应力应变曲线

1/1应力应变曲线应力-应变曲线

MA02139，剑桥

麻省理工学院

材料科学与工程系

DavidRoylance

2001年8月23日

引言

应力-应变曲线是描述材料力学性能的极其重要的图形。所有学习材料力学的学生将经

常接触这些曲线。这些曲线也有某些细微的差别，特别对试验时会产生显著的几何变形的塑

性材料。在本模块中，将对表明应力-应变曲线特征的几个点作简略讨论，使读者对材料力

学性能的某些方面有初步的总体了解。本模块中不准备纵述“现代工程材料的应力-应变曲

线”这一广阔的领域，相关内容可参阅

当以应变eε为自变量、应力eσ为函数绘制图形时，就得到如图2所示的工程应力-应变曲

线。

图2退火的多晶体铜在小应变区的工程应力-应变曲线

（在许多塑性金属中，这一曲线具有典型性）

在应力-应变曲线的初始部分（小应变阶段），作为合理的近似，许多材料都服从胡克定

律。于是应力与应变成正比，比例常数即弹性模量或杨氏模量，记作E:

随着应变的增大，许多材料的应力与应变最终都偏离了线性的比例关系，该偏离点称为

比例极限。这种非线性通常与试样中由应力引起的“塑性”流动有关。在此阶段，材料内部

的分子或微观结构重新排列或调整，原子移动到新的平衡位置。材料呈现塑性的机理是分子

的活动性，对晶体材料，分子的活动性可由位错运动引起（在随后的模块中将深入讨论）。

若材料内部的分子缺少这种活动性，例如其内部微观结构会阻碍位错运动，则这种材料通常

是脆性而不是塑性的。脆性材料的应力-应变曲线，在其整个变形范围内都近似为直线，最

后试验因断裂而终止，没有明显的塑性流动现象。

在图2中可见，塑性材料的应变超过比例极限后，要使应变再增加，所需的应力必须在

超出比例极限后继续增加，这一现象称为应变硬化。

这些与塑性流动相关的微观结构重新调整通常在卸载后并不能逆转，因此比例极限往往

就是材料的弹性极限，或者至少两者很接近。弹性是指在卸除载荷后、材料完全并立即从强

制的变形状态恢复原形的性能，弹性极限是指这样的应力值：当材料达到此应力值后，卸载

后仍将保留永久的残余变形。要确定由给定应力引起的残余变形，可从该应力在应力-应变

曲线上达到的最高点，向应变轴画一条卸载直线，此直线的斜率与初始弹性加载直线的斜率

相同，直线与应变轴的交点对应的应变值即残余应变值。产生残余变形的原因是：材料卸载

后弹性变形虽然消失，但已没有外力强迫分子结构恢复其初始位置。

与应力-应变曲线密切相关的术语是屈服应力，在这些模块中记作Yσ。屈服应力是试样

产生塑性变形所需的应力。因为往往很难精确确定开始产生塑性变形时的应力值，故通常取

产生特定量的永久应变时（通常为0.2%）的应力为屈服应力。求“条件屈服应力”的作图

过程如图2所示：从应变轴=eε0.2%处作斜率为E的直线，这就是会引起特定的永久变形的

卸载线。此直线与应力-应变曲线交点处的应力即条件屈服应力。

图3所示为铜的工程应力-应变曲线，已按比例放大，该图显示了变形从零开始直至试样

断裂的全过程。由图可见，在到达标为UTS（即拉伸强度极限，在这些模块中记为fσ）的

点之前，应变硬化率2

逐渐减少。过了此点后，材料出现应变软化，对新加的应变的每一增

量只需较小的应力。

图3退火的多晶体铜完整的工程应力-应变曲线

然而，材料从应变硬化到应变软化这一明显的改变，如同在应力-应变曲线的UTS点看

到的应力极值一样，毕竟是人为的作图过程的产物。材料在屈服点以后，分子的流动使试样

的横截面面积显著减小,因此材料实际承受的应力AAPt/=σ要大于按原始的横截面面积

计算的工程应力(0/APe=σ)。所加载荷应等于真实应力与实际面积的乘积（APtσ=），

只要应变硬化引起的tσ的增大足以弥补横截面面积的减小，则载荷及相应的工程应力将

继续随着应变的增大而上升。但最终，由流动造成的横截面面积的减小要超过由应变硬化导

致的真实应力的增大，于是载荷开始下跌。这是一种几何效应，如果试验时画出的是真实应

力、而不是工程应力的话，应力-应变曲线中将不出现最大值。

A在拉伸强度极限处，载荷P的微分为零，由此可给出在颈缩时真实应力与横截面面积

之间的解析关系式：

最后的式子表明：当横截面面积的缩减率等于真实应力的增加率时，载荷及相应的工

程应力作为应变的函数，都将达到最大值。

在拉伸试验的实验报告中，记录得最多的材料性能可能就是拉伸强度极限。尽管如此，

由于上述几何尺寸的影响，拉伸强度极限并非对材料的直接测量值,应当慎用。当设计涉及

塑性金属时，通常宁愿用屈服应力Yσ，而不用拉伸强度极限。不过，拉伸强度极限对脆性

材料而言还是有效的设计依据，因为脆性材料不会出现因流动而使横截面面积缩减的现象。2应变硬化率是应力-应变曲线的斜率，也称为切线模量。

真实应力值在整个试样上并不是完全相同的，试样上总有一些区域（如表面上的划痕

或某些其他缺陷）的局部应力最大。一旦应力达到工程应力-应变曲线上的最大值时，在该

部位材料的局部流动无法由进一步的应变硬化来弥补，于是该处的横截面面积进一步缩小。

这使局部应力变得更大，从而进一步加速了材料的流动。这种局部的不断增加的材料流动很

快导致在试样标距内的“颈缩”，如图4所示。

图4拉伸试样的颈缩

直到颈缩形成，整个试样的变形基本上是均匀的，但在颈缩后，所有随后的变形都在

颈缩处发生。颈缩处变得越来越小，局部真实应力不断地增大，直到试样被拉断。这就是大

部分塑性金属的失效模式。当颈部收缩时，颈部变化的几何形状使该处的单轴应力状态变成

复杂的应力状态——除正应力外，还有切应力分量。试样最终常以锥杯状的断口断裂，如

图5所示。由图可见，材料的外层是剪切破坏，而内部是拉伸破坏。当试样断裂时，断裂点

的工程应变（记作fε）将把颈缩区和非颈缩区的变形包括在一起。由于材料在颈缩区的真

实应变大于非颈缩区，fε值将取决于颈缩区的长度与试样标距的比值。所以，fε不仅是材

料性能的函数，而且是试样几何形状的函数，因而它只是对材料塑性的粗略测量值。

图5塑性金属的锥杯状断裂

图6所示为半晶质的热塑性塑料的工程应力-应变曲线，这种材料的响应与图3所示铜

的响应很相似。在图3中，响应显示了比例极限，随后在曲线的应力最大值处发生颈缩现象。

对塑料，通常称此应力的最大值为屈服应力，虽然塑性流动实际上在达到此应变前就已开始

了。

但聚合物和铜的响应也有显著区别：聚合物的颈部不会持续收缩到试样被拉断，而是颈

缩区的材料被拉长，直至达到“固有伸长比3”（固有伸长比是温度和试样加工工艺的函数）。

超过固有伸长比后，颈缩处的材料停止伸长，靠近颈缩处的新材料开始颈缩。于是颈缩区域

不断扩展变长，直至蔓延到试样的整个标距，这一过程称为冷拉。当拉伸由“六原子小基团”

组成的聚乙烯时,不用试验机就可看到这一过程，如图7所示。

3固有伸长比是冷拉区的长度与同一材料原始长度之比。——译者注

并非所有聚合物都能持续这一冷拉过程。颈缩过程使材料的微观结构强化，当其破坏载

荷大于使颈缩区外围未变形材料发生颈缩所需的载荷时，才会出现冷拉现象。下文将对此作

进一步的讨论。

图6聚酰胺（尼龙）热塑性塑料的应力-应变曲线

图7聚乙烯材料的颈缩和冷拉

“真实”的应力-应变曲线

正如上节所述，超过弹性极限后，由于试样的尺寸与其原始值相比已有明显的改变，对

这部分的工程应力-应变曲线必须谨慎地加以诠释。使用真实应力APt/=σ、而不是工程

应力0/APe=σ，可以更直接地度量材料在塑性流动范围内的响应。与真实应力相对应的

常用的应变度量方法，则是取应变的增量为位移的增量除以当前的长度：

dLL

通常称此为“真实”应变或“对数”应变。

在屈服及随后的塑性流动期间，材料流动引起的体积改变可忽略不计，因为长度增加的

影响被横截面面积的减小抵消了。在颈缩前，应变沿整个试样长度仍旧是相同的，体积不变

的约束条件可写成：

比值称为伸长比，记作0/LLλ。应用这些关系式，容易导出拉应力和拉应变的真实值与工

程测量值之间的关系（见习题2）：

在应变达到开始颈缩的值之前，应用这些方程，可从工程应力-应变曲线导出真实的应力-

应变曲线。图8重画了图3，并增添了按上述方程算得的真实的应力-应变曲线，以供对照。

图8铜的工程应力-应变曲线与真实的应力-应变曲线的比较。箭头

指出了工程曲线上的UTS（拉伸强度极限）在“真实”曲线上的位置。

发生颈缩后，应变在试样的标距内是不均匀的，这时再对更大的工程应变值计算真实的

应力-应变曲线就没有多大意义了。但若在整个拉伸试验过程中，都对颈缩处的横截面面积进行监控，则可画出完整的真实应力-应变曲线。因为由对数应变可得

图9用幂律表示铜的塑性应力-应变关系

对塑性材料，其真实的应力-应变关系常可用简单的幂律关系来描述，如下式所示：

根据图8所示的关系，用双对数坐标画出铜的真实应力-应变数据4，如图9所示。图中，参数

=0.474称为应变硬化参数,通常作为材料抗颈缩能力的度量。塑性材料在室温下的n值大

致为0.02到0.5。

n“康西特莱（Considere）作图法”利用真实应力-应变曲线的形状来量化不同材料在颈

缩和冷拉过程中的差别。该法以真实应力tσ为纵坐标、伸长比0/LL=λ为横坐标，重新画

出拉伸时的应力-应变曲线。在此λσ?t曲线上找到真实应力为任意值tσ的点，过此点和坐

标原点（原点处0=λ，不是1=λ）作割线，由式（6）可知，与tσ相对应的工程应力e

σ即此割线的斜率。

图10康西特莱作图法：（a）真实的应力-应变曲线没有过原点的切线——无颈缩或冷拉过程；（b）有一条过原点的切线——有颈缩而

无冷拉过程；（c）有两条过原点的切线——有颈缩和冷拉过程。

在真实的应力-应变曲线假设的许多可能形状中，考虑图10所示的向上凹、向下凹和S

形这三种情况。其区别在于过原点的割线与曲线的切点数，由此产生下述的屈服特性：

（a）无切点：曲线始终向上凹，如图10（a）所示，因此割线的斜率不断地增大，工程应力

也随之上升，不出现屈服引起的下降阶段。最终材料断裂，因此真实的应力-应变曲线

具有这种形状时，表明材料在屈服前就已断裂。

（b）只有一个切点：曲线向下凹，如图10（b）所示。割线在Yλλ=处与曲线相切，因此

割线的斜率（即工程应力）在切点处开始下降。切点对应的工程应力就是屈服应力Yσ，

它在常规的应力-应变曲线中被看作应力的最大值；Yλ就是屈服时的伸长比。屈服过程

在试样标距内的某个随机位置处开始，并在该位置处持续，不会在其他位置处又出现屈

服现象，因为在第一个位置处，割线的斜率已经下降了。试样现在就在这唯一的位置处

流动，抵抗变形的能力不断减弱，最终导致破坏。诸如铝之类的塑性材料就是以此方式

失效的，且可看到在屈服位置的横截面面积明显缩小和最终的断裂。

（c）有两个切点：对于图10（c）所示的S形应力-应变曲线，工程应力在伸长比为Yλ时开

4此处tε用的百分数应变（如应变为0.05，则百分数为5——译者注），与用实际应变值的情况相比，n值相

同，但A值不同。

始下降，但随后在dλ时又重新上升。与上述一个切点的情况类似，当Yλλ=时，某一

处的材料开始屈服并产生颈缩，颈缩反过来使试样标距内的应变分布不均匀。当颈缩处

的材料延伸至dλ时，要继续延伸，必须增大该处的工程应力。但此应力要大于把颈缩

区边缘的材料从Yλ拉伸至dλ时所需的应力，因此已在颈缩区的材料停止延伸，颈缩从

初始的屈服处向外扩展。扩展时，仅邻近颈缩区的材料延伸，颈缩区内部的材料保持不

变的dλ值（即材料的固有伸长比），颈缩区外部的材料保持不变的Yλ值。当所有材料

都被拉伸为颈缩区后，试样内的应力开始均匀地增大，直至最终发生断裂。

在半结晶聚合物内，冷拉过程之所以能持续进行，是因为材料微观结构的显著变化使应

变硬化率不断增加。最初，这些材料的球晶中，平的薄晶片（厚度多半为10纳米（nm）左

右）在球形范围内呈向外放射状排列。当产生的应变增加时，球晶首先沿应变方向变形。当

应变进一步增大时，球晶破裂，薄晶片的断片重新排列，分子优先沿拉伸轴的方向取向，形

成纤维状的微观结构。强劲的共价键优先沿承受载荷的方向排成直线，材料的强度和刚度明

显高于（可能会提高一个量级）原来的材料。对于这种微观结构，增加应变需要高得多的应

变硬化率，这使真实的应力-应变曲线出现上升趋势并形成第二个切点。

应变能

单位体积的材料变形到某应变值时，所消耗的总机械能就是工程应力-应变曲线下从零

到该应变值范围内的面积。容易证明其值如下式所示：

在分子未发生滑移和其它能量耗散时，此机械能作为应变能可逆地储存在材料内。当应

力足够低、材料的变形仍在弹性范围内时，单位体积的应变能（以下简称应变能密度）就是

图11所示的三角形面积：

图11应变能密度等于应力-应变曲线下的面积

注意：应变能密度的增加与应力或应变成二次方的关系，即随着应变的增加，由给定的

应变增量储存的应变能密度的增量是应变的二次方倍。由此可得出很重要的结论，比如一把

好弓不应只是一块弯木而已。真正的弓最初应是直的，装上弦后才变弯，这就在弓内储存了

大量应变能。当向后拉箭时，弓进一步弯曲，这与仅把弓加工成弯曲形状、无需真正弯弓射

箭的情况相比，射箭时的能量要大得多。

图12的示意图表明，若在两个不同的原有应变值上，再加上两个相同的应变增量ε?，则将产生不同的应变能密度的增量。

应力-应变曲线下从零到屈服点的面积称为回弹模量；从零到断裂点的总面积称为韧性

2

3

模量，如图13所示。用术语“模量”是因为单位体积应变能的单位为N-m/m或N/m，与应力或弹性模量的单位相同。术语“回弹”隐含下列概念：直到屈服点以前，应力对材料的影响可以消除，卸载后材料将恢复原形。但是一旦应变超过屈服点的应变值，则材料的变形是不可逆的，即使卸载后仍会保留一些残余变形。因而回弹模量反映了材料在不损伤的条件下吸收能量的多少。与此类似，韧性模量是使材料完全断裂所需要的能量。抗冲击能力强

的材料通常韧性模量值大。

图12与应变增量对应的应变能密度的增量

不同材料吸收能量的性能

表1

图13回弹模量和韧性模量

表15列出了一些常见材料的能量吸收值。由表可见，对天然材料和聚合物材料，单位重量所吸收的能量值可以非常高。

5J.E.Gordon,结构，为何建筑物不再倒塌（Structures,orWhyThingsDon’tFallDown）,Plenum,NewYork,1978.

在加载时，应力-应变曲线下的面积是材料单位体积吸收的应变能。反过来，卸载曲线

下的面积则是材料单位体积释放的应变能。在弹性范围内，这两块面积相等，材料不吸收任

何能量。但是，如果材料加载后进入如图14所示的塑性区域，则材料吸收的能量将超过释

放的能量，两者之差将以热能的形式耗散。

图14能量损失等于应力-应变回线包围的面积

压缩

尽管前面的讨论主要只涉及简单拉伸，即只涉及使原子间间距增大的单轴方向加载。但

只要载荷足够小（应力小于比例极限），对许多材料而言，当试样受压而非受拉时，上述的各个关系式同样能很好地适用。例如，变形和给定载荷间的关系式AEPL=δ完全可像拉

伸时一样地应用，不过δ和P要取负值、以表示受压。而且，拉伸和压缩时的弹性模量E可

以足够精确地取同一个值，应力-应变曲线也只需简单地将直线延伸到第三象限即可，如图

15所示。

图15拉伸和压缩时的应力-应变曲线

压缩时的应力-应变试验有一些实际困难。如果在拉伸试验中，误加了一个极大的载荷

（可能是对试验机的设置错误），就算试样被拉断了，也必定可用新试样重做实验。但在压

缩时，失误很易损坏载荷传感器和其他敏感的零部件，因为即使试样破坏后，载荷也未必卸

除。

若试样所受的载荷周期性地在拉、压之间变化，而且载荷大到足以产生塑性流动的程

度（应力大于屈服应力），则应力-应变曲线中将出现滞后环。图16中环包围的面积就是在

每个加载周期中，单位体积的材料以热能形式释放出来的应变能。众所周知，将一根铁丝前

后弯曲，铁丝的塑性弯曲区就会变得相当热。试样升高的温度与产生内热的多少、材料内部

的热传导率和试样表面的热对流速率有关。

图16滞后环