第二节正项级数及其审敛法_第1页
第二节正项级数及其审敛法_第2页
第二节正项级数及其审敛法_第3页
第二节正项级数及其审敛法_第4页
第二节正项级数及其审敛法_第5页
已阅读5页，还剩16页未读， 继续免费阅读

下载本文档

版权说明：本文档由用户提供并上传，收益归属内容提供方，若内容存在侵权，请进行举报或认领

文档简介

根据这一准则，则称该级数为正项级数.这时，

由于即正项级数的部分和数列是一个单调增的数列.我们知道，单调有界数列必有极限.

我们可得到判定正项级数收敛性的一个定理.因此有≥≥第二节正项级数及其审敛法第十二章无穷级数

定理

1

正项级数收敛的充要条件是它的部分和数列有界.即其部分和数列有界，因此正项级数例

1

试判定正项级数解

由于该级数为正项级数，且部分和定理2(比较审敛法)

设有两个正项级数那么:≤证结论(1)的证明

:为了利用定理1，≤

就有常数M

存在，

证明结论(2)的方法读者不难自行完成，这里从略.≤于是Sn≤M例

2

讨论级数此级数称为

p

级数.解

当p=1时，

此时

p

级数故发散.当p<1时，而调和级数发散，这时

p级数发散.

其中

p

为正常数.≥所以由比较审敛法的结论(2)可知，yOx123nn+1图12-1

即图中带阴影线的面积和.当

p>1时，观察其前

n

项和对于每一个确定的p

值，

于是由定理1可知，这时p级数收敛.根据定积分的几何意义，显然所以部分和数列有界.综上所述可知:p级数当p≤1时发散;

p>1时收敛

.例

3证利用比较审敛法.注意到

根据级数性质2知道，例

4

试判定解所给正项级数收敛.它是收敛的，所以由比较审敛法可知，仔细分析例3与例4，我们就会发现，或无理式时，该正项级数收敛，否则发散.而其分子分母都是n

的多项式(常数是零次多项式)只要分母的最高次数高出分子最高次数一次以上(不包括一次)，例

5

试判定以下正项级数的收敛性:分子是n的一次多项式，

解

(1)因为通项的分母中，n

的最高次数为二次，

分母仅比分子高一次，故该级数发散.其中分母n

的最高次数为次，分子是零次，分母比分子高次，

定理

3(达朗贝尔(dAlembert)比值审敛法)

设有正项级数如果极限存在，那么(1)

当

<1时级数收敛;(2)

当

>1时级数发散;(3)

当

=1时级数可能收敛，也可能发散.证明从略，只作以下的说明:(1)当<1时，则当

n充分大后有而大于0且小于1的等比级数，(2)当>1时，有而

>1，所以级数的后一项大于前一项.则当

n充分大后，也可能发散.例

6

试证明正项级数证利用比值审敛法，因为所以级数收敛.例

7

讨论级数解因为当x<e，即<1时，级数收敛;当x>e，即>1时，级数发散.当x=e时，但是，由于数列

人人文库> 全部分类> 教育资料 > 课件下载

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明，都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等，如果需要附件，请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸，网页内容里面会有图纸预览，若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间，仅对用户上传内容的表现方式做保护处理，对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑，并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容，请与我们联系，我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

最新文档

评论

0/150

提交评论