第三章第1讲任意角和弧度制及任意角的三角函数

知点任角的概念与度制、任意的三角函数同三角函数的本关系式与导公式

三函数考下载了解任角的念．2．解弧度的概念，能进弧度与角度的化．3．解任意的正弦、余弦正切的定义．sinx理解同三角数的基本关系＋cos＝，＝cosxπ2．利用单圆中的三角函线推导出±π±α的正弦、余2弦正切的诱导公．能画出＝，＝cosx＝tanx的象2．解正弦数、余弦函数区[0，2]上性质(如调性、最三函数的图象性质

大和最小值以及x的交点)理正切数在区间

(

,)2函＝sin(φ)的图及三角函数型的简单应两和与差的正、余弦及正公式简的三角恒等换正定理和余弦理解角形应用举

内单调性．了解函＝Aωx＋的理意；能画出函数yA＋)的象，了解参数，ω，对函数图象变的影响．2．解三角数是描述周期化现象的重要数模型，会用角函数决一些简单的际问.会用向知识三角函数线推出两角差的余公式．2．利用两差的余弦公式导出两角差的弦、正切公式3能用两差的余弦公式导出两角和的弦弦切式，了它们的内在联.能利用角和正弦、余弦和切公式导出二角的正弦、余、正公式，了解它的内在联系．2能运用上公式进行简单恒等变包括导出化和差积半角公式，但这三组公式不求记)．掌正弦定理、余定理，并能解一些简单的三形度量问题．能运用正弦定理余弦定理等知和方法解决一与测量和几何计有关的实际问.第讲任意角和弧度制任意角的三角数1．角有关念从运动的角度，角可分为正、负角和零角从终边位置来，角可分为象角与轴线角．若与是边相同角，则β用表为＝2k

＋，k∈Z．2．弧制定义：把长度于半径长的弧对的圆心角叫1弧度的角正角的弧度数正数，负角的度

2x3数负数，零角的度数是零．2x3角度制和弧度的互化°rad，1°

180

rad，1＝

180(

)

．1扇形的弧长公：lαr，形的面积公式＝lr＝

12

r

3．任角的角函数三函数

正

余

正设α是个任意角它的终边与单圆交于点P(x，y，么定三函数线

y做的弦sin叫α的弦αα

y叫正切α有线段为正弦

有线段OM余弦线

有线段AT正切线[做做]1．设

终上一点P(－，，sin

的为_．3答：52．若4

＜

＜

2且α与

终相同，则＝________．16答：3

1．辨四个误点易混概念：第象限角、锐角小于°的角概念不同的三角．第一类是限角，第二、三类是间角．利用°＝行互化时，易现度量单位的用．y三角函数的定中，当P(x，是位圆上的点时sin＝，cos，，若不是单圆x时如圆的半径为r，

yx＝，，＝rr已知三角函数的符号确定角终边位置不要漏终边在坐标上的情况．2．会两个法三角函数值在象限的符号规概括为：一全、二正弦、三切、四余弦．在解简单的三不等式时，利单位圆及三角数线是一个小巧．[做做]3．已角α的弦线是位长度的有向段，那么角α的边()Ax上B．y轴．线yx上D．线y－x上解：选A.|cos＝，则角α的边在轴．4．已θ·θ＜，么角是()A第或第二象限角B第二或第三象角C第三或第四限角D．一或四象限角答：C考一象角及终边相同_

732kk333732kk333写终边直线y上角的集合；若角的终与

67

θ角终边相同，求[0，2内终与角终边同的角；3已知角α为三象限角试确定α的边所在象限．[解]∵(0，内终边直线＝3x的角是

，∴边在直线＝上角的合为

{

3

k}6ππ2kπ∵＝＋2k∈Z)，＝＋(k∈)．2π2kπ3依意0≤＋<2π－≤<，∈Z.7θ2π20ππ∴k，1，，在[，内边与相的为，，.321213π由α是三象限角，得2k<α<＋2k∈Z)，∴π＋α<3k∈Z．∴α的边在第、二象限及y的非半轴．[规方法1.α360α2kk∈N

*ααkαkkααk在－°～°范围内出所与45°终边同的角________．α在本例(3)的条下，判断为几象限角？2解析所有与°相同终边的角表示为β＝45＋×360(∈)，则720°°k×°<0°765得°<×°－°，解得<<－，360从＝－2或k－，入得＝－675°＝°.答案：－675°315°3π解：2kα<＋2k∈Z，2παπ∴＋k<＋kkZ)．24πα3π当knn∈Z时，＋2<＋nπ223ππ当kn＋n∈Z时＋n<<＋2n∴为第二或第四限角．24考二扇形的弧长、积公式已扇形的圆心角α，半径为R，长为l若α＝60°，R＝10cm，扇形的弧长l若扇形的周长20，扇形的圆心角α为少弧度时这个扇形的面最大？ππ10[解](1)＝60＝，＝10×＝．

2r＝25112r＝25由已知得，l＋2R＝20，所＝lR＝－2＝10－＝－－＋25，22所当R＝时取最大，时l，＝2rad.[规方法1lαrSlrr(l)[提]已知扇周长10面积是4，求扇形的圆角．＋θ＝10，解设圆心角是θ半径是r.则(去)或故扇形心角rad.考三三角函数定义高考点)任角的三角函数(正弦余弦正切)的定属于理解内容在高中以选择题填空题的形式出现高对三角函数定的考查主要有下三种命题角：已知角α终上一点P的坐标三角函数值；已知角α的边所在的线方程求三角数值；判断三角函数的符号．高课标国卷若>0则)Asin

Bcos

．2

．cos

已知角θ的点与原点重合始边与轴的非半轴重合，终在直线＝2x上，则2＝)434A－B．－5554如图所示，在面直角坐标系xOy，角α的边与位圆交于点A，A纵坐标为，则cos

＝．[解](1)∵tan

α＞0，∴

∈

(k

2

)

(k∈)是一、三象限角∴sin，可正可负，排除AB.∈(22kπ∈)，结正、余弦函数象可知C正确．π取＝，＝，而＝，故D不确．4(2)取终边一点(，2)，≠，据任意角的三函数定义，由

θ＝2，可cos

5θ＝±，故cos＝2cos5

3θ－1＝－543因为A点坐标y＝，且点第二象限，因为圆为位圆，以点坐标＝－，由三A5A53函的定义可得cos＝－53[答](3)5[规方法1)Pr设角终边上一(－4，3a)(<0)，的为．

423＋423＋已知角α的边经过点(－3)

3＝m(m0)断是几象限角求tanα的值．解析设点P原点间的距离r∵P－a，)，a，∴r＝（）＋（3）＝|5＝－a∴sin3答：－5解：题意，点到点O的离为

3a3＝＝－.r5r（－3）＋＝3＋，sin＝，3＋又

3m3＝，≠，＝，4721∴＝，∴＝.∴点在第二或第象限．3故

是二象限角或第象限角．当α是二象限角时，＝

213

，tan

213＝＝，是三象限角＝－，－3

21－37＝＝－交创新—三角数定义的创(2014·高考标全Ⅰ)如，圆的径，是上的定点P圆上动点，角x的边射线OA，边为射线OP，过P直线的线，垂足为M将M直线的离表示成的数fx，则＝fx)在0，]图象大致为()|[解]如所示x∈0，时P(cos)M(cos0)⊥OPM′垂足2f（x＝x∴＝sinx，cosx

′OM1π∴fx)＝sincos＝x则当x时fx)＝当x22

(2

时有

f（x13π＝(π－)，(x)＝cos＝－sinx当x＝时f)＝.只有选的图象符合．|cosxmax2

2222[答]B[名点评PMxf(x)“”“”“”高考江卷)如，已知l⊥l，心在l上半径为1m的在