第48炼 多变量表达式范围数形结合

第六章

第48炼多变量表达的范围——数形结合第48炼多

不等式一、基础知识：1、数形结合的适用范围：（）目条件含有多个不等关系，经过分析后可得到关于两个变量的不等式组（）求的表式具备一定的几何意义（截距，斜率，距离等）2、如果满足以上情况，则可以考虑利用数形结合的方式进行解决3、高中知识中的“线性规划”即为数形结合求多变量表达式范围的一种特殊情形，其条件与所求为双变量的一次表达式4、有些利用数形结合解决的题目也可以使用放缩消元的方式进行处理，这要看所给的不等条件（尤其是不等号方向）是否有利于进行放缩。二、典型例题例1函

f

32

d

上是减函数

的取值范围是（）A.

152

B.

152

152

思路：先由减函数的条件得到b,关系，

f

'

2

bx，以x

时，f

'

恒成立过次函数图像可知2

2b4b12

关于

bc的不等式组可想到利用线性规划求得

b

的取值范围，通过作图可得

b

152答案：例2：设

f上的增函数，且对于任意的x都f

恒成立，如果实数

,n

满足不等式组

f

2

，那么

m2

的取值范围是（）A.

B.

思路：首先考虑变形

f

，若想得到

mn

的关系，那么需要利用函数的单调性将函数值的大小转变为括号内式子的大小

f

22222222222

第48炼多变量表达的范围——数形结合

不等式可得：

f

，所以

f

中心对称，即

，所以：f

2

m23

2

2

m

2

n

2

n

利

f

x

得m

2

m232

2

n

4

所mn

满足的条件为

①，所求

m2

可视为点

到原点距离的平方，考虑数形结合。将①作出可行域，为以

C

为圆心，半径为2的的右边部分（内部图可得该右半距离原点的距离范围是

所

2

2

答案：例3已知函数

f

是

R

上的减函数函数

f

的图像关于点实数xy满足不等式

f

1

，则

yx

的取值范围是_____思路从所求出发可联想到

连线的斜率先分析已知条件，由

f

对称性可知

f

为奇函数，再结合单调递减的性质可将所解不等式进行变形：f

2

2

2

2

2y

，即

2

，所以有

。再结合

1x

可作出可行域（如图数形结可知

yx

的范围是

答案：

,14,12,22ab,14,14,12,22ab,14a2

第48炼多变量表达的范围——数形结合

不等式例4：已知是三次函数

f

1x32

2

bxR

的两个极值点，且

，则

ba

的取值范围是（）A.

B.

思路：由极值点可想到程

f'

的根，

f'

，依题意可得：xax

的两根分别在

中，由二次函数图像可：'f

，且所求

ba

可视为

连线的斜率，所以想到线性规划，通过作出可行域，数形结合可知

ba

的范围是

答案：例：已知实系数方程

x2

的三个根可以作为一椭圆，一双曲线，一抛物线的离心率，则

ba

的取值范围是_________思路：以抛物线离心率为突破口可得x是程的根，设

f

3

2

bx

，则f

，从而

而因式分解可知

x

以椭圆与双曲线的离心率满足方程

2

设

则由椭圆与双曲线离心率的范围可知

一根在

以

2

，由不等式组想到利用线性规划求b作图即可得到b答案：a

ba

的范围，即可行域中的点与原点连线斜率的范围。通过

,32,3P第六章,32,3P

第48炼多变量表达的范围——数形结合

不等式例6：已知三个正实数

b,c满足aa

a，则的值范围是b思路：考虑将条件向与

ab

a有关的式子进行变形，从而找到关于的条件：b

b1a2abb

ac现等式组只与相设bb

acx,b

，则不等式组转化为：

2xy即

y2

，所求恰好为

的范围，作出可行域即可得到

的范围为

答案：

例7：是等式组

x0,yxy

表示的平面区域内的任意一点，向量

m

，

xyn

，若

OP

，则

的最大值为（）A．．．D．思路：本题的变量较多，首先要确定核心的变量。题目所求为

的表达式。所以可视其为核心变量要得最值件要关于不等式组。所以考虑利用y与关将原先关于

y

的不等式组替换为关于

的等式组即可解：设

,

OP

,y

xy

，代入到约束条件中可得，出可行域即可解出

的最

2

2223第六章2223

第48炼多变量表达的范围——数形结合

不等式大值为

答案：例8：若实数x

满足条件

x2y

，则

1xx

的取值范围是_________思路：考虑所求式子中

1x2

x可变为，所以原式变为：x2x

2

y2yyxxx

y，可视为关于的次函数，设t，几何含义为x由曲线性质可知该斜率的绝对值小于渐近线的斜率，即t答案：

2

t小炼有话说：本题也可以考虑利用三角换元。x

1

,

，从而原式转化为cos

2

2

2sin

可知的范围为例9，津六校考）已知实数

,,

满足

22,

，则

ba

的取值范围是思路：由

2c，建立直角坐标系，建圆模型：

，则圆上的点为

可想到斜率，即

k

bac

可视为

两点连线的斜率。数形结合可得：过

的直线l与有公共点率的取值范围，l:ykc

，即

O

k

3，解得：k,答案：3例10江已正数

a,满：cb4c,clnc

则

ba

的取值范围是_______思路：可先将所给不等式进行变形：

5a

aacc

，

ccclnlnbcl第六章ccclnlnbcl

第48炼多变量表达的范围——数形结合

不等式clnblncln

baln，而将所给不等式转化关于的系，cc为了视觉效果可设

ax,ycc

yyx，则已知条件为：x

，而所求为yc

即可行域中的点

合可得到斜率的范围是

其中

yx

为A

y与原点连线的斜率，为过原点且与曲线x

y

相切的切线斜率答案：

小炼有话说：本题也可以用放缩的方法求得最值，