2023高考数学一轮复习第10章概率第3节模拟方法-概率的应用课时分层训练文北师大版

PAGEPAGE1课时分层训练(五十四)模拟方法——概率的应用A组根底达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．在区间[－2,3]上随机选取一个数X，那么X≤1的概率为()A.eq\f(4,5) B．eq\f(3,5)C.eq\f(2,5) D．eq\f(1,5)B[在区间[－2,3]上随机选取一个数X，那么X≤1，即－2≤X≤1的概率为P＝eq\f(3,5).]2．如图10­3­4所示，半径为3的圆中有一封闭曲线围成的阴影区域，在圆中随机扔一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是eq\f(1,3)，那么阴影局部的面积是()图10­3­4【导学号：66482467】A.eq\f(π,3) B．πC．2π D．3πD[设阴影局部的面积为S，且圆的面积S′＝π·32＝9π.由几何概型的概率得eq\f(S,S′)＝eq\f(1,3)，那么S＝3π.]3．假设将一个质点随机投入如图10­3­5所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，那么质点落在以AB为直径的半圆内的概率是()图10­3­5A.eq\f(π,2) B．eq\f(π,4)C.eq\f(π,6) D．eq\f(π,8)B[设质点落在以AB为直径的半圆内为事件A，那么P(A)＝eq\f(阴影面积,长方形面积)＝eq\f(\f(1,2)π·12,1×2)＝eq\f(π,4).]4．(2022·山东高考)在区间[0,2]上随机地取一个数x，那么事件“－1≤logeq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))≤1”发生的概率为()A.eq\f(3,4) B．eq\f(2,3)C.eq\f(1,3) D．eq\f(1,4)A[不等式－1≤logeq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))≤1可化为logeq\f(1,2)2≤logeq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))≤logeq\f(1,2)eq\f(1,2)，即eq\f(1,2)≤x＋eq\f(1,2)≤2，解得0≤x≤eq\f(3,2)，故由几何概型的概率公式得P＝eq\f(\f(3,2)－0,2－0)＝eq\f(3,4).]5．正三棱锥S­ABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得VP­ABC＜eq\f(1,2)VS­ABC的概率是()A.eq\f(7,8) B．eq\f(3,4)C.eq\f(1,2) D．eq\f(1,4)A[当点P到底面ABC的距离小于eq\f(3,2)时，VP­ABC＜eq\f(1,2)VS­ABC.由几何概型知，所求概率为P＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＝eq\f(7,8).]6．(2022·西安模拟)设复数z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，假设|z|≤1，那么y≥x的概率为()【导学号：66482468】A.eq\f(3,4)＋eq\f(1,2)π B．eq\f(1,2)＋eq\f(1,π)C.eq\f(1,2)－eq\f(1,π) D．eq\f(1,4)－eq\f(1,2π)D[|z|＝eq\r(x－12＋y2)≤1，即(x－1)2＋y2≤1，表示的是圆及其内部，如下图．当|z|≤1时，y≥x表示的是图中阴影局部．∵S圆＝π×12＝π，S阴影＝eq\f(π,4)－eq\f(1,2)×12＝eq\f(π－2,4).故所求事件的概率P＝eq\f(S阴影,S圆)＝eq\f(\f(π－2,4),π)＝eq\f(1,4)－eq\f(1,2π).]二、填空题7．(2022·郑州模拟)在区间[－2,4]上随机地取一个数x，假设x满足|x|≤m的概率为eq\f(5,6)，那么m＝________.3[由|x|≤m，得－m≤x≤m.当m≤2时，由题意得eq\f(2m,6)＝eq\f(5,6)，解得m＝2.5，矛盾，舍去．当2＜m＜4时，由题意得eq\f(m－－2,6)＝eq\f(5,6)，解得m＝3.]8．(2022·重庆高考)在区间[0,5]上随机地选择一个数p，那么方程x2＋2px＋3p－2＝0有两个负根的概率为________．eq\f(2,3)[∵方程x2＋2px＋3p－2＝0有两个负根，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝4p2－43p－2≥0，,x1＋x2＝－2p<0，,x1x2＝3p－2>0，))解得eq\f(2,3)<p≤1或p≥2.故所求概率P＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＋5－2,5)＝eq\f(2,3).]9．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，假设此点到圆心的距离大于eq\f(1,2)，那么周末去看电影；假设此点到圆心的距离小于eq\f(1,4)，那么去打篮球；否那么，在家看书．那么小波周末不在家看书的概率为________．eq\f(13,16)[∵去看电影的概率P1＝eq\f(π·12－π·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2,π·12)＝eq\f(3,4)，去打篮球的概率P2＝eq\f(π·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2,π·12)＝eq\f(1,16)，∴不在家看书的概率为P＝eq\f(3,4)＋eq\f(1,16)＝eq\f(13,16).]10．一个长方体空屋子，长，宽，高分别为5米，4米，3米，地面三个角上各装有一个捕蝇器(大小忽略不计)，可捕捉距其一米空间内的苍蝇，假设一只苍蝇从位于另外一角处的门口飞入，并在房间内盘旋，那么苍蝇被捕捉的概率是________．eq\f(π,120)[屋子的体积为5×4×3＝60米3，捕蝇器能捕捉到的空间体积为eq\f(1,8)×eq\f(4,3)π×13×3＝eq\f(π,2)米3，故苍蝇被捕捉的概率是eq\f(\f(π,2),60)＝eq\f(π,120).]B组能力提升(建议用时：15分钟)1．(2022·湖北高考)在区间[0,1]上随机取两个数x，y，记p1为事件“x＋y≤eq\f(1,2)〞的概率，p2为事件“xy≤eq\f(1,2)〞的概率，那么()A．p1<p2<eq\f(1,2) B．p2<eq\f(1,2)<p1C.eq\f(1,2)<p2<p1 D．p1<eq\f(1,2)<p2D[如图，满足条件的x，y构成的点(x，y)在正方形OBCA内，其面积为1.事件“x＋y≤eq\f(1,2)〞对应的图形为阴影△ODE(如图①)，其面积为eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,8)，故p1＝eq\f(1,8)<eq\f(1,2)，事件“xy≤eq\f(1,2)〞对应的图形为斜线表示局部(如图②)，其面积显然大于eq\f(1,2)，故p2>eq\f(1,2)，那么p1<eq\f(1,2)<p2，应选D.]2．(2022·陕西质检(二))在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，那么取到的点到O点的距离大于1的概率为()A.eq\f(π,4) B．1－eq\f(π,8)C．eq\f(π,8) D．1－eq\f(π,4)D[由题意得长方形ABCD的面积为1×2＝2，其中满足到点O的距离小于等于1的点在以AB为直径的半圆内，其面积为eq\f(1,2)×π×12＝eq\f(π,2)，那么所求概率为1－eq\f(\f(π,2),2)＝1－eq\f(π,4)，应选D.]3．随机地向半圆0＜y＜eq\r(2ax－x2)(a为正数)内掷一点，点落在圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，那么原点与该点的连线与x轴的夹角小于eq\f(π,4)的概率为________．eq\f(1,2)＋eq\f(1,π)[由0＜y＜eq\r(2ax－x2)(a＞0)，得(x－a)2＋y2＜a2，因此半圆区域如下图．设A表示事件“原点与该点的连线与x轴的夹角小于eq\f(π,4)，由几何概型的概率计算公式得P(A)＝eq\f(A的面积,半圆的面积)＝eq\f(\f(1,4)πa2＋\f(1,2)a2,\f(1,2)πa2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,π).]4．关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.假设a是从区间[0,3]任取的一个数，b是从区间[0,2]任取的一个数，那么方程有实根的概率为