备战2020年高考物理计算题专题复习：《万有引力定律》(解析版)

第=page11页，共=sectionpages11页第=page22页，共=sectionpages22页《万有引力定律》一、计算题2019年1月3日，嫦娥四号探测器成功着陆在月球背面，并通过“鹊桥”中继卫星传回了第一张近距离拍摄月球背面的图片。此次任务实现了人类探测器首次在月球背面软着陆、首次在月球背面通过中继卫星与地球通讯，因而开启了人类探索月球的新篇章。

探测器在月球背面着陆的难度要比在月球正面着陆大很多。其主要原因在于：由于月球的遮挡，着陆前探测器将无法和地球之间实现通讯。2018年5月，我国发射了一颗名为“鹊桥”的中继卫星，在地球和月球背面的探测器之间搭了一个“桥”，从而有效地解决了通讯问题。为了实现通讯和节约能量，“鹊桥”的理想位置就是围绕“地—月”系统的一个拉格朗日点运动，如图1所示。所谓“地—月”拉格朗日点是指空间中的某个点，在该点放置一个质量很小的天体，该天体仅在地球和月球的万有引力作用下保持与地球和月球的相对位置不变。

(1)设地球质量为M，月球质量为m，地球中心和月球中心间的距离为L，月球绕地心运动，图1中所示的拉格朗日点到月球球心的距离为r。推导并写出r与M、m和L之间的关系式。(2)地球和太阳组成的“日—地”系统同样存在拉格朗日点，图2为“日—地”系统示意图，请在图中太阳和地球所在直线上用符号“·”标记出几个可能拉格朗日点的大概位置。

利用万有引力定律可以测量天体的质量．

(1)测地球的质量

英国物理学家卡文迪许，在实验室里巧妙地利用扭秤装置，比较精确地测量出了引力常量的数值，他把自己的实验说成是“称量地球的质量”．

已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R，引力常量为G.若忽略地球自转的影响，求地球的质量．

(2)测“双星系统”的总质量

所谓“双星系统”，是指在相互间引力的作用下，绕连线上某点O做匀速圆周运动的两个星球A和B，如图所示．已知A、B间距离为L，A、B绕O点运动的周期均为T，引力常量为G，求A、B的总质量．

(3)测月球的质量

若忽略其它星球的影响，可以将月球和地球看成“双星系统”.已知月球的公转周期为T1，月球、地球球心间的距离为L1.你还可以利用(1)、(2)中提供的信息，求月球的质量．

如图所示是“月亮女神”、“嫦娥1号”绕月做圆周运行时某时刻的图片，用R1、R2、T1、T2、分别表示“月亮女神”和“嫦娥1号”的轨道半径及周期，用R(1)请用万有引力知识证明：它们遵循R13T12=R(3)请用所给“嫦娥1号”的已知量．估测月球的平均密度．

2014年10月8日，月全食带来的“红月亮”亮相天空，引起人们对月球的关注。我国发射的“嫦娥三号”探月卫星在环月圆轨道绕行n圈所用时间为t，如图所示。已知月球半径为R，月球表面处重力加速度为g月，引力常量为G.试求：

(1)月球的质量M；

(2)月球的第一宇宙速度v1；

(3)“嫦娥三号”卫星离月球表面高度h。

由三颗星体构成的系统，忽略其他星体对它们的作用，存在着一种运动形式：三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动(图示为A、B、C三颗星体质量不相同时的一般情况)。若A星体质量为2m，B、C两星体的质量均为m，三角形的边长为a，求：

(1)A星体所受合力大小FA(2)B星体所受合力大小FB(3)C星体的轨道半径RC(4)三星体做圆周运动的周期T。

某行星质量为M，半径为R，自转对地面物体重力的影响不可忽略，两与赤道面共面的卫星A、B在距地面高分别为h1=2R和h2=4R圆形轨道做匀速圆周运动，其绕行方向相同，其中B卫星是同步卫星，一质量为m的人站在赤道地面上的C点观察两卫星的运动，万有引力常数为G，求：

(1)地面对人的支持力N；

(2)人观察到A卫星相邻两次经过头顶的时间间隔t。

在发射地球同步卫星，可先将卫星发射至距地面一定高度的圆形近地轨道上，在卫星经过A点时点火(喷气发动机工作)实施变轨进入椭圆轨道，椭圆轨道的近地点为A，远地点为B；在卫星沿椭圆轨道运动经过B点时再次点火实施变轨，将卫星送入同步轨道(远地点B在同步轨道上)，如图所示。两次点火过程都是使卫星沿切向方向加速，并且点火时间很短。已知同步卫星的运动周期为T，地球的半径为R，地球表面重力加速度为g。

(1)求同步轨道距地面的高度h1。

(2)若同步卫星距地面的高度h1已知，卫星在椭圆轨道上从A点运动到B点所用的时间为t，求A点到地面的高度h2。

火星(如图所示)是太阳系中与地球最为类似的行星，人类对火星生命的研究在今年因“火星表面存在流动的液态水”的发现而取得了重要进展．若火星可视为均匀球体，火星表面的重力加速度为g火星半径为R，火星自转周期为T，万有引力常量为G.求：

(1)火星的平均密度ρ．

(2)火星的同步卫星距火星表面的高度h．

空间站是一种在近地轨道长时间运行，可供多名航天员巡访、长期工作和生活的载人航天器。如图所示，某空间站在轨道半径为R的近地圆轨道Ⅰ上绕地球运行，一宇宙飞船与空间站对接检修后再与空间站分离，分离后空间站仍在轨道Ⅰ上围绕地球运行，分离时宇宙飞船依靠自身动力装置在很短的距离内加速，进入椭圆轨道Ⅱ上运行。已知椭圆轨道的远地点到地心的距离为3.5R，地球质量为M，引力常量为G。则分离后飞船在椭圆轨道上至少运行多长时间才有机会与空间站第二次对接⋅

由于通讯和导航等方面的需要，许多国家发射了地球同步轨道卫星，我国的“北斗卫星导航系统”中也有同步卫星的存在。若在同步轨道上等间距分布三颗卫星就可实现全球大部分地区通讯，但无论同步卫星数目增到多少，地球两级附近总有一部分面积覆盖不到。已知地球自转周期为T，半径为R，表面重力加速度为g。(球冠的表面积公式为S=2πRh，R为球体半径，h为球冠高度，如图所示)。求：

(1)同步卫星的轨道半径r；

(2)地球不能够被覆盖的总面积。(计算涉及到同步卫星轨道半径时，可直接用r表示)

2003年10月15日，我国宇航员杨利伟乘坐我国自行研制的“神舟”五号飞船在酒泉卫星发射中心成功升空，这标志着我国已成为世界上第三个载人飞船上天的国家。“神舟”五号飞船是由长征—2F运载火箭将其送入近地点为A、远地点为B的椭圆轨道上，实施变轨后，进入预定圆轨道，如图所示。已知近地点A距地面高度为h，飞船在预定圆轨道上飞行n圈所用时间为t，地球表面的重力加速度为g，地球半径为R，求：

(1)飞船在近地点A的加速度为多少？

(2)飞船在预定圆轨道上飞行的速度为多少？

人民网北京7月6日电据中国航天科技集团公司官网消息，6月19日，长征三号乙遥二十八火箭发射中星9A卫星过程中运载火箭出现异常，未能将卫星送入预定轨道。中航科技集团公司在西安卫星测控中心的密切配合下，通过准确实施10次轨道调整，卫星于7月5日成功定点于东经101.4°赤道上空的预定轨道。目前，卫星各系统工作正常，转发器已开通，后续将按计划开展在轨测试工作。

如图所示，卫星圆轨道Ⅰ通过椭圆轨道Ⅱ调整至圆轨道Ⅲ，P点是圆轨道Ⅰ和椭圆轨道Ⅱ的切点，Q点椭圆轨道Ⅱ调和圆轨道Ⅲ的切点。已知中星9A卫星的质量为m=700kg，地球质量为M=5.98×1024kg，地球表面重力加速度g=9.80m/s2，地球半径为R0=6400km，圆轨道Ⅰ的轨道半径为1.5R0，圆轨道Ⅲ的轨道半径为2.5R0求：(1)卫星在圆轨道I、Ⅲ上运行的速度v1、v(2)将卫星从圆轨道I送到圆轨道Ⅲ，至少要对卫星做多少功？(3)以距离地球无限远处为势能零点，质量为m卫星距离地心为R时，其引力势能为−GMmR，且卫星在P点和Q点时，v2×1.5R0=v3×2.5R0(1)如图所示，曲线Ⅰ是一颗绕地球做圆周运动的卫星轨道的示意图，其半径为R；曲线Ⅱ是一颗绕地球做椭圆运动的卫星轨道的示意图，O点为地球球心，AB为椭圆的长轴，两轨道和地心都在同一平面内，已知在两轨道上运动的卫星的周期相等，引力常量为G，地球质量为M，下列说法正确的是(

)

A.椭圆轨道的长轴长度为2R

B.卫星在Ⅰ轨道的速度为v0,卫星在Ⅱ轨道B点的速率为vB，则v0>vB

C.卫星在Ⅰ轨道的加速度大小为a0，卫星在Ⅱ轨道A点加速度大小为aA，则a0<aE.若OA=0.5R，则卫星在A点的速率v(2)某仪器在地面上受到的重力为160N，将它置于宇宙飞船中，当宇宙飞船以a=0.5g的加速度竖直上升到某高度时仪器所受的支持力为90N，取地球表面处重力加速度g=10m/s2，地球半径R=6400km求：

1)此处的重力加速度的大小g；

2)此处离地面的高度H；

3)在此高度处运行的卫星速度v．

我国正在进行的探月工程是高新技术领域的一次重大科技活动，在探月工程中飞行器成功变轨至关重要。如图所示，假设月球半径为R，月球表面的重力加速度为g 0，飞行器在距月球表面高度为3R的圆形轨道Ⅰ上运动，到达轨道的A点点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的近月点B再次点火进入近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动

(1)飞行器在轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ上运行的周期大小关系如何？最大周期为多少？(2)飞行器在轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ上运行的机械能大小关系如何？(3)飞行器在轨道Ⅰ、Ⅲ上运行的速度大小关系如何？

假定月球绕地球作圆周运动，地球绕太阳也作圆周运动，且轨道都在同一平面内．己知地球表面处的重力加速度g = 9.80m/s2，地球半径R0=6.37×106m，月球质量m=7.3×( i )月球的球心绕地球的球心运动一周需多少天？( ii )地球上的观察者相继两次看到满月需多少天？( iii )若忽略月球绕地球的运动，设想从地球表面发射一枚火箭直接射向月球，试估算火箭到达月球表面时的速度至少为多少(结果要求两位数字)⋅

据新华社报道，为了在本世纪初叶将我国的航天员送上太空，2002年3月25日22时15分，我国成功地发射了一艘无人试验飞船。在完成预定任务后，飞船于4月1日16时51分安全着陆，共绕地球飞行108圈。(1)飞船的名称是什么？(2)飞船在运行期间，按照地面指挥控制中心的指令成功地实施了数百个动作，包括从椭圆轨道变换成圆轨道等．假如把飞船从发射到着陆的整个过程中的运动都当作圆周运动处理，试粗略估计飞船离地面的平均高度．已知地球半径R=6.37×106 m，地球表面处的重力加速度g=9.80m·s−2

如图所示，两颗人造卫星M和N围绕地球做匀速圆周运动，卫星N的质量是卫星M的质量的2倍，观测到卫星M的周期是卫星N的周期的8倍，求：(1)卫星M与卫星N的轨道半径之比。(2)卫星M与卫星N的动能之比。(3)卫星M与卫星N的向心力之比。

天文学家在冥王星以外的遥远空间发现了一个新的天体，又一次界定了太阳系边沿．而这颗新天体的存在，或能证明在冥王星外还存在一个更大的行星Planet X，这颗行星甚至比地球还大．假设球状行星Planet X的确存在，设想发射一颗该行星的卫星来估测它的平均密度，已知行星的半径为R，万有引力常量为G。(1)若卫星贴近行星Planet X表面做匀速圆周运动的周期为T0(2)若卫星距行星Planet X表面的高度为h，测得卫星在该处做圆周运动的周期为T，求该行星的平均密度。

阅读如下资料，并根据资料中有关信息回答问题．(1)以下是地球和太阳的有关数据：平均半径R地R日质量M地M日平均密度ρ地ρ日自转周期1天赤道附近26天，两极附近大于30天(2)已知物体绕地球表面做匀速圆周运动的速度为v=7.9 km/s，万有引力常量G=6.67×10−11m(3)大约200年前法国数学家兼天文学家拉普拉斯曾预言一个密度如地球，直径为太阳250倍的发光星体由于其引力作用将不允许任何光线离开它，其逃逸速度大于真空中的光速(逃逸速度为第一宇宙速度的2倍)，这一奇怪的星体就叫作黑洞．在下列问题中，把星体(包括黑洞)看作是一个质量分布均匀的球体．(①②的计算结果用科学计数法表达，且保留一位有效数字；③的推导结论用字母表达)①试估算地球的质量；②试估算太阳表面的重力加速度；③已知某星体演变为黑洞时的质量为M，求该星体演变为黑洞时的临界半径R．

从玉兔登月到对月球背面探测。近几年我国探月工程取得很大的突破，假设质量为m的玉兔号探测器进入绕月球飞行的轨道，先在半径为R的圆形轨道Ⅰ上绕月球飞行，运行速度大小为υ1.为了进一步探测月球表面的情况，当探测器运行到A点时发动机向前喷出质量为△m的气体，探测器速度大小减为υ2，进入一个椭圆轨道Ⅱ，运行到B点时再一次改变速度，然后进入离月球更近的半径为r的圆轨道Ⅲ，如图所示．设探测器仅受到月球的万有引力，探测器在A点喷出的气体速度大小为u.求：(1)探测器在轨道Ⅲ上的运行速率υ3(2)探测器在A点喷出的气体质量△m．

开普勒1609年一1619年发表了著名的开普勒行星运行三定律，其中第三定律的内容是：所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟公转周期的平方的比值都相等。万有引力定律是科学史上最伟大的定律之一，它于1687年发表在牛顿的《自然哲学的数学原理中》。

(1)请从开普勒行星运动定律等推导万有引力定律(设行星绕太阳的运动可视为匀速圆周运动)；

(2)万有引力定律的正确性可以通过“月−地检验”来证明：

如果重力与星体间的引力是同种性质的力，都与距离的二次方成反比关系，那么，由于月心到地心的距离是地球半径的60倍；月球绕地球做近似圆周运动的向心加速度就应该是重力加速度的13600。

试根据上述思路并通过计算证明：重力和星体间的引力是同一性质的力(已知地球半径为6.4×106m，月球绕地球运动的周期为28天，地球表面的重力加速度为9.8m/s2)。

中国空间站将于2022年建成，我国科研人员在模拟空间站运行时发现，质量为m0的空间站由于受到微弱阻力的作用而沿螺旋轨道向地球运行，因阻力极微小，可认为在一圈内空间站作匀速圆周运动。若开始时其轨道半径为R，经过较长时间T后其轨道半径减小了h(h远小于R)。如果规定物体在离地球无穷远处势能为零，则质量为m的物体离地心距离为r时，具有的万有引力势能可表示为Ep=−GMmr，(1)求空间站在半径为R的轨道上运行时的机械能E；(2)估算空间站受到的微弱阻力F的大小。

2010年10月我国“嫦娥二号”探月卫星成功发射．“嫦娥二号”卫星开始绕地球做椭圆轨道运动，经过若干次变轨、制动后，最终使它绕月球在一个圆轨道上运行．设“嫦娥二号”距月球表面的高度为h，绕月圆周运动的周期为T.已知月球半径为R，引力常量为G．

(1)求月球的质量M；

(2)求月球的密度ρ；

(3)若地球质量为月球质量的k倍，地球半径为月球半径的n倍，求地球与月球的第一宇宙速度之比v1：v2．

如图，地球赤道上有一通讯站A，赤道上空有一颗圆轨道通讯卫星B，运行方向与地球自转方向相同。已知地球半径为R，表面重力加速度为g，自传周期为T0，卫星B运行周期为T，T小于T0。

(1)求卫星B的离地高度。

(2)求卫星B连续两次到达A站正上空的时间间隔。

2016年1月5日上午，国防科工局正式发布国际天文学联合会批准的嫦娥三号探测器着陆点周边区域命名为“广寒宫”，附近三个撞击坑分别命名为“紫微”、“天市”、“太微”.此次成功命名，是以中国元素命名的月球地理实体达到22个．己知地球半径为R，表面重力加速度为g，质量为m的嫦娥三号卫星在地球上空的万有引力势能为Ep=−mgR2(1)质量为m的嫦娥三号卫星以速率v在某一圆轨道上绕地球做匀速圆周运动，求此时卫星距地球地面高度h1(2)要使嫦娥三号卫星上升，从离地高度h1(此问可以认为h1为已知量)再增加h的轨道上做匀速圆周运动，卫星发动机至少要做的功W为多少？

答案和解析1.【答案】解：(1)设图中拉格朗日点有质量为的物体

则对物体：对月球m：GMmL2=mω2L

联立可得：mr2+ML+r2=ML【解析】(1)设在图中的拉格朗日点有一质量为mˈ的物体(mˈ≪m)则月球对其的万有引力，地球对其的万有引力F2为，质量为mˈ的物体以地球为中心做圆周运动，向心力由F1和F2的合力提供，得到r与M、m和L之间的关系式；

(2)对于“日−地”系统，在太阳和地球连线上共有3个可能的拉格朗日点，得到大概位置。

本题考查环绕天体运动参量的分析与计算。难度较大。

2.【答案】解：(1)设地球的质量为M，地球表面某物体质量为m，忽略地球自转的影响，则有GMmR2=mg

解得：M=gR2G

(2)设A的质量为M1，A到O的距离为r1，设B的质量为M2，B到O的距离为r2，

根据万有引力提供向心力公式得：

GM1M2L2=M1(2πT)2r1，

GM1M2L2=M2(2πT)【解析】(1)根据地球表面的物体受到的重力等于万有引力GMmR2=mg，可解得地球的质量M；

(2)双星问题，它们之间的万有引力提供向心力，它们两颗星的轨道半径的和等于它们之间的距离．代入公式即可解答；

(3)根据地(2)问的结论求出地球和月球的总质量，再减去(1)中求出的地球质量即为月球质量．

本题要掌握两个关系：星球表面的物体受到的重力等于万有引力；环绕天体绕中心天体做圆周运动所需要的向心力由万有引力提供．这两个关系可以解决天体运动的一切问题，双星问题，要注意的是它们两颗星的轨道半径的和等于它们之间的距离，不能把它们的距离当成轨道半径．

3.【答案】解：

(1)环绕天体绕月球圆周运动万有引力提供圆周运动向心力有：

GMmR12=mR14π2T12…①，GmMR22=mR24π2T22…②，由【解析】(1)绕月球做匀速圆周运动的天体圆周运动的向心力由万有引力提供，据此求得半径的三次方与周期的二次方的比值，从而得出结论；

(2)某时刻两卫星正好同时通过地面上同一点的正上方，当两颗卫星转动角度相差π时，相距最远；

(3)根据万有引力提供圆周运动向心力求得中心天体月球的质量，再根据密度公式求得月球的密度。

环绕天体圆周运动的向心力由万有引力提供，据此根据圆周运动的半径和周期可以求得中心天体的质量，掌握万有引力公式和球的体积公式是解题的关键。

4.【答案】解：(1)月球表面处引力等于重力，GMmR2=mg月

得M=g月R2G

(2)第一宇宙速度为近月卫星运行速度，由万有引力提供向心力

得GMmR2=mv12R

所以月球第一宇宙速度v1=GMR=g月R

(3)卫星做圆周运动，由万有引力提供向心力

得【解析】在月球表面的物体受到的重力等于万有引力GMmR2=mg月，化简可得月球的质量。

根据万有引力提供向心力GMmR2=mv12R，可计算出近月卫星的速度，即月球的第一宇宙速度。

根据万有引力提供向心力GMmr2=m4π2T2r，结合周期和轨道半径的关系，可计算出卫星的高度。

本题要掌握万有引力提供向心力和重力等于万有引力这两个重要的关系，要能够根据题意选择恰当的向心力的表达式。

5.【答案】解：(1)由万有引力定律，A星体所受B、C星体引力大小为

FBA=GmAmBr2=G2m2a2=FCA，

方向如图则合力大小为FA=23Gm2a2

(2)同上，B星体所受A、C星体引力大小分别为

FAB=GmAmBr2=G2m2a2

F【解析】【分析】该题借助于三星模型考查万有引力定律，其中B与C的质量相等，则运行的规律、运动的半径是相等的。画出它们的受力的图象，在结合图象和万有引力定律即可正确解答。

由万有引力定律，A星受到B、C的引力的合力充当A星体圆周运动的向心力，分别求出单个力，然后求出合力；

同理可求出B星所受合力；

根据几何关系求出C的轨道半径；

三星体的运动周期相同，根据合力提供向心力，求出周期。

6.【答案】解：(1)地面上的人受万有引力和支持力，其全力提供自转向心力，即GMmR2−N=m(2πT2)2R

对于同步卫星有：GMm(R+h2)2=m(2πT2)2(R+h2)

T2=2π125R3GM

代入得N=GMmR【解析】(1)不能忽略地球自转，物体的自转向心力为万有引力的一个分力，万有引力产生两个效果，一是随地球自转，二是产生对地面的弹力，建立赤道物体的向心力方程，求解N。

(2)卫星相遇问题的解决方法是，周期小的卫星比周期大的卫星多转一圈，A、B卫星满足开普勒第三定律。可以根据B同步卫星，万有引力充当向心力，可求B的周期。

7.【答案】解：(1)设地球质量为M，卫星质量为m，引力常量为G，有：GMm(R+h1)2=m4π2T2(R+h1)

可认为物体在地球表面上受到的万有引力等于重力，即：GMmR2=mg

由以上两式解得：h1=3gR2T24π2−R。【解析】求解此题的关键是能够根据卫星运动时万有引力提供向心力和在地球表面重力等于万有引力分析相关问题，能够应用开普勒第三定律求解椭圆轨道半长轴与周期之间的关系。

(1)由万有引力提供向心力和在地球表面重力等于万有引力列式求解同步轨道距地面的高度；

(2)根据开普勒第三定律列式求解A点到地面的高度。

8.【答案】解：(1)在火星表面，对质量为m的物体有mg=GMmR2

①

又M=ρV=ρ⋅43πR3

②

联立①②两式解得ρ=3g4GπR．

(2)同步卫星的周期等于火星的自转周期T

万有引力提供向心力，有GMm′(R+h)2=m′4π2T2(R+h)【解析】(1)根据万有引力等于重力求出火星的质量，结合火星的体积求出火星的密度．

(2)根据万有引力提供向心力求出火星同步卫星的轨道半径，从而得出距离火星表面的高度．

解决本题的关键掌握万有引力定律的两个重要理论：1、万有引力等于重力，2、万有引力提供向心力，并能灵活运用．

9.【答案】解：设空间站在轨道I上运行周期为T1，万有引力提供空间站做圆周运动的向心力，则：GM空MR2=M空(2πT1)2R

解得：T1=2πR3GM

航天飞船所在椭圆轨道的半长轴：L=3.5R+R2=94R【解析】设空间站在轨道I上运行周期为T1，根据万有引力提供空间站做圆周运动的向心力列式求解；求出航天飞船所在椭圆轨道的半长轴，根据开普勒第三定律列式求出航天飞船在轨道II上运动的周期，要完成对接，飞船和空间站须同时到达椭圆轨道的近地点，从而求出时间。

本题主要考查了万有引力提供向心力公式以及开普勒第三定律的直接应用，知道要完成对接，飞船和空间站须同时到达椭圆轨道的近地点，难度适中。

10.【答案】解：(1)物体在地球受到的重力近似等于万有引力GMm0R2=m0g

卫星万有引力提供向心力，有GMmr2=m(2πT)r

求得：r=3gR2T2【解析】本题主要考查同步卫星的运行规律，解题时要注意同步卫星的特点以及熟练的运用万有引力提供向心力。

(1)物体在地球受到的重力近似等于万有引力即可解答；

(2)作出几何图形，利用数学知识即可求解。

11.【答案】解：(1)设地球质量为M，飞船质量为m，则飞船在A点受到地球的引力：F=GMm(R+h对地面上质量为m0的物体：GMm据牛顿第二定律可知万有引力提供向心力：F=man联立①②③解得飞船在近地点A的加速度：aA(2)飞船在预定圆轨道上飞行的周期：T=tn

设预定圆轨道半径为r，由牛顿第二定律有：G2Mm而v=2πrT联立②④⑤⑥解得：飞行速度：v=3答：(1)飞船在近地点A的加速度为R2(2)飞船在预定圆轨道上飞行的速度为32πng

【解析】本题考查了人造卫星的加速度、周期和轨道的关系；卫星在椭圆轨道运行时的加速度目前只能根据牛顿第二定律求解；卫星的轨道半径与线速度、角速度、周期对应。(1)根据万有引力提供向心力和万有引力等于重力列出等式求解；(2)由牛顿第二定律和圆周运动的知识求解。

12.【答案】解：(1)地面附近重力等于万有引力，对近地卫星：有：G当卫星在圆I轨道上运行时，有：G得：v同理：v(2)将卫星从圆轨道I送到轨道III，其机械能变化量为ΔE=(−G解得：ΔE=5.85×109J

由功能关系知，将卫星从圆轨道I送到圆轨道Ⅲ(3)卫星在椭圆轨道P点运动到Q点，机械能守恒1卫星在椭圆轨道P点、Q点时，v解得：vv

【解析】(1)地面附近重力等于万有引力，卫星在圆I和圆III轨道上运行万有引力提供向心力，列式计算；(2)将卫星从圆轨道I送到轨道III，列出两轨道上的机械能，求机械能变化量，再根据功能关系求解即可；(3)卫星在椭圆轨道P点运动到Q点，根据机械能守恒定律解答。本题考查利用万有引力研究天体运动，掌握万有引力提供向心力，要灵活应用。

13.【答案】(1)ABC；

(2)

解：(1)由在地表仪器重160N，可知仪器质量为：m=16kg①

根据牛顿第二定律，有：F−mg′=ma②

代入数据，得：g′=0.625m/s2③；

(2)设此时飞船离地高度为H，地球质量为

M，

该高度处重力加速度为：g′=G M (R+H)2 ④

地表重力加速度为：g=G M  R2⑤

联立各式得：H=3R=1.92×107m⑥；

(3)设该高度有人造卫星速度为v，其向心力由万有引力来提供，有：

G mM(R+H)2  =m v2 (R+H)⑦

由⑤⑦式得：v=  【解析】(1)

【分析】

本题考查万有引力定律、开普勒第三定律、牛顿第二定律等知识，知道卫星变轨的原理是解决本题的关键。

根据开普勒定律比较长轴与R的关系，根据万有引力的大小，通过牛顿第二定律比较加速度，结合速度的大小比较向心加速度的大小。

【解答】

解：A、根据开普勒第三定律得 a3 T2 =k，a为半长轴，

己知卫星在两轨道上运动的卫星的周期相等，所以椭圆轨道的长轴长度为2R，故A正确；

B、B点为椭圆轨道的远地点，速度比较小，v0表示做匀速圆周运动的速度，v0>vB.故B正确；

C、根据牛顿第二定律得a= GM r2，卫星在Ⅰ轨道距离地心的距离大于卫星在Ⅱ轨道A点距离地心的距离，所以a0<aA，故C正确；

DE、若OA=0.5R，则OB=1.5R，

人造卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力， GMm r2= mv2 r

v=GM r，

如果卫星以OB为轨道半径做匀速圆周运动，v=GM r=2GM3R，

在Ⅱ轨道上，卫星在B点要减速，做近心运动，所以卫星在B点的速率vB<2GM3R，

在Ⅱ轨道上，卫星在A点要加速，做远心运动，所以卫星在A点的速率为vA>2GM R，故DE错误；

故选ABC。

(2)

本题要掌握星球表面处的物体受到的重力等于万有引力，由此可以计算出重力加速度的表达式．还要掌握万有引力提供向心力这个关系，并且要能够根据题意选择恰当的向心力的表达式。

(1)根据地表处的重力计算仪器的质量，再根据牛顿第二定律计算此处的重力加速度；

(2)根据该高度处重力加速度g′=G M (R+H)2和地表重力加速度

 g=G M R2联立计算此处离地面的高度H；

(3)根据万有引力提供向心力G mM (R+H)2 =m v2 (R+H)，化简可得此处的速度v。

14.【答案】解：(1)由开普勒第三定律a3T2=k可知，飞行器的轨道由Ⅰ【解析】【分析】(1)根据万有引力提供向心力可求出轨道Ⅲ的运行周期，根据开普勒第三定律可比较飞行器在轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ上运行的周期大小关系，从而求出最大周期；

(2)飞行器由轨道Ⅰ→Ⅱ→Ⅲ时都要经过制动减速，由此可判断机械能大小关系；

(3)根据万有引力提供向心力可比较飞行器在轨道Ⅰ、Ⅲ上的速度。

该题考查了开普勒第三定律、万有引力定律的应用及卫星变轨问题，要熟知卫星的变轨，尤其注意无论在什么轨道上，只要是同一个点，引力必定相同，加速度必定相同。

15.【答案】解：(1)月球在地球引力作用下绕地心作圆周运动，设地球的质量为me，月球绕地心作圆周运动的角速度为ωm，

由万有引力定律和牛顿定律有Gmemmrem2=mmremωm2

(1)

另有GmeRe2=g

(2)

月球绕地球一周的时间Tm=2πωm

(3)

解(1)、(2)、(3)三式得Tm=2πrem3gRe2

(4)

代入有关数据得Tm=2.37×106s=27.4天

(5)

；

(ii)满月是当月球、地球、太阳成一条直线时才有的，此时地球在月球和太阳之间，

即图中A的位置。当第二个满月时，由于地球绕太阳的运动，地球的位置已运动到。

若以表示相继两次满月经历的时间，ωe表示地球绕太阳运动的角速度，由于ωe和ωm的方向相同，故有

(6)

而ωm=2πTm

(7)

ωe=2πTe

(8)

式中Te为地球绕太阳运动的周期，Te=365天。

由(6)、(7)、(8)三式得

(9)

注意到(5)式，得天

(10)

(iii)从地面射向月球的火箭一方面受到地球的引力作用，另一方面也受到月球引力的作用。当火箭离地球较近时，地球的引力大于月球的引力；当离月球较近时，月球的引力大于地球的引力。作地心和月心的连线，设在地月间某一点O处，地球作用于火箭的引力的大小正好等于月球作用于火箭的引力大小。以r表示O点到月球中心的距离，则有Gmem(rem−r)2=Gmmmr2

(11)

式中m是火箭的质量。

【解析】本题主要考查了万有引力定律的应用，知道从地球表面发射直接射向月球的火箭只要能到达O点，则过O点后，因月球引力大于地球引力，它便能在月球引力作用下到达月球，这样发射时火箭离开地面时的速度最小，它到达月球时的速度也最小。难度较大。

(1)月球在地球引力作用下绕地心作圆周运动，设地球的质量为me，月球绕地心作圆周运动的角速度为ωm，由万有引力定律和牛顿定律结合黄金代换式即可求解；

(2)满月是当月球、地球、和太阳成一直线时才有的，此时地球在月球和太阳之间，即图中A的位置．当第二个满月时，由于地球绕太阳的运动，地球位置已运动到A′.若以Tm′表示相继两次满月经历的时间，ωe表示地球绕太阳运动的角速度，由于ωe和ωm的方向相同，根据角速度和周期的关系列式即可求解；

(3)从地面射向月球的火箭一方面受到地球的引力作用，另一方面也受到月球的引力作用．当火箭离地球较近时，地球的引力大于月球的引力；当离月球较近时，月球的引力大于地球的引力．作地心和月心的连线，设在地月间某一点处，地球作用于火箭的引力的大小正好等于月球作用于火箭的引力的大小。以r表示到月球中心的距离，根据万有引力定律及机械能守恒定律即可解题。

16.【答案】(1)神舟3号(2)设飞船飞行时间为t，绕地球飞行的圈数为N，周期为T，飞船的质量为m，离地面的平均高度为h，地球半径为R，地球质量为M，则有

T=tN

①

GmM(R+h)2=m2πT2(R+h)

②

GMmR2=mg

③【解析】重点是掌握万有引力提供向心力的各种表达形式，会用黄金代换关系．

(1)依据我国的发射历史，可以判定该飞船为神舟3号；

(2)由万有引力定律和牛顿第二定律对飞船的运行过程列出等式求解．

17.【答案】解：(1)卫星做匀速圆周运动，万有引力充当向心力，有GMmr2=m4π2rT2解得r=3GMT24π2卫星M与卫星N的轨道半径之比r1:r2=3T12:3【解析】(1)卫星做匀速圆周运动，万有引力充当向心力，GMmr2=m4π2rT2；

(2)由GMmr2=mv2r求出卫星M与卫星N的动能之比；

(3)由万有引力公式F=GMmr2求出卫星M与卫星N的向心力

本题考查了卫星的运动规律，知道万有引力提供向心力是解题的关键。

18.【答案】(1)设卫星的质量为m，天体PlanetX的质量为M，

卫星在天体表面运行时有GMmR2=m2πT02R【解析】(1)根据卫星在天体表面运行时GMmR2=m2πT02R，求出该行星的平均密度；

(2)若卫星在距天体表面高为h处运行，则r=R+hG解得M=②在地球表面G解得g同理在太阳表面gg③第一宇宙速度GMm第二宇宙速度v解得R=2GMc2

答：②太阳表面的重力加速度g日③该星体演变为黑洞时的临界半径R=2GM【解析】①物体绕地球表面做匀速圆周运动时，由地球的万有引力提供向心力，由此列式求地球的质量；

②根据万有引力等于重力，估算太阳表面的重力加速度；

③已知某星体演变为黑洞时的质量为M，由万有引力等于向心力，得到第一宇宙速度与第二宇宙速度的关系，再求该星体演变为黑洞时的临界半径R。

解决本题的关键是掌握万有引力等于向心力和万有引力等于重力这两条基本思路，要认真读题，搞清两种宇宙速度的关系。

20.【答案】

解：(1)在轨道I上，探测器所受万有引力提供向心力，设土星质量为M，则

 GMmR2= mυ12R

①

同理，在轨道Ⅲ上有 GMm′r2= m′υ32r

②

由式①②可得

v3

=

R r ·

v1 ③

探测器在轨道Ⅲ上运行时加速度设为a ，则有