点线面的位置关系梳理

点、线、面的位置关梳理许苏华空间中最基本的几个元素分别就是点（直线平面曲线空间曲线（平面、空间曲面.这里主要研究点、直线、平面之间的位置关.其中点是没有大小有位置可分割的图形线是向两端无限延伸的没有宽度的；平面是向四周无限延伸的，而且是没有厚度的一般我们不考虑点与点线与直线面与平面重合这种特殊情况点、直线、平面之间的所有位置关系如下表所示：点

点相离

直线在直线上或在直线外

平面在平面内或在平面外直线——

相交（垂直平行或异面（垂直）

相交（垂直平行或在平面内平面————

相交（垂直平行此表中的直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的平行和垂直是我们重点要研究的特殊位置关系.根据公共点的个数，可以给这些位置关系下定义相交直线，在同一个平面内，有且仅有一个公共点；平行直线，在同一平面内，它们没有公共点；异面直线，不同在任何一个平面内，它们也没有公共.直线与平面相交，有且仅有一个公共点；直线与平面平行，则没有公共点；直线在平面内，有无数个公共.两个平面平行，没有公共点；两个平面相交，有一条公共直线，即有无数个公共点.如果两条直线平行或相交两条直线也叫共面直线若两条直线平行们规定它们的夹角0o

；若两条直线异面平移其中条或两条直线都平移，使

它们相交，平移后的两条直线的所成的角称之为异面直线所成的.间中两条直线所形成夹角的取值范围[

o

,90

o

].如果直线与平面平行，或者直线在平面内，我们规定直线与平面所成的角是o直线与平面垂相交的一种特殊情况与平面所成的角o；如果直线与平面相交但是不与该平面垂直这条直线叫做这个平面的斜线斜线与平面的交点叫做斜足过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线该垂线与平面的交点叫做垂足过垂足与斜足的直线叫做斜线在平面上的射影斜线与射影所成的角做斜线与平面所成的角.因此直线与平面所成角的范围也[

o

,90

o

]两个平面之间也能形成角，那怎么度量呢？这里要引入二面角的概念从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，该图形叫做二面.条直线叫做二面角的棱这两个半平面叫做二面角的面.若棱为AB面分别、、分别有一点P、Q此二面角记作二面AB面角PAB.果棱记l此二面角也可记作二面面角P如果在二面角的棱上任取一O以为垂足，分别在半平作垂直于l射线ODCOD叫做二面角的平面角.二面角的平面角是多少度说这个二面角是多少度，可见二面角的取值范围是

o

,180

o

].当两个半平面重合时，对应着二面角

o

；当两个半平面互相垂直，对应着二面角

，该二面角叫做直二面角；当两个半平面拼成一个平面时，对应着二面角为范围与两个向量之间夹角范围是一样的.

o

.二面角的取值数学中的公理、原理，通常是一件基本事实，是一个显而易见的简单结论，或是一个不需要证明的主观真理.而数学中定理、推论、公式，都是需要通过演绎等逻辑推理方法严格证明的此，在我们学习过程中，遇到公理、原理，我们要举例子、弄明白、想透彻、理解领悟即可；如果是定理、公式，那我们一定

要尝试证明、或者学习别人的证明方法，最终自己要证明出来，让定理、公式真正属于你自己的定理、公式，最后你才有资格，才能心安理得、光明正大地灵活使用它们.（一）与平面有关的几个公理和推论：公理1过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面公理2如果一条直线上的两个点在一个平面内么这条直线在这个平面内简言之，公理1就是“共线的三点确定一个平面”.公理2用来判断直线是否在平面内.由公理和公理2，再结合两点确定一条直线”，可以推出下列三个常用的推论：推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面公理3如果两个不重合的平面有一个公共点么它们有且只有一条过该点的公共直线.（二）与平行有关的公理与定理：1．直线与直线平行公理4平行与同一个条直线的两条直线平行简言之，空间中直线平行具有传递性由平行四边形的判定定理以及全等三角形的判定定理再由全等三角形的性质可以证明下面这个定理：定理如果空间中两个角的两条边分别对应平行那么这两个角相等或互补2.直线与平面平行利用推论3和公理4，直线与平面平行的定义，可证明线与平平行的判定定理：

定理如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.主要利用直线与平面平行的定义，即没有公共点，可以证直线与面平行的性质理定理一条直线与一个平面平行果过该直线的平面与此平面相交么该直线与交线平行.简言之线面平行的判定定理：“若线线平行则线面平行”线面平行的性质定理：“若线面平行，则线线平行”.3.平面与平面平行可由推论2，平面与平面相交的定义，以及反证法，可证明面与面平行的判定理定理如果平面内的两条相交直线与另一个平面平行那么这两个平面平行依然主要利用有无公共点，可以证明平面与平面平行的质定理：定理两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行.简言之面面平行的判定定理：“若线面平行则面面平行”面面平行的性质定理：“若面面平行，则线线平行”.（三）与垂直有关的定义与定理：1．直线与直线垂直如果两条异面直线所成的角是直角那么我们就说这两条异面直线互相垂直除了异面垂直，当然还有初中就已经学习过的相交垂.因此两条直线垂直，它们有可能是相交的，也可能是异面的.2.直线与平面垂直定义如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，那么该直线与此平面互相垂直.

过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条.无法验证一条直线与一个平面内的所有直线都垂直因此根据定义判断直线与平面垂直的方法行不通.利用推论2，可证明直线与平面垂的判定定理：定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.利用反证法，以及过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条”，可以证明直线与面垂直的性定理定理垂直于同一个平面的两条直线平行.简言之，线面垂直的判定定理：“若线线直，则线面垂直”；线面垂直的性质定理：“若线面垂直，则线线平行”.3.平面与平面垂直定义一般地两个平面相交如果它们所成的二面角是直二面角就说这两个平面互相垂直.由上述两个平面互相垂直的定义，可证明面与平垂直的定定理：定理如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直主要由线面垂直的判定定理，可以证明面与平垂直的质定定理两个平面垂直如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.简言之，面面垂直的判定定理：“若线面直，则面面垂直”；面面垂直的性质定理：“若面面垂直，则线面垂