我国数学学科命题理论与实践

我国数学学科命题理论与实践（~）

一总体情况2019年普通高等学校招生全国统一考试数学学科共有6个卷种，分别是全国卷、北京卷、天津卷、江苏卷、上海卷和浙江卷，其中全国卷又分为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷，分别用于26个省份。全国卷、北京卷、天津卷是现行高考试卷，分文科卷和理科卷；江苏卷是现行高考试卷，不分文理科；上海卷和浙江卷是新高考试卷，不分文理科。2019年普通高等学校招生全国统一考试的数学试卷遵循2019年版《考试大纲》和《考试说明》的各项要求，注重体现考试内容的基础性、综合性和全面性，重点考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力以及综合运用数学知识解决问题的能力，考查考生的数学素养和探究意识，体现数学的科学价值和理性价值。试卷针对不同地区考生的特点，合理控制试卷难度，有利于不同水平考生能力的发挥，有较好的信效度和区分度。试题科学、规范，设问新颖、灵活，答案准确、合理。试卷有利于高校科学选拔新生，有利于中学实施素质教育，培养全面发展的社会主义建设人才。（一）试卷结构各卷种的试卷结构如下。全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷：第1～12题为选择题，每题5分；第13～16题为填空题，每题5分；第17～21题为必做解答题，每题12分；第22～23题为选做解答题，考生从两个试题中任选一题作答，共10分。全卷满分150分。北京卷：第1～8题为选择题，每题5分；第9～14题为填空题，每题5分；第15～20题为解答题，每题12分、13分或14分。全卷满分150分。天津卷：第1～8题为选择题，每题5分；第9～14题为填空题，每题5分；第15～20题为解答题，每题13分或14分。全卷满分150分。江苏卷：第Ⅰ卷第1～14题为填空题，每题5分；第15～20题为解答题，每题14分或16分。全卷满分160分。第Ⅱ卷第21题为选做解答题，包含A、B、C三个小题，每题10分，考生从中任选两题作答。第22题、第23题为必做解答题，每题10分。全卷满分40分。上海卷：第1～12题为填空题，其中，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分；第13～16题为选择题，每题5分；第17～21题为解答题，每题14分、16分或18分。全卷满分150分。浙江卷：第1～10题为选择题，每题4分；第11～17题为填空题，每题4分或6分；第18～22题为解答题，每题14分或15分。全卷满分150分。各卷种各题型分值见表1。表12019年高考数学试卷结构统计单位：个，分卷种总分选择题填空题解答题附加题（解答题）题数分值题数分值题数分值题数分值全国卷1501260420670——北京卷150840630680——天津卷150840630680——江苏卷160——1470690440上海卷1504201254576——浙江卷1501040736574——注：本表中所列题数是考生实做的题数。|Excel下载表12019年高考数学试卷结构统计（二）试卷分析高考数学学科多年来试题难度保持稳定，理科数学总体难度在0.55左右，文科数学总体难度在0.45左右。2015～2019年高考数学实考难度统计见表2。表22015～2019年高考数学各卷种难度统计年度全国Ⅰ卷理科全国Ⅰ卷文科全国Ⅱ卷理科全国Ⅱ卷文科全国Ⅲ卷理科全国Ⅲ卷文科20150.5160.4120.5410.441——20160.5270.4410.5650.3680.4420.35220170.5400.4170.4740.4540.4860.40220180.5810.4940.5710.4690.5750.48820190.5560.4620.5510.4830.5380.379|Excel下载表22015～2019年高考数学各卷种难度统计二试题分析2019年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷以全国教育大会精神为指引，认真贯彻“五育并举”方针，落实“立德树人”根本任务，突出数学学科特色，着重考查考生的理性思维能力和综合运用数学思维方法分析问题、解决问题的能力。试题突出学科素养导向，注重能力考查，全面覆盖基础知识，增强综合性、应用性；以我国社会经济建设中的重大项目和传统文化的情景为载体，情境真实多彩，贴近生活；联系社会实际，彰显“四个自信”，落实数学教育中“立德树人”的根本任务。试题以高考评价体系为指导，科学确定学科素养和关键能力等考查内容，目标明确，全域覆盖，重点突出。贯彻落实高考评价体系的考查要求，全面体现基础性和综合性，重点突破应用性和创新性，加强对学科内知识的综合、学科间知识的综合、社会常识与学科知识的综合等综合应用能力的考查。试题布局设计科学合理，稳中有变，助力改变僵化的应试教育，考查考生的灵活应变能力，展现其学习潜能，发挥高考的区分和选拔功效。（一）明确方向，落实“五育”方针习近平总书记在全国教育大会上强调，要深化教育体制改革，健全立德树人落实机制，从根本上解决教育评价“指挥棒”问题。深入贯彻党的教育方针，全面落实“五育并举”要求是2019年高考命题的重点任务。高考数学学科结合自身特点，在学科考查中体现“五育”要求，进行整体的设计与布局。1.发挥学科特点，展现德育要求全国Ⅱ卷理科数学第13题以高铁列车等我国科技发展成果为背景，反映了我国高速铁路的建设成果。全国Ⅱ卷文科数学第5题以“一带一路”知识测验为情境，引导学生关注社会现实和经济发展。全国Ⅱ卷理科数学第4题以“嫦娥四号”探测器实现人类历史上首次月球背面软着陆为背景，从数学的角度对航天科技中的问题进行解读。在着陆过程中，为解决与探测器通信这一关键技术问题，发射了中继星“鹊桥”，它围绕地月拉格朗日L2点运行。高考数学试题关注了L2点到月球距离的近似计算，体现了数学在科技发展中的应用。北京卷理科数学第17题选用移动支付为背景设置统计试题，反映了改革开放以来，我国人民生活方式发生的巨大转变。这些试题都发挥了思想教育功能，体现了对学生“德育”的渗透和引导。浙江卷第4题，选取了我国南北朝时期的伟大科学家祖暅提出的“祖暅原理”，结合三视图，考查几何体体积的计算，弘扬中国传统数学文化，增强学生的民族自豪感。这些试题都发挥了思想教育功能，体现了对考生“德育”的渗透和引导。2.强调理性思维，重点考查智育考查考生的理性思维能力、分析和解决问题的能力是数学学科对“智育”的重要考查要求。逻辑思维能力是理性思维的重要体现，是数学学科考查的主旨。2019年的高考数学试卷对考生逻辑思维能力的考查深入、具体、到位，每一道题的设计都是知识的有机结合与运用，是对不同程度思维能力的考查。试题分步设问，逐步推进，考查由浅入深，层次分明，重点突出，内容丰富，使理性思维深度、知识掌握牢固程度、运算求解娴熟程度不同的考生都得到充分展示，考查考生进一步学习的能力，发挥了数学作为重要的基础学科和工具学科的区分和选拔功能。3.合理创设情境，解决体育问题篮球、乒乓球在我国非常普及，是大众化的体育运动与锻炼项目。全国Ⅰ卷理科数学第15题、全国Ⅱ卷理科数学第18题分别以篮球比赛和乒乓球比赛为背景，要求考生对相关运动的基本概念和常识有所了解，并运用已学习过的概率知识解决问题。全国Ⅰ卷文科数学第6题设置了某学校为了解学生体质状况进行抽样调查的情境，考查考生的抽样调查知识。这些试题考查了与体育竞赛和体育活动相关的数学知识，同时引导考生热爱体育，加强体育锻炼。4.结合学科知识，展示数学之美数学美包括对称美、和谐美、简洁美等，数学在培养学生发现美、欣赏美的过程中起着重要作用。全国Ⅱ卷文、理科数学第16题融入了中国悠久的金石文化，赋予几何体真实背景，有助于增强考生对这个全新几何体的认知，在解决问题的过程中，考生要借助几何体的对称性，这就使考生不仅感受到数学的对称美，更感受到这种美对于解决问题的真实力量。全国Ⅰ卷文、理科数学第4题以著名的雕塑“断臂维纳斯”为例，探讨人体黄金分割之美。北京卷理科数学第8题以心形线为代表，展示了数学中形状优美、寓意美好的曲线。这些试题都在“美育”方面进行了大胆探索，有助于引导考生关注美育，培养审美意识。5.理论联系实际，引导劳动教育全国Ⅰ卷文科数学第17题以商场服务质量管理为背景，体现了统计学基础知识的实际应用，通过提高服务质量的要求，倡导高质量的劳动成果。全国Ⅲ卷文、理科数学第16题再现了学生到工厂劳动实践的场景，考查考生的空间想象能力、运算求解能力和逻辑思维能力。北京卷理科数学第14题以李明自主创业，在网上经营水果店为背景，引导考生关注劳动、尊重劳动、参加劳动，展现了劳动教育的要求。天津卷文科数学第15题结合我国在2019年新实行的个人所得税专项附加扣除政策，调查一个单位的个人所得税专项附加扣除的享受情况，利用数学知识解决生活中的实际问题。这些试题通过创设贴近学生生活的情境，展现了数学广阔的应用范围，引导学生关注生产、生活中的数学问题，培养他们的劳动意识和劳动观念。（二）突出重点，灵活考查数学本质高考评价体系是高考命题的理论基础和实践指南。贯彻高考评价体系要加强“基础性、综合性、应用性、创新性”的考查要求，2019年的高考数学试题贯彻落实高考评价体系学科化的具体要求，突出学科素养导向，将理性思维作为重点目标，将基础性和创新性作为重点要求，以数学基础知识为载体，重点考查考生的理性思维和逻辑推理能力。考查目标明确，重点突出。1.固本强基，夯实发展基础对于基础知识的考查主要体现在选择题、填空题的前几道题。在试题设计上，单个试题涉及的知识点相对较少、思维相对简单，易于作答。全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷数学第1～7题和第13、14、17题都是考查基础知识和基本方法的基础试题。如全国Ⅱ卷理科数学第5题，以演讲比赛评委打分为背景，去掉1个最高分、1个最低分后，比较有效评分与原始评分的数字特征，考查中位数、平均数、方差、极差的基本概念，试题设计精巧，考查全面。全国Ⅰ卷理科数学第5题、全国Ⅲ卷理科数学第7题都是让考生在给出的4个选项中找出所给函数的大致图像，虽然所给的函数比较复杂，但考生只要掌握研究函数性质的方法，深入分析函数的基本性质，就能迅速作答。试题注重对高中所学内容的全面考查。集合、复数、常用逻辑用语、线性规划、平面向量、算法、二项式定理、排列组合等内容在选择题、填空题中得到了有效的考查。在此基础上，试卷强调对主干内容的重点考查，体现了对数学知识考查的基础性、综合性和全面性。如在解答题中重点考查了函数、导数、三角函数、概率统计、数列、立体几何、直线与圆锥曲线等主干内容。2.稳中有变，助力破解僵化的应试教育2019年的高考数学试卷，在整体设计上保持平稳，包括考查内容的布局、题型的设计、难度和区分度的把控等。在试题排列顺序上依然是由易到难，循序渐进。在整体平稳的基础上，全国卷有了适当的变化，主要体现在主观题的设计上。往年主观题的内容和顺序形成了一定的规律，只在小的范围内进行调整和轮换。2019年的主观题对试题内容和考查顺序进行了调整。对概率统计内容的考查，全国Ⅱ卷理科数学将其放在第18题的位置，全国Ⅰ卷文科数学和全国Ⅲ卷文科数学将其放在第17题的位置，而全国理科Ⅰ卷则将其放在第21题的位置，也就是所谓压轴题的位置。对立体几何知识的考查，全国文科Ⅲ卷及理科Ⅲ卷将其放在第19题的位置，全国Ⅱ卷理科数学将其放在第17题的位置，较为靠前。主观题中各知识内容的位置安排进行了调整，难度也有相应变化。往年理科数学试卷常把考查函数与导数内容的试题作为第21题，而2019年则发生了明显变化。全国Ⅰ卷理科数学把考查概率内容的试题作为第21题，而全国Ⅱ、Ⅲ卷理科数学则把考查解析几何内容的试题作为第21题。往年文科试卷的第21题，大都是关于函数及导数知识的考查，而2019年的全国Ⅰ卷文科数学和全国Ⅲ卷文科数学均是关于解析几何知识的考查。这释放了一个明显的信号：对重点内容的考查，在整体符合《考试大纲》和《考试说明》要求的前提下，在各部分内容的布局和考查难度上会进行动态设计，有助于学生全面学习并掌握重点知识和重点内容，同时有助于破解僵化的应试教育。（三）情境真实，综合考查应用能力2019年的高考数学试题突出体现试题的综合性和应用性。试卷设置的情境真实，贴近生活，体现数学知识和方法在解决问题中的价值和作用。全国Ⅱ卷理科数学第4、13题，分别以“嫦娥四号”探测器发射成功、高铁建设等我国科技建设成果为背景，情境真实，具有浓厚的时代气息和鲜明的中国特色，体现了数学在解决现实问题中的实际应用。全国Ⅰ卷理科数学第6题以我国古代典籍《周易》中描述事物变化的“卦”为背景设置了排列组合试题，体现了中国古代的哲学思想，宣传了中国的传统文化。全国Ⅲ卷理科数学第3题，以中学生阅读“四大名著”的调查数据为背景设计，情境贴近实际，为考生所熟悉。全国Ⅲ卷文、理科数学第17题以离子在生物体内残留情况为背景设计，反映了数学知识和统计知识在其他学科的广泛应用。这些情境来源于我国社会主义建设的不同领域，贴近生活，反映社会现实，展现了数学应用的广阔领域，充分体现了数学的应用价值，有利于在高中数学教育中激发学生学习数学的热情，提高对数学应用价值的认识，提升数学素养。2019年高考数学试卷的一大亮点是体现了数学结论确定和应用广泛的特点。数学来源于实际、应用于实际，问题来源广，应用领域多，2019年高考数学试题的设计具有较强的综合性，体现了数学与其他学科及现实社会的广泛联系，反映了数学的应用价值和工具性。1.数学学科内知识的综合运用全国Ⅰ卷理科数学第21题，综合考查了考生对概率论基础知识的掌握、概率意义的理解，同时，也考查了考生对数列知识的掌握，很好地将概率知识与数列知识有机结合，综合考查。全国Ⅱ卷文科数学第12题，主要考查了两圆相交的位置关系，圆的标准方程，双曲线的实轴、焦点、离心率、标准方程等基本概念。考生只有在对这些基本知识及其相互关系有很好理解的基础上，综合运用这些知识，才能正确解答问题。江苏卷第20题，将数列和函数知识进行结合，通过对等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识的应用，考查数学推理、转化、化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力。2.与其他学科知识的交叉综合全国Ⅱ卷理科数学第18题涉及体育知识，要求学生对11分制乒乓球比赛的规则进行了解，当某局打成10∶10平后，改变得分方式之后的每球都交换发球权，先多得2分的一方获胜，由此只能发偶数个球后才能结束比赛，考生可以应用在体育锻炼中学到的知识解决这个数学问题。全国Ⅱ卷理科数学第4题，涉及牛顿运动定律和万有引力定律等物理学知识以及地月关系等天文知识，要求考生综合其学到的各学科知识解决实践中遇到的问题。全国Ⅰ卷理科数学第21题涉及化学、生物和医学背景，该题实验设计精细，环节较多，描述的文字较长，考生必须具有较强的文字阅读理解能力才能理解题意、顺利作答。全国Ⅲ卷文、理科数学第16、17题分别涉及物理知识、化学知识和生物学知识，考查考生综合应用不同学科知识的能力。3.与社会、生活常识的综合全国Ⅱ卷文科数学第5题，设计了3人预测成绩的场景，通过甲、乙、丙三人的对话，给出相关信息，考生需要通过逻辑推理，得出甲、乙、丙三人成绩的高低次序。在这个逻辑问题的解决过程中，考生要从文字叙述（对话）中精确抽取和加工有用信息，利用各信息中的逻辑关系，最终做出判断。此类题一般针对全体考生设计，叙述中没有数字、符号和图表等元素，只用生活语言叙述问题、提出问题。文科考生和理科考生都需要运用逻辑分析的思维方法解决问题，在文理即将合卷的大背景下，创设了这样一些有特色的试题，更关注思维能力的考查，适合文理不分科后偏向文科性的考生的特点，使得这些考生有充分的发挥平台和展示空间，从而取得理想的成绩。三改革展望按照新一轮高考内容改革的要求，教育部考试中心研制了符合新时代党的教育方针和具有中国特色的中国高考评价体系。高考评价体系是根据党的教育方针与国家教育改革相关政策文件部署，所构建的符合素质教育全面发展育人要求的科学测评系统，主要包括高考的核心功能、考查内容、考查要求和考查载体等内容，它是新时代高考考试内容改革的理论基础、高考命题的实践指南、高考测试评价的科学依据。高考评价体系依据高校人才选拔要求和国家课程标准，体现各类高校选拔人才的共性需求，衔接普通高中育人方式改革，准确把握教育教学规律和人才成长规律，确立了“一核四层四翼”的整体框架。其中“一核”是“立德树人、服务选才、引导教学”这一高考核心功能，“四层”是“核心价值、学科素养、关键能力、必备知识”，是为考查内容；“四翼”是“基础性、综合性、应用性、创新性”，是为考查要求。数学学科命题标准基于高考评价体系的理论基础和整体框架，结合高校人才选拔要求和国家高中课程标准，对考查内容和考查要求进行了学科化的研究和阐释。（一）考查内容“四层”考查内容中，“核心价值”指的就是社会主义核心价值观，数学学科高考要主动发挥价值引领作用和教育功能，体现出数学的科学价值、教育价值、社会价值和文化价值，助力学生形成正确的人生观、价值观、世界观。“学科素养”指的是在正确的思想观念指导下综合运用学科知识能力处理并解决复杂任务的综合品质，包括理性思维、数学应用、数学探究、数学文化四个方面。“关键能力”指的是学生学习与运用知识解决问题需要的能力，包括逻辑推理能力、运算求解能力、直观想象能力、数学建模能力和创新能力五个方面。“必备知识”指的是学生长期学习的知识储备中的基础性、通用性知识。新高考数学学科的必备知识与《普通高中数学课程标准（2017年版）》中必修和选择性必修两部分课程内容的要求一致。（二）考查要求新高考数学学科命题标准提出了数学学科的“四翼”考查要求。基础性：强调数学的通用性和工具性；关注工作、学习中必须具备的知识基础和学科主干内容；通过考查核心概念、基本原理和基本方法，增强考试内容的基础性，全面系统地考查基础知识，使考生形成牢固的知识基础。综合性：强调融会贯通；强调各分支内容和学科之间的联系，既包括学科知识的内部联系，也包括与其他学科的紧密结合，促进考生从整体上建构知识框架，形成合理的认知结构。应用性：强调学以致用；将抽象的数学概念与实际生活相结合，运用数学知识、思想和方法对实际问题进行分析研究，进而解决问题；以紧密联系生产、生活实际的内容为背景设计题目，考查考生掌握解决实际问题的方法和能力，有效解决实际问题。创新性：强调对知识的灵活运用，发挥数学学科独特的区分和选拔功能；命制开放性试题、筛选结构不良试题，发挥选拔功能。（三）试题情境高考评价体系中规定了高考的考查载体——情境，以此来承载考查内容，实现考查目的与考查要求。高考数学学科的情境包括三类：课程学习情境、探索创新情境和社会实践情境。课程学习情境关注学生已有知识基础和入学准备程度，包括数学概念、数学原理、数学运算、数学推理等问题情境。探索创新情境关注与未来学习的关联，以及对数学学科内部进行更深入的探索，包括数学实验、数学