第三讲三角函数与解斜三角题型分类解析

20,200,220,200,2三角函题型分类详三角函数是每年高考的必考点要轻松拿下这模块的满分,其实有技巧可寻大致分为以下几个类型题.一:对于

y2xcos或ycosxcos

都以用元化为元次数型处,需注新量取范围例求数

f(x)2cox2six

x]6

的值域解令

,

1t2

y

2

1)t2t22当

t

1函数有最大值t2

时函数有最小值

二利用二倍角公式降幂扩角公式,辅助角公式。进行三角函数化简化成yAsin(或A

的式再值周、值oix二角式

sin2cosx

xin降扩公:

2

2例2:已知函数

f()2sincos2cos2xx)（Ⅰ）求函数

f(

的最小正周期及在区间

上的最大值和最小值；（Ⅱ）若

f()0

6,x52

，求

x

的值。（）：由

f()cosx2

，得f(x)xcos)x3sin22sin(2x)6所以函数

f(

的最小正周期为,

x[0,

2

x

7,]6sin(2x

),1]6

,所以函数

f(x

在区间

上的最大值为2，最小值为-11

0,4000000,400000（Ⅱ解1可知

f()2sinx00

6

又因为

fx)

65

所

32x6由

0

，得

2x6

从而

2

6

4x65这类题要有整体代换的意,

0

)看整体角2]663cosxcossin26三利

xcosxsinxcosx“cos一二关.例6.求数

yxxsinxx

的最大值和最小值。解：设

txcosx

2sin(

4

)

，

t

2

cosx

sin则

2，xx

12

2

。由于

121(22

，故当t=1时

y

；t2时y

min

2

12

。［点评］

sin

cos

这三者之间有着相互制约，不可分割的密切联系。

sin

cos

是纽带，三者之间知其一，可求其二。令

tsinxcosx

换元后注意到的值范围，依题意可灵活使用配方法、重要不等式、函数的单调性等方法来求函数的最值应注意的是求三角数的最值方法有多种像配方法、不等式法等里不再赘述，有兴趣的同学不妨自己探讨一下。四利正余定解三形.例的内角A，，的边分别为sinBC(1)求

a,c

已的积为

3sin(2)若

cos

，求的周长.解选合理面积公.联想所求为

sinBsin

可与

b

有关，大胆用

S

bcA2

则

A化abc2A3sinA2

，想到边化为角。由正弦定理得

2

3Asinsin2

2

，因，所以sinBC

23(2)由1)得

2sinBsinBCB3

，所以

B)sinBsinC

又∈(0，)，所以

3由余弦定理得

由正弦定理得

a3bBBsinB：sinA2所以

bBsin

23

由①②得：

b

33

，即ABC周为

【类题通法】利用正弦定理、余弦定理解三角形的步骤第一步：找条件：寻找已知的边和角，确定转化方.第二步：定工具：根据转化方向，选择使用的定理和公式，利用正弦定理或者余弦把边化为角或把角化为边实边角之的转.第三步：求结果：根据前两步分析，代入求值得出结.第四步：再反思：转化过程中要注意转化的方向，审视结果的合理.五解三形面和长值求在正余弦定理的运用中有类目值得关注类题有一个相同的特点即道三角形的一条边和边所对的角，求三角形面积（或周长）的最值（或范围题中还是有技巧可套用。求三角形面积（或周长）的最值（或范围可有两种思路去解决：（1用弦理基本等（）正定+角数取范3

例5ABC的边

a,,c

成等比数列,,c

所对的角依次为

AB,C

B的取值范围是解：由题设知2，又余弦定理

a2222ac122ac2ac2所以

0

3

，又

Bs

Bin444

122si4

sinB

值范围是

2]

。点：本题将数列、基本不等式、三角函数、解三角形等知识结合起来，有利于提高学生解题的综合能力。例6在△中角

AB,C

的对边分别为

a,,c

且

a

成等差数列。（1求

B

的大小。（2若

b

，求△ABC周长的取值范围。解）由题意知

cosAbB

，由正弦定理得

sinAC2sincosB所以

A)Bcos于是cosB

1,23（）正弦定理

abc10BC

，所以a

101010210Csin(Asin10sin(A)3333，由

0

25,所A,sin()36626a10sin()6

。点对三角函数式的处理常常借于同角三角函数间关系导公式以及恒等变换式等实施变形，达到化简、求值域的目的。例7：在△ABC中

a

22

23

ab

3，若△的外接圆半径为，eq\o\ac(△,则)ABC面积2的最大值为解：又

a222

23

ab

及余弦定理得

C

a212

，所以

223

，又由于

RsinC

，所以

c222ab

即

16

23

aba24

2ππ2ππ所以

12

，又由于

12absinab22

，故当且仅当

a

时ABC42的面积取最大值点先利用余弦定理求

A

的大小，再利用面积公式结合基本不等式，求面积的最大值，要注意正弦定理与余弦定理的综合应用。【试手π．已知，b，c别是内角A，B，所的边，且＝2＝.(1)若△的面积等于3，求，b；(2)若＋sin(－)＝2，的值．△内角，，的边分别为，b，c，已知c－acos.(1)求角的大小；(2)若＝23求＋最大值．【小试身手解析】解：(1)∵c＝2cosA，根据正弦定理，得2sin－sin＝2sinBcos，∵＋＝π－，可得sin＝＋＝sinBcos＋cosBsin，∴代入上式，得2sincosA＝2sinB＋2cossinA－sinA，化简得2cos－1)sinA＝0由是角形的内角可得sinA＞，2cos－＝，1π解得cosB，∵∈(0π)B＝；23(2)

2ac22acBa2.(a)ac12ac≤

2×(c23ac(c)2(c)12

(c2(a2