2023高考数学一轮复习第9章算法初步、统计与统计案例第4节相关性、最小二乘估计与统计案例课时分层训练文北师大版

PAGEPAGE1课时分层训练(五十一)相关性、最小二乘估计与统计案例A组根底达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y与x负相关且y＝2.347x－6.423；②y与x负相关且y＝－3.476x＋5.648；③y与x正相关且y＝5.437x＋8.493；④y与x正相关且y＝－4.326x－4.578.其中一定不正确的结论的序号是()A．①② B．②③C．③④ D．①④D[由正负相关性的定义知①④一定不正确．]2．两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关系数r如下，其中拟合效果最好的模型是()A．模型1的相关系数r为0.98B．模型2的相关系数r为0.80C．模型3的相关系数r为0.50D．模型4的相关系数r为0.25A[相关系数r越大，拟合效果越好，因此模型1拟合效果最好．]3．第31届夏季奥林匹克运动会，中国获26金，18银，26铜共70枚奖牌居奖牌榜第二，并打破3次世界记录．由此许多人认为中国进入了世界体育强国之列，也有许多人持反对意见．有网友为此进行了调查，在参加调查的2548名男性公民中有1560名持反对意见，2452名女性公民中有1200人持反对意见，在运用这些数据说明中国的奖牌数是否与中国进入体育强国有无关系时，用什么方法最有说服力()【导学号：66482441】A．平均数与方差 B．回归直线方程C．独立性检验 D．概率C[由于参加讨论的公民按性别被分成了两组，而且每一组又被分成了两种情况：认为有关与无关，故该资料取自完全随机统计，符合2×2列联表的要求．故用独立性检验最有说服力．]4．(2022·福建高考)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x(万元)8.28.610.011.311.9支出y(万元)6.27.58.08.59.8根据上表可得回归直线方程y＝bx＋a，其中b＝0.76，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x).据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为()A．11.4万元 B．11.8万元C．12.0万元 D．12.2万元B[由题意知，eq\x\to(x)＝eq\f(8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.9,5)＝10，eq\x\to(y)＝eq\f(6.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.8,5)＝8，∴a＝8－0.76×10＝0.4，∴当x＝15时，y＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)．]5．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110由χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，算得χ2＝eq\f(110×40×30－20×202,60×50×60×50)≈7.8.附表：P(χ2≥x0)0.0500.0100.001x03.8416.63510.828参照附表，得到的正确结论是()A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关〞B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关〞C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关〞D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关〞C[根据独立性检验的定义，由χ2≈7.8＞6.635，可知我们在犯错误的概率不超过0.01的前提下，即有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关〞．]二、填空题6．(2022·西安质检)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归方程y＝0.67x＋54.9.零件数x(个)1020304050加工时间y(min)62758189现发现表中有一个数据看不清，请你推断出该数据的值为________.【导学号：66482442】68[由eq\x\to(x)＝30，得eq\x\to(y)＝0.67×30＋54.9＝75.设表中的“模糊数字〞为a，那么62＋a＋75＋81＋89＝75×5，即a＝68.]7．为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：理科文科总计男131023女72027总计203050P(χ2≥3.841)≈0.05，P(χ2≥5.024)≈0.025.根据表中数据，得到χ2＝eq\f(50×13×20－10×72,23×27×20×30)≈4.844.那么认为选修文科与性别有关系出错的可能性为________．5%[∵χ2≈4.844，根据假设检验的根本原理，应该断定“是否选修文科与性别之间有关系〞成立，并且这种判断出错的可能性约为5%.]8．(2022·长沙雅礼中学质检)某单位为了了解用电量y(度)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：气温(℃)181310－1用电量(度)24343864由表中数据得回归直线方程y＝bx＋a中的b＝－2，预测当气温为－4℃时，用电量为________度．68[根据题意知eq\x\to(x)＝eq\f(18＋13＋10＋－1,4)＝10，eq\x\to(y)＝eq\f(24＋34＋38＋64,4)＝40，因为回归直线过样本点的中心，所以a＝40－(－2)×10＝60，所以当x＝－4时，y＝(－2)×(－4)＋60＝68，所以用电量为68度．]三、解答题9．(2022·石家庄质检)微信是现代生活进行信息交流的重要工具，据统计，某公司200名员工中90%的人使用微信，其中每天使用微信时间在一小时以内的有60人，其余的员工每天使用微信的时间在一小时以上，假设将员工分成青年(年龄小于40岁)和中年(年龄不小于40岁)两个阶段，那么使用微信的人中75%是青年人．假设规定：每天使用微信时间在一小时以上为经常使用微信，那么经常使用微信的员工中eq\f(2,3)是青年人．(1)假设要调查该公司使用微信的员工经常使用微信与年龄的关系，列出2×2列联表：青年人中年人总计经常使用微信不经常使用微信总计(2)由列联表中所得数据判断，是否有99.9%的把握认为“经常使用微信与年龄有关〞？附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d).P(χ2≥x0)0.0100.001x06.63510.828[解](1)由可得，该公司员工中使用微信的有200×90%＝180(人)，经常使用微信的有180－60＝120(人)，其中青年人有120×eq\f(2,3)＝80(人)，使用微信的人中青年人有180×75%＝135(人)，所以2×2列联表：青年人中年人总计经常使用微信8040120不经常使用微信55560总计135451805分(2)将列联表中数据代入公式可得：χ2＝eq\f(180×80×5－55×402,120×60×135×45)≈13.333，由于13.333＞10.828，所以有99.9%的把握认为“经常使用微信与年龄有关〞.12分10．为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖情况，得如下试验数据：天数t(天)34567繁殖个数y(千个)2.5344.56(1)求y关于t的线性回归方程；(2)利用(1)中的回归方程，预测t＝8时的细菌繁殖个数．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：b＝eq\f(\o(∑,\s\up12(n))\o(,\s\do14(i＝1))ti－\x\to(t)yi－\x\to(y),\o(∑,\s\up12(n))\o(,\s\do14(i＝1))ti－\x\to(t)2)，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(t).[解](1)由表中数据计算得，eq\x\to(t)＝5，eq\x\to(y)＝4，eq\o(∑,\s\up12(n))eq\o(,\s\do14(i＝1))(ti－eq\x\to(t))(yi－eq\x\to(y))＝8.5，eq\o(∑,\s\up12(n))eq\o(,\s\do14(i＝1))(ti－eq\x\to(t))2＝10，2分b＝eq\f(\o(∑,\s\up12(n))\o(,\s\do14(i＝1))ti－\x\to(t)yi－\x\to(y),\o(∑,\s\up12(n))\o(,\s\do14(i＝1))ti－\x\to(t)2)＝0.85，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(t)＝4－0.85×5＝－0.25.所以回归方程为y＝0.85t－0.25.5分(2)将t＝8代入(1)的回归方程中得y＝0.85×8－0.25＝6.55.10分故预测t＝8时，细菌繁殖个数为6.55千个.12分B组能力提升(建议用时：15分钟)1．根据如下样本数据：x345678y4.02.5－0.50.5－2.0－3.0得到的回归方程为y＝bx＋a，那么()A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0B[作出散点图如下：观察图像可知，回归直线y＝bx＋a的斜率b＜0，当x＝0时，y＝a＞0.故a＞0，b＜0.]2．(2022·赣中南五校联考)心理学家分析发现视觉和空间想象能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从所在学校中按分层抽样的方法抽取50名同学(男30女20)，给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如下表：(单位：人)几何题代数题总计男同学22830女同学81220总计302050根据上述数据，推断视觉和空间想象能力与性别有关系，那么这种推断犯错误的概率不超过________．附表：P(χ2≥x)0.150.100.050.0250.0100.0050.001x2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.8280.025[由列联表计算χ2的值χ2＝eq\f(50×22×12－8×82,30×20×20×30)≈5.556＞5.024，∴推断犯错误的概率不超过0.025.]3．(2022·全国卷Ⅰ)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．图9­4­5(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋deq\r(x)哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；(3)这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据(2)的结果答复以下问题：①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为β＝eq\f(\o(∑,\s\up12(n))\o(,\s\do14(i＝1))ui－\x\to(u)vi－\x\to(v),\o(∑,\s\up12(n))\o(,\s\do14(i＝1))ui－\x\to(u)2)，α＝eq\x\to(v)－βeq\x\to(u).[解](1)由散点图可以判断，y＝c＋deq\r(x)适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型.4分(2)令w＝eq\r(x)，先建立y关于w的线性回归方程．由于d＝eq\f(\i\su(i＝1,8,)wi－\x\to(w)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,8,)wi－\x\to(w)2)＝eq\f(108.8,1.6)＝68，c＝eq\x\to(y)－deq\x\to(w)＝563－68×6.8＝100.6，所以y关于w的线性回归方程为y＝100.6＋68w，因此y关于