得%+你2+…=2""(2〃一1)+2对一切

an

〃wN*都成立？若存在，求出数列｛&｝的通项公式；若不存在，请说明理由。

8、已知函数/*)=111。-1)一%*-1)+1。

(I)求函数/(x)的单调区间；

(II)若/(x)40恒成立，试确定实数k的取值范围；

(III)证明：①历(工-1)<%-2在(2,+8)上恒成立；②之(_^_)<"5T),(〃eN+，〃>l)

占(i+D4

kx-\

9、已知函数f(x)=e.(e是自然对数的底),

(1)若函数“X)是(T,+8)上的增函数，求k的取值范围；

(2)若对任意的x>0,都有/'(x)<x+l,求满足条件的最大整数k的值。

10、已知函数/(x)=][3ln(x+2)-ln(x-2)].

(I)求x为何值时，/(x)在[3,7]上取得最大值；

(II)设F(尤)=。1110-1)-/(顼若尸(乃是单调递增函数,求a的取值范围.

11、已知函数£(x)=」-------二。—x),其中f为常数，且f>0.

1+x(1+x)

(I)求函数£(x)在(0,+8)上的最大值;

(H)数列｛《,｝中，q=3,%=5,其前〃项和S“满足S“+S“_2=2S“T+2"T(〃N3),且设

bn=\--,证明：对任意的x〉0,bn>f｝(x),〃=1,2,…；

a.F

n2

(IH)证明：b.+b,+---+b>——.

12"n+\

4x

12、已知函数/(x)=TW3,xe[0,2].

(1)求使方程=0(meR)存在实数解时m的取值范围；

(2)设a*0,函数g(x)=；ax3—a2x,xe[0,2].若对任意占e[0,2],总存在％e[0,2],使

f(x,)-g(xo)=O,求实数。的取值范围.

13、设函数f(x)=X?+bln(x+1),

(1)若对定义域的任意x,都有f(xRf(1)成立，求实数b的值；

(2)若函数f(x)在定义域上是单调函数，求实数b的取值范围；

n1111

(3)若b=-1,,证明对任意的正整数n,不等式+7T+7T+....+F都成立•

2=]KZ3〃

14、已知/(x)=2+lnx,xw(0,e],g(x)=皿，其中是无理数，且e=2.71828...,awR.

XX

(1)当Q=1时，求“X)的单调区间、极值；

(2)求证：在(1)的条件下，/(x)>g(x)+；：

(3)是否存在实数，使/(x)的最小值是-1,若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

3

15、已知函数――(a+2)x2+6x-3o

2

(1)当。>2时，求函数/(X)的极小值；(2)试讨论函数y=/(x)零点的个数。

16、定义函数尸(x,y)=(l+x)‘，e(0,+oo).

3

(1)令函数/(x)=F[l,log2(x-3x)]的图象为曲线G求与直线4x+15y—3=0垂直的曲线C,

的切线方程；

(2)令函数8(*)=尸[1,1082(/+"2+近+1)]的图象为曲线。2,若存在实数b使得曲线在

Xo(xoe(1,4))处有斜率为-8的切线，求实数a的取值范围；

(3)当x,yeN*,且x<y时，证明尸(x,y)>尸(y,x).

17、已知函数/(x)=ax3+bx2+ex在点/处取得极小值-4,使其导数尸(x)>0的x的取值范围(1,3),

求：(1)/(x)的解析式；

(2)(文科)xe[2,3],求8(幻=/'0)+6(加一2口的最大值；

(3)(理科)若过点尸(-1,加)可作曲线y=/(x)的三条切线，求实数机的取值范围.

18、设函数外力=丁+5卜)=2/+6,已知它们的图像在x=l处有相同的切线.

(1)求函数“X)和g(x)的解析式

(2)若函数*x)=/(x)-”g(x)在区间3上是单调减函数，求实数机的取值范围。

19、若f(x)在定义域(一1,1)内可导，且/'(X)<0；又当a、bw(-1,1)且a+〃=0时，/(a)+/(b)=0.解

不等式/(I一机)+/(1-机2)>o.

20、已知函数/(x)=ln(ax+l)+^~-,x>0>其中a〉0

1+x

(I)若/(%)在x=1处取得极值，求a的值；(H)求fix-)的单调区间；

(III)若/(乃的最小值为1,求a的取值范围.

21、已知定义的灯上的函数/(x)满足f(x)=/(4-x),又函数/(x+2)在[0,+oo)单调递减.

(1)求不等式/(3x)>/(2x-l)的解集；

(2)设(1)中的解集为4对于任意时，不等式Y+(f-2)x+lT>0恒成立，求实数x的取值范

围.

22、已知函数/(xhgax'-gx?-2ax+b(a,beR)

(1)试求函数〃x)的单调递增区间；

(2)若函数“X)在x=2处有极值，且/(x)图象与直线y=4x有三个公共点，求b的取值范围.

23、已知/*)为二次函数，不等式/(x)+2<0的解集为(一1,；),且对任意a,"eR,恒有

/(sintz)<0>/(2+©05/?)20.数列｛。“｝满足％=1,3«,1+1=1-------(neN*)

/'(%)

(1)求函数/(x)的解析式；

(2)设1」,求数列｛b„｝的通项公式；

a„

(3)若(2)中数列也,｝的前〃项和为求数列｛S,「cos(2%)｝的前〃项和7；.

1—Y

24、已知函数/(x)=ln(ax+l)+——-,x>0,其中。>0

1+x

(I)若“X)在x=1处取得极值，求a的值；

(II)求/(x)的单调区间；

(III)若的最小值为1,求a的取值范围。

25、已知函数/(x)=alnx+‘.

x

(1)当。〉0时，求函数/(x)的单调区间和极值；

(2)当。>0时，若对任意x>0,均有ax(2-lnx)41,求实数a的取值范围；

(3)若a<0,对任意修、x2G(0,+8),且用H超，试比较/(土产)与“阳)；”々)的大小.

26、已知二次函数"x)=ax2+bx+c,直线L:》=—»+8.(其中/为常数)；“：》=2.若直线

hI2与函数f(x)的图象以及li,y轴与函数f(x)的图象所围成的封闭图形如阴影所示..

(I)求a、b、c的值；

(II)求阴影面积S关于t的函数S(t)的解析式；！/\

(III)若g(x)=61nx+m,问是否存在实数m,使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象；产

有且只有两个不同的交点？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.牲一

27、已知函数/(x)=/-alnx(a>0).

(1)当a=3时，求曲线y=/(x)在点(1J(1))处的切线方程；

(2)讨论函数”X)在区间(l,e")上零点的个数.

InX

28、已知函数/(©=-----1

x

(1)试判断函数/(X)的单调性；

(2)设加>0,求/(元)在,2m］上的最大值；

1-I-n1-I-n

(3)试证明：对V“wN*,不等式

nn

29、已知函数/(x)=普之一x(0<X<工).

4cosx2

(2)求证：不等式sii?x>/cosx在(0,5上恒成立;

(1)求/(x)的导数/(x)；

IIJI

(3)求g(x)=「-----的最大值.

sinxx2

30、已知函数，去)=无2+(〃+l)x+lg|〃+2|(aER,且aw-2).

(1)若/(x)能表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数〃(x)的和，求g(x)和人&)的解析式

(2)命题P：函数/(x)在区间［(a+1)2,+8)上是增函数；命题Q：函数g(x)是减函数.如果命题P、

Q有且仅有一个是真命题，求a的取值范围；

(3)在(2)的条件下，比较/(2)与3-lg2的大小.

31、已知函数/(x)=x+’(f>0)和点P(1,0),过点尸作曲线y=/(x)的两条切线PM、PN,切点分别

x

为M、N.

(1)设g(f)=|MN］,试求函数g⑺的表达式；

(2)是否存在t,使得V、N与40,1)三点共线.若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；

(3)在(1)的条件下，若对任意的正整数。，在区间［2,〃+丝］内总存在机+1个实数

n

a2,…，am,am+i,使得不等式g(“|)+g(%)+…+g(a,“)<g(a,”+i)成立，求m的最大值.

32、设函数/*)=/+川11*+1),其中

(I)当时，判断函数/(x)在定义域上的单调性；

(II)求函数/(x)的极值点；

(III)证明对任意的正整数，不等式11)(,+1)>±-4都成立.

nnn

33、已知函数/(x)=d—3ax?—3(2a+l)x—3,。是常数.

(1)若a=；,曲线y=/(x)上点P处的切线与直线2x+3y=0平行，求点P的坐标；

⑵试证明，对任意常数a,函数y=/(x)在区间(-3,3)存在零点.

〃+sinx

34、已知函数/(x)=—'--bx(a、bwR),

2+cosx

(1)若/(x)在R上存在最大值与最小值，且其最大值与最小值的和为2680,试求a和b的值。

(II)若((x)为奇函数:

(1)是否存在实数b,使得/(x)在(0,《-)为增函数，(？-,万)为减函数，若存在，求出b的值，若

不存在，请说明理由；

(2)如果当xN0时，都有/(x)W0恒成立，试求力的取值范围。

JT1

35、已知了£(0,—)，求函数y=,+sir?%的最小值以及取最小值时所对应的不值.

2<2sinx

36、已知函数/")=尸三66[0,2]

(1)求/(x)的值域；

(2)设函数g(x)=%2一ax+a-2,xe[o,2]。若对任意玉e[0,2],总存在x?e[。,2]，使

/(x,)-5(x2)=0,求实数a的取值范围。

37、已知函数f(x)=^~L—,

X

(I)判定函数的奇偶性；(II)求函数的值域。

38、如图,某小区准备在一直角围墙48c内的空地上植造一块“绿地A48。”,其中4B长为定值a,8。长

可根据需要进行调节(BC足够长).现规划在AA8。的内接正方形BEFG内种花，其余地方种草，且把种草

的面积$与种花的面积名的比值—称为“草花比y

S2

(1)设ND48=，，将y表示成。的函数关系式；

(2)当BE为多长时,y有最小值?最小值是多少？

39、已知函数/(x)=丁+ax与g(x)=A/+c的图象相交于一点P&0)，且rH0两函数的图象在点P

处有相同的切线.

(1)当r=l时，求a,b,c.

(2)若函数y=g(x)-“X)在(-1,3)上单调递增,求f的取值范围。

40、已知二次函数/(x)=ax2+bx+l和函数g(x)=y-1,

(1)若/(X)为偶函数，试判断g(X)的奇偶性;

(2)若方程g(x)=x有两个不等的实根X1,X2(X1＜超)，贝U

①证明函数/(X)在(-1,1)上是单调函数；

②若方程/(X)=O的有两实根为》344(工3＜了4),求使七＜X]＜成立的a的取值范围.

41、已知定义在R上的函数/。)=/(分一3),其中a为常数.

(1)若是函数/*)的一个极值点，求a的值；

(2)若函数/(x)在区间(—1,0)上是增函数，求a的取值范围；

(3)若函数g(x)=/(x)+/'(x),xe[0,2],在x=0处取得最大值,求五藜a的取值范围.

42、已知函数/*)=向7晟，存在正数匕，使得/(x)的定义域和值域相同.求非零实数。的值；

43＞已知向量Q=(1-tan4,l),6=(l+sin2x+cos2x,0),记=

(1)求Kx)的解析式并指出它的定义域；

(2)若〃a+3=也，且ae(0,—)»求/(a),

852

44、已知函数/(x)的导数/'(x)=3x2—3ax,/(O)=b.a/为实数，l<o<2.

(I)若/(X)在区间［-1,1］上的最小值、最大值分别为-2、1,求4、匕的值；

(H)在(I)的条件下，求经过点P(2,1)且与曲线/(x)相切的直线/的方程；

(IID设函数产(x)=(尸(x)+6x+l)"3试判断函数尸(x)的极值点个数.

45、已知函数/(x)=x+1(r>0),过点P(1,O)作曲线y=/(x)的两条切线尸"、PN，切点分别为M、N.

X

(1)当，=2时-，求函数/(x)的单调递增区间；

(2)设|MN=g。)，试求函数g(f)的表达式;

(3)在(2)的条件下，若对任意的正整数〃，在区间［2,〃+竺］内，总存在m+1个数%,%一•,％,,明,+”

n

使得不等式g(%)+g(“2)+…+g(*J<g(a,"+J成立，求m的最大值.

46、已知关于x的一元二次函数/(x)=ax?-4bx+1.

(I)设集合P={1,2,3}和0={-1,1,2,3,4},分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和万，

求函数y=/(x)在区间口,+8)上是增函数的概率；

x+y-8<0

(II)设点(a,b)是区域，x>0内的随机点，求函数y=/(x)在区间［1,+8)上是增函数的概

y>0

率.

47、设函数/3)=五更处.

X

(I)判断/(X)在区间(0/)上的增减性并证明之；

(II)若不等式04。V4=I+二7对xe［3,4］恒成立，求实数。的取值范围M；

(III)设0"。乃,且aeM,求证：(2a-1)sinx+(1-a)sin(l-a)x0

48、已知二次函数f(x)=ax2+x.

(1)若对任意xrX2CR，恒有f(笑")4；［f(xJ+f(X2)］成立，求实数a的取值范围；

(2)若xw［0,1］时，恒有|f(x)|Wl,试求实数a的取值范围.

49、已知函数/*)=。1+"2+4伍工0/6/?)为奇函数，且/*)在丫=1处取得极大值2.

(1)求函数y=/(x)的解析式;

(2)记g(x)=/^。+(4+l)lnx,求函数y=g(x)的单调区间；

x

(3)在(2)的条件下，当攵=2时，若函数y=g(x)的图像的直线y=x+小的下方，求机的取值

范围。

InX

50、已知函数/(犬)=吐

x

(1)求函数/(X)的单调区间；(2)设a>0,求函数/(x)在[2a,4a]上的最小值；

(3)某同学发现：总存在正实数a、使/=/,试问：他的判断是否正确？若不正确，请

说明理由；若正确，请直接写出a的取值范围(不需要解答过程).

1,1,

51、已知函数/(x)=+ax+l,(a工0)

(1)试判断当。=4时函数/(x)是否有极值，以及当0<a<4时/(x)的单调性；

(2)设4%,/(王)),8(>2，/(》2))是函数/CO的两个不同的极值点，若直线AB的斜率不小于-2,求

实数。的取值范围。

52、已知/*)的定义域为[0,1],且满足下列条件：

①对任意xw[0』],总有/(x)23,且/(1)=4

②若玉>0,x2>0,X]+x2<1,则有—+x2)>/(%])+/(X2)-3

求：(1)/(0)的值；(2)求证：f(x)<4

53、已知函数f(x)=x3-3ax(aeR).

(1)当a=l时，求f(x)的极小值；

(2)若直线x+y+m=O对任意的meR都不是曲线y=f(x)的切线，求a的取值范围；

(3)设g(x)=|f(x)|,xe[-l,l],且aN；,求g(x)的最大值F(a)的解析式.

54、已知函数/(x)=sin2x+2sinxcosx+3cos2%(xG/?),求

(1)函数/卜)的最大值及最大值自变量x的取值范围；(2)函数/卜)的单调递减区间.

ax-\

55、设函数=i~~-(a>0,)

(1)求广(1)；(2)当〃>1时，求满足尸(x)>0的x的取值范围;

(3)当时.讨论了一(X)的单调性.

56、已知函数/(乃=巴”

X

(1)若函数在区间伍,。+，)其中a>0,上存在极值，求实数a的取值范围；

(2)如果当时，不等式/(x)N上恒成立，求实数k的取值范围；

x+1

(3)求证[(〃+1)!『>(〃+l>e"-2(〃eN*).

57、设函数/*)对xwO的任意实数，恒有/(%)-2/(—)=/+1成立.

X

(I)求函数/(X)的解析式；(II)证明函数/(x)在(0,娠]上是增函数.

58、已知函数/(x)=log“(x+l)(a〉l),若函数y=g(x)图象上任意•点尸关于原点的对称点。的轨迹

恰好是函数y=/(x)的图象。

(1)求函数y=g(x)的解析式；

(2)当04％<1时总有/(x)+g(x)2团成立，求机的取值范围。

59、已知实数c20,曲线C:y=«与直线/:y=x-c的交点为P(异于原点。).在曲线C上取一点

6(王,y)，过点，作4。平行于x轴，交直线/于过点2作。石平行于y轴，交曲线C于巴a2,%)；

接着过点P2作P2Q2平行于x轴，交直线/于0,过点乌作a8平行于》轴，交曲线C于鸟(毛，为)；如此

下去，可得到点名(%4，，4)，4。5，%)，…，2(x“，y”)，设点尸坐标为(用、石),X]=b,Q<b<a.

(1)试用c表示a,并证明a21;

(2)证明：x2>Xj,且乙<GN*);

(3)当c=0,8之，时，求证：之H〈匣(〃,keN*).

2k=\Xk+22

60、已知x=3是函数f(x)=aln(l+x)+x2-10x(。GR)的一个极值点。

(1)求a的值；(2)求/(x)的单调区间及极值。

61、已知函数/(x)=lnx,g(x)=-(a>0),设产(x)=〃x)+g(x).

X

(1)求函数>(灯的单调区间;

(2)若以函数y=尸(x)(xe(0,3])的图象上任意一点尸(%,打)为切点的切线的斜率女恒成立，

求实数a的最小值；

(3)是否存在实数m,使得函数y=g(f-)+〃2-1的图象与函数y=/(l+/)的图象恰有四个

x+1

不同的交点？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由。

62、已知/(x)=1x3+ax2-&x+l(xe/?,a、b为实数)有极值，且x=l处的切线与直线x—y+l=O

平行.

(1)求实数a的取值范围；

(2)若/,(X)在(2,+oo)上是单增函数，求实数a的取值范围；

63、已知函数y=/(x),x,yeN*满足

①对任意的a]eN*,a工b都有4(。)+bf(b)>af(b)+bf(a).

②对任意的neN*,都有/(/(»))=3〃.

⑴求/⑴+/(6)+/(28)的值；

(2)令q=f试证明：<—+—+

"<，4n+2axa2a„4

64、已知函数/(x)=sinx,g(x)=px----

6

(I)若y=/(x)与y=g(x)在(0,0)处有相同的切线，求p的值

(II)在(I)的条件下，求证：当xG(0,1)时，/(x)〉g(x)恒成立

(III)若xe(0,l)时/(x)>g(x)恒成立，求p的取值范围

65、已知函数力(x)=T*,/2(x)=d)C""其中mdR且mW。.

4x+162

(1)判断函数fi(x)的单调性；

(2)若mv-2,求函数/(x)=/G)+/2(x)(xe[-2,2])的最值;

(3)设函数g(x)=《〃当m22时，若对于任意的XiG[2,+8]，总存在唯一的

f2(x\x<l

x2e(—8,2),使得g(xi)=g(x2)成立.试求m的取值范围.

66、已知定义在R上的奇函数/(x)=x3+bx2+cx+d在*=±1处取得极值.

(I)求函数/(x)的解析式；

(II)试证：对于区间[—1,1]上任意两个自变量的值现,々，都有"(王)一/。2)区4成立；

(III)若过点P(私〃),(加、〃€凡且|加|<2)可作曲线〉=