-新教材高中数学午间半小时七练习含解析苏教版必修第二册

PAGEPAGE5午间半小时(七)(30分钟50分)一、单选题1．已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足eq\o(AC,\s\up6(→))＋3eq\o(CB,\s\up6(→))＝0，则eq\o(OB,\s\up6(→))＝()A．eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(OC,\s\up6(→))B．eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))C．eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))D．eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OC,\s\up6(→))【解析】选D.O，A，B是平面上的三个点，且AB上一点C满足eq\o(AC,\s\up6(→))＋3eq\o(CB,\s\up6(→))＝0，则位置关系可用下图表示：所以B为线段AC上靠近C的三等分点，则由平面向量的线性运算可得eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OC,\s\up6(→)).2．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))，则eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝()A．－eq\f(5,2)B．eq\f(5,2)C．－eq\f(5,4)D．eq\f(5,4)【解析】选C.如图所示，因为eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AC,\s\up6(→))－\o(AB,\s\up6(→))))，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AC,\s\up6(→))＋\o(AB,\s\up6(→))))，所以eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AC,\s\up6(→))－\o(AB,\s\up6(→))))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AC,\s\up6(→))＋\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(22－32))＝－eq\f(5,4).3．如图，O是△ABC的重心，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，D是边BC上一点，且eq\o(BD,\s\up6(→))＝3eq\o(DC,\s\up6(→))，则()A．eq\o(OD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,12)a＋eq\f(5,12)bB．eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(1,12)a－eq\f(5,12)bC．eq\o(OD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,12)a－eq\f(5,12)bD．eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(1,12)a＋eq\f(5,12)b【解析】选A.如图，延长AO交BC于E，已知O为△ABC的重心，则点E为BC的中点，且eq\o(AO,\s\up6(→))＝2eq\o(OE,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))＋\o(AC,\s\up6(→)))).由eq\o(BD,\s\up6(→))＝3eq\o(DC,\s\up6(→))，得D是BC的四等分点，则eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OE,\s\up6(→))＋eq\o(ED,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))＋\o(AC,\s\up6(→))))＋eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AC,\s\up6(→))－\o(AB,\s\up6(→))))＝－eq\f(1,12)a＋eq\f(5,12)b.4．△ABC中，D在边AC上，满足eq\o(AD,\s\up6(→))＝3eq\o(DC,\s\up6(→))，E为BD的中点，则eq\o(CE,\s\up6(→))＝()A．eq\f(1,8)eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\f(5,8)eq\o(BC,\s\up6(→))B．eq\f(5,8)eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\f(1,8)eq\o(BC,\s\up6(→))C．eq\f(5,8)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(BC,\s\up6(→))D．eq\f(1,8)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(5,8)eq\o(BC,\s\up6(→))【解析】选A.如图，eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(BE,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))，因为E为BD的中点，所以eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))，因为eq\o(AD,\s\up6(→))＝3eq\o(DC,\s\up6(→))，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)(eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→)))，所以eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)×eq\f(3,4)(eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→)))－eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,8)eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\f(5,8)eq\o(BC,\s\up6(→)).5．已知A，B，C为平面内不共线的三点，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(DA,\s\up6(→))，则eq\o(BE,\s\up6(→))＝()A．eq\f(2,3)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))B．eq\f(1,3)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))C．eq\f(3,4)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(BC,\s\up6(→))D．eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))【解析】选B.如图，因为eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(DA,\s\up6(→))，所以eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，所以eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→)).6．在△ABC中，点D为BC延长线上的一点且eq\f(S△ABC,S△ABD)＝eq\f(2,3)，则()A．eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→)) B．eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))C．eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,2)eq\o(AC,\s\up6(→)) D．eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→))【解析】选C.如图所示，因为eq\f(S△ABC,S△ABD)＝eq\f(2,3)，所以eq\f(BC,BD)＝eq\f(2,3)，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AC,\s\up6(→))－\o(AB,\s\up6(→))))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,2)eq\o(AC,\s\up6(→)).二、多选题7．已知△ABC是边长为2的等边三角形，D，E分别是AC，AB上的两点，且eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(EB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，BD与CE交于点O，则下列说法正确的是()A．eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))＝－1 B．eq\o(OE,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0C．eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(OA,\s\up6(→))＋\o(OB,\s\up6(→))＋\o(OC,\s\up6(→))))＝eq\f(\r(3),2) D．|eq\o(BO,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(7),2)【解析】选BCD.如图，由题意知E是AB的中点，因为△ABC是边长为2的等边三角形，所以AB⊥CE，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))＝0，A错；取AD的中点F，连接EF，可知D，F是AC的两个三等分点，OD∥EF，O是CE的中点，eq\o(OE,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，B正确；eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝2eq\o(OE,\s\up6(→))，eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝2eq\o(OE,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OE,\s\up6(→))，|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))|＝|eq\o(OE,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(3),2)，C正确；eq\o(BO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))，|eq\o(BO,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)eq\r(（\o(BE,\s\up6(→))＋\o(BC,\s\up6(→))）2)＝eq\f(1,2)eq\r(5＋2×1×2×cos60°)＝eq\f(\r(7),2)，D正确．8．设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是()A．若eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，则点M是边BC的中点B．若eq\o(AM,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，则点M在边BC的延长线上C．若eq\o(AM,\s\up6(→))＝－eq\o(BM,\s\up6(→))－eq\o(CM,\s\up6(→))，则点M是△ABC的重心D．若eq\o(AM,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，且x＋y＝eq\f(1,2)，则△MBC的面积是△ABC面积的eq\f(1,2)【解析】选ACD.eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))⇒eq\f(1,2)eq\o(AM,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AM,\s\up6(→))，即eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(MC,\s\up6(→))，则点M是边BC的中点，A正确；eq\o(AM,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))⇒eq\o(AM,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))，则点M在边CB的延长线上，所以B错误；设BC中点为D，则eq\o(AM,\s\up6(→))＝－eq\o(BM,\s\up6(→))－eq\o(CM,\s\up6(→))，eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝2eq\o(MD,\s\up6(→))，由重心性质可知C成立；eq\o(AM,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))且x＋y＝eq\f(1,2)⇒2eq\o(AM,\s\up6(→))＝2xeq\o(AB,\s\up6(→))＋2yeq\o(AC,\s\up6(→))，2x＋2y＝1，设eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(AM,\s\up6(→))，则eq\o(AD,\s\up6(→))＝2xeq\o(AB,\s\up6(→))＋2yeq\o(AC,\s\up6(→))，2x＋2y＝1，可知B，C，D三点共线，所以△MBC的面积是△ABC面积的eq\f(1,2)，D正确．三、填空题9．已知△ABC中，D为边BC上的点，且2BD＝DC，若eq\o(AD,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋neq\o(AC,\s\up6(→))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m，n∈R))，则m－n＝________.【解析】依题意，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(A