存在型问题-直角三角形问题

中考数学压轴题解题策略解直角三角形的存在性问题，一般分三步走一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根．一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定列方程．有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便．解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起．如果直角边与坐标轴不平行么过三个顶点作与坐标轴平行的直线以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便．在平面直角坐标系中，两点间的距离公式常常用到．怎样画直角三角形的示意图呢？如果已知直角边么直角边的两个端点画垂线三个顶点在垂线上如已知斜那么以斜边为直径画圆直角顶点在圆上（不含直径的两个端点例

如图，在△中AB＝＝，∠B

45

．D、为线段上两个动点，且DE（E在D右动始时D和B重当E和重时动停止．过E作EF//交于F连结DF设＝x，如△BDF为角三角形，求的．图【解析】△中∠是确定的锐角，那么按照直角顶点分类，直角三角形BDF存在两种情况把夹∠的条边用含有的式子表示出来种况列方程就可以了．如图1-2，作AH⊥BC，垂足为H，么H是BC的点．4在eq\o\ac(△,Rt)ABH中AB，cosB＝，以BH＝8所以＝165由EF//AC得

BFBEBFx5，．以BF＝(．BC图

图

图①如图，当＝90时，由

BD4，BDBF．BF5

2222222222解方程

4，x＝．5②如图，当＝90时，由

BF4，BFBD．BD55解方程x8

15，85

．我们看到，在画示意图时，无须受到ABC的限制需要取其确定的．例

如图，已知在平面直角坐标系中，点A的标为-是A关原点的对点P是数标．

2

(x图上的一点，且△是直角三角形，求点P的图【解析、两点是确定的，以线段为类标准，分三种情况．如果线段AB为角边，那么过点A画的线，与第一象限内的一支双曲线没有交点；过点B画AB的线，有个点．以为径画圆圆与双曲线有没有交点呢？先假如有交点，再列方程，方程有解那么就有交点．如果是一元二次方程，那么可能是一个交点，也可能两个交点．由题意，得点B的坐标为2，0∠BAP可能成为直角．①图2-2，当∠＝°时，点P的标为（2②方一：如图2-3，当∠APB＝90°时，OPeq\o\ac(△,Rt)斜边上的中线OP＝2．设

(x,)

，由＝4得

x2

4x2

．解得

2

．此时P2,)图方法二：由勾股理，得PA＋PBAB．

图2-3解方程

(2)

2)x

x2)

2)x

4

，得

．方法三如图3-4由AHP△，得＝AH·BH解方程

2()2x)，得xx

．

22图

图这三种解法的方程貌似差异很大，转化为整式方程之后都－＝0这四次方程的解是x＝＝＝＝2几何意义就是以为直径的圆与曲线相切于P、134P图例

如图，已知直线＝－6经点A(1,，与x轴交于点．若点是轴上一点，且为直角三角形，求点的标图【解析】和例题3一样，过A、两分别画的垂线，有点．和例题同，以AB为直径画圆，圆与y轴没有交点，一目了然．而圆与双曲线有没有交点，是徒手画双曲线无法肯定的．将(1,－4)代入y＝kx－6可得＝2所以＝x－6B(3,0)．设的为m．分三种情况讨论直角三角形ABQ：①图3-2，当∠＝°时，∽△，解得mm．所以(0,－或(－．②如图，当＝°时，QHA∽AGB，

BOQH．以．OQm1QH4．以．HAGB14解得

7．此时Q(0,．2②图3-4，当∠＝°时，∽△BMQ，3解得．此时(0,．2

AGBM2m．以．GBMQ4

22．．．．22．．．．图

图

图4-4三种情况的直角三角形，直角边都不与坐标轴平行，我们以直角顶点公共顶点，构造两个相似的直角三角形，这样列比例方程比较简便．已知(1,－、，(0,，那么根据两点间的距离公式可以表示出AB，AQ和，按照斜边为分类标准列方程，就不用画图进行“盲解”了．（难）例

33如图4-1，物线yxx84

与x轴交于、两（点在点B的左侧直l过点，M为直线l上动点，当以、、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的析式．图【解析】有且只有三个直角三角形ABM是什么意思呢？过AB两点分别画的线，与直线l各一个交点，那么第三个直角顶点M在里？以AB直径的⊙G与线l相切于点M啊由

332xx84

，得(－4,、0)，直径AB＝．如图5-2，连结GM，那么GM⊥l．在eq\o\ac(△,Rt)EGMGM，＝5，所以EM＝．因此GEM

34

．设直线l与轴于点C那么OC．所以直线l直线）为3．根据对称性，直线l可以是4

34

．

，所以．，所以．图例

如图5-1，在△ABC，＝，AB＝8

A

．点D是边的一个动点，点E与关于直线CD对，连结CEDE（1求底边AB上高；（2设CE与AB于点F，当△ACF直角三角形时，求AD的；（3连结，当是角三角形时，求AD的长．图【解析题画示意图有技巧的将点D看主动点就是从动线段过来画图，点E在为径的⊙C上，如果把点E看主动点，再画的平分线就产生点D了．（1如图5-2，设AB边上的高为，那么＝BH4．在eq\o\ac(△,Rt)ACH中，AH＝，

A

，所以＝，CH＝．（2①如图5-3，当∠＝90°时F是的中点，＝，＝3．在eq\o\ac(△,Rt)DEF中EF＝－＝2

cos

5ADDE2

．②如图，当＝°时，＝°那的件符合“角边角作DG，足为．DG＝CG，么AD＝m，AG4m．由CA＝，得7m＝．解得

．此时

．图

图

图

（3因为＝，所以只存在∠ADE＝°的情况．