现代控制理论课件5-wzj第二章状态空间表达式的求解

第二章线性控制系统

状态空间表达式的求解线性定常系统齐次状态方程的解

一、齐次状态方程:系统输入量为0时的状态方程，如下式所示：表示初始时刻t0=0,初始状态为x0先复习标量微分方程的解。设标量微分方程为

拉氏变换

拉氏反变换

标量微分方程可以认为是矩阵微分方程当n=1时的特征，可仿照微分方程求解的形式求状态方程的解。n阶线性定常齐次状态方程的解为：

n阶线性定常齐次状态方程的解为

齐次状态方程解的物理意义是将系统从初始时刻的初始状态转移到时刻的状态。故又称为定常系统的状态转移矩阵。

由于系统无输入量，系统的运动x(t)是由系统的初始状态x(t0)来激励的，因此运动可称为自由运动，而运行的轨线是由决定的，包含了系统自由运动形态的全部信息，完全表征了系统自由运动的动态特征。

例：求齐次状态方程的解。解：由定义可得：二、状态转移矩阵的基本性质例：已知某系统的转移矩阵，求A。解：由性质1及性质4，可得：三、状态转移矩阵的求解1、定义法:2、应用拉普拉斯变换法计算：例：线性定常系统齐次状态方程为的状态转移矩阵Ф(t)和状态转移矩阵的逆Ф-1(t）。

[解]：对于该系统

其状态转移矩阵由下式确定

由于

其逆矩阵为

因此

由于Ф-1（t）=Ф(-t)，故可求得状态转移矩阵的逆为3、应用凯莱-哈密顿定理计算：哈密顿定理：nxn矩阵A满足自身的特征方程，即A阵的特征多项式是A的零化多项式。显然对A的n个特征值，有

根据Cayley-Hamilton定理有

:这里可以看出矩阵A与具有同等地位。

移项

上式表明，的线性组合。

显然有：因此：那我们就需要计算系数，就可确定转移矩阵1)特征值互异时，应用凯莱-哈密顿定理，和A均是特征多项式的零根，因此满足下式：当i=1,2…n时，则有下式：例：线性定常系统齐次状态方程为的状态转移矩阵Ф(t)

。

解：计算特征值：2)A的特征值均相同时，设A的特征值为，则ai(t)的计算公式如下：3)当A的n个特征值有重特征值又有互异特征值时，ai(t)由上两式确定。例：求下式的转移矩阵。解：求特征值：4、应用线性变换计算：1)A阵经线性变换后为对角形矩阵(n个独立的特征向量)。2)当A阵的n个特征值均相同时，且为时，经过线性变换，可化为约当矩阵J。3)A阵经线性变换为模态形矩阵M线性定常系统非齐次状态方程的解

一、非齐次状态方程:设n阶非齐次方程：将状态方程左乘，有

移项

将上式由O积分到t，得故可求出其解为从非齐次状态方程解的表达式可以看出其解是由齐次方程的解与控制u（t）的作用两部分结合而成。

[例]求下列系统的时间响应：式中，u(t)为t=0时作用于系统的单位阶跃函数，即u(t)=1(t)。

[解]对该系统状态转移矩阵已在前例中求得，即

因此，系统对单位阶跃输入的响应为：

如果初始状态为零，即x(0)=0,可将x(t)简化为

如果系统的输出方程为：线性时变系统的运动分析一、齐次状态方程的解:二、基本性质:三、状态转移矩阵的计算:例：线性时变系统齐次状态方程为：四、线性时变非齐次状态方程的解:四、线性时变非齐次状态方程的解:例：将下列状态方程离散化

解：在采样周期很小时，离散化系统方程可以近似为：二、线性定常离散系统状态方程的解:离散时间状态方程求解一般有两种方法：递推法（迭代法）和Z变换法。前者对定常、时变系统都适用，而后者只适用于定常系统。1)递推法对于线性定常离散系统状态方程：