-新教材高中数学课时检测36角的概念的推广含解析湘教版必修第一册

PAGEPAGE5课时跟踪检测(三十六)角的概念的推广[A级基础巩固]1．把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是()A．120° B．－120°C．240° D．－240°解析：选D按顺时针方向旋转形成的角是负角，排除A、C；又由题意知旋转的角度是240°，排除B.故选D.2．已知角α在平面直角坐标系中如图所示，其中射线OA与y轴正半轴的夹角为30°，则α的值为()A．－480° B．－240°C．150° D．480°解析：选D由角α按逆时针方向旋转，可知α为正角．又旋转量为480°，∴α＝480°.3．在－720°～0°范围内所有与30°角终边相同的角为()A．－330° B．－690°C．－690°或－330° D．－300°或－330°解析：选C所有与30°角终边相同的角可表示为β＝30°＋k·360°(k∈Z)，则令－720°≤30°＋k·360°≤0°(k∈Z)，得－750°≤k·360°≤－30°(k∈Z)，解得eq\f(－750°,360°)≤k≤eq\f(－30°,360°)(k∈Z)，从而k＝－2或k＝－1，代入得β＝－690°或β＝－330°.故选C.4．(多选)已知角2α的终边在x轴的上方，那么角α可能是()A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角解析：选AC因为角2α的终边在x轴的上方，所以k·360°<2α<k·360°＋180°，k∈Z，则有k·180°<α<k·180°＋90°，k∈Z.故当k＝2n，n∈Z时，n·360°<α<n·360°＋90°，n∈Z，α为第一象限角；当k＝2n＋1，n∈Z时，n·360°＋180°<α<n·360°＋270°，n∈Z，α为第三角限角．故选A、C.5．若角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，则集合{α|k·180°＋45°≤α≤k·180°＋90°，k∈Z}中的角α的终边在图中的位置(阴影部分)是()解析：选C当k＝2n，n∈Z时，n·360°＋45°≤α≤n·360°＋90°；当k＝2n＋1，n∈Z时，n·360°＋225°≤α≤n·360°＋270°，故选C.6．与2020°角终边相同的最小正角是________；与2020°角终边相同的最大负角是________．解析：因为与2020°角终边相同的角是2020°＋k·360°(k∈Z)，所以当k＝－5时，与2020°角终边相同的最小正角是220°角．当k＝－6时，与2020°角终边相同的最大负角是－140°.答案：220°－140°7．已知－990°<α<－630°，且α与120°角的终边相同，则α＝________．解析：因为α与120°角终边相同，故有α＝k·360°＋120°，k∈Z.又因为－990°<α<－630°，所以－990°<k·360°＋120°<－630°，即－1110°<k·360°<－750°.当k＝－3时，α＝(－3)×360°＋120°＝－960°.答案：－960°8．若α是第四象限角，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－90°))的终边所在的象限是第________象限．解析：∵α是第四象限角，∴270°＋360°·k<α<360°·k＋360°，∴135°＋180°·k<eq\f(α,2)<180°·k＋180°，∴45°＋180°·k<eq\f(α,2)－90°<180°·k＋90°.当k为偶数时，角的终边在第一象限，当k为奇数时，角的终边在第三角限．答案：一或三9．如图所示：(1)分别写出终边落在射线OA，OB位置上的角的集合；(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．解：(1)终边在射线OA的最小正角为150°，故终边在射线OA的角的集合为{α|α＝150°＋k·360°，k∈Z}．同理，终边在射线OB上的最大负角为－45°，故终边在射线OB的角的集合为{β|β＝－45°＋k·360°，k∈Z}．(2)由题图知，阴影部分区域表示为{x|－45°＋k·360°≤x≤150°＋k·360°，k∈Z}．10．已知角的集合M＝{α|α＝30°＋k·90°，k∈Z}，回答下列问题：(1)集合M中大于－360°且小于360°的角是哪几个？(2)写出集合M中的第二象限角β的一般表达式．解：(1)令－360°<30°＋k·90°<360°，得－eq\f(13,3)<k<eq\f(11,3)，又∵k∈Z，∴k＝－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，∴集合M中大于－360°且小于360°的角共有8个，分别是－330°，－240°，－150°，－60°，30°，120°，210°，300°.(2)∵集合M中的第二象限角与120°角的终边相同，∴β＝120°＋k·360°，k∈Z.[B级综合运用]11．如果角α与x＋45°的终边相同，角β与x－45°的终边相同，那么α与β的关系是()A．α＋β＝0°B．α－β＝0°C．α＋β＝k·360°(k∈Z)D．α－β＝k·360°＋90°(k∈Z)解析：选D由题意知α＝(x＋45°)＋k1·360°(k1∈Z)，β＝(x－45°)＋k2·360°(k2∈Z)，∴α－β＝(k1－k2)·360°＋90°＝k·360°＋90°(k∈Z)．12．(多选)设α是第三象限角，则eq\f(α,2)的终边所在的象限可能是()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：选BD法一：如图所示，作各个象限的角平分线，标号Ⅲ所在的区域即为eq\f(α,2)所在的区域，故选B、D.法二：由α是第三象限角得180°＋k·360°＜α＜270°＋k·360°，k∈Z，∴90°＋k·180°＜eq\f(α,2)＜135°＋k·180°，k∈Z，当k为偶数时，设k＝2n(n∈Z)，则90°＋n·360°＜eq\f(α,2)＜135°＋n·360°(n∈Z)，∴eq\f(α,2)为第二象限角；当k为奇数时，设k＝2n＋1(n∈Z)，则270°＋n·360°＜eq\f(α,2)＜315°＋n·360°(n∈Z)，∴eq\f(α,2)为第四象限角．∴eq\f(α,2)为第二或第四象限角，故选B、D.13．已知角α，β都是锐角，且角α＋β的终边与－280°角的终边相同，角α－β的终边与670°角的终边相同，则α＝________，β＝________．解析：∵角α，β都是锐角，∴0°＜α＋β＜180°，－90°＜α－β＜90°.由题意可知，α＋β＝－280°＋k1·360°，k1∈Z，∴α＋β＝80°.①又α－β＝670°＋k2·360°，k2∈Z，∴α－β＝－50°.②由①②得，α＝15°，β＝65°.答案：15°65°14．(2021·无锡高一周练)已知α是第一象限角，β是第二象限角，试确定eq\f(α＋β,2)终边所在的位置．解：由已知得k1·360°<α<90°＋k1·360°， ①90°＋k2·360°<β<180°＋k2·360°. ②由①＋②得90°＋(k1＋k2)·360°<α＋β<270°＋(k1＋k2)·360°.∴45°＋(k1＋k2)·180°<eq\f(α＋β,2)<135°＋(k1＋k2)·180°(k1，k2∈Z)．当k1＋k2＝2m(m∈Z)时，45°＋m·360°<eq\f(α＋β,2)<135°＋m·360°.eq\f(α＋β,2)的终边在第一象限或第二象限或y轴的非负半轴上；当k1＋k2＝2m＋1(m∈Z)时，225°＋m·360°<eq\f(α＋β,2)<315°＋m·360°，eq\f(α＋β,2)的终边在第三象限或第四象限或y轴的非正半轴上．[C级拓展探究]15.如图，点A在半径为1且圆心在原点的圆上，且∠AOx＝45°，点P从点A处出发，以逆时针方向沿圆周匀速旋转．已知点P在1秒内转过的角度为θ(0°<θ<180°)，经过2秒钟到达第三象限，经过14秒钟又回到出发点A，求θ，并判断θ所在的象限．解：根据题意知，14秒钟后，点P在角14θ＋45°的终边上，∴45°＋k·360°＝14