-新教材高中数学第一章预备知识4.1一元二次函数学案北师大版必修第一册

PAGEPAGE7一元二次函数新课程标准解读核心素养1.掌握一元二次函数的图象及图象变换直观想象2.会求一元二次函数的最值及相关问题数学运算某校运动会上，某运动员掷铅球时，他所掷的铅球的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式为y＝－eq\f(1,12)x2＋eq\f(2,3)x＋eq\f(5,3).[问题](1)此函数是一元二次函数吗？(2)当x满足什么条件时，图象在x轴的上方？知识点一一元二次函数的图象变换1．抛物线通常把一元二次函数的图象叫作抛物线．2．一元二次函数的图象变换一元二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象可以由y＝ax2的图象经过向左(或向右)平移|h|个单位长度，再向上(或向下)平移|k|个单位长度而得到．eq\a\vs4\al()一元二次函数图象变换一元二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)，a决定了函数图象的开口大小及方向；h决定了函数图象的左、右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了函数图象的上、下平移，而且“k正上移，k负下移”．知识点二一元二次函数的性质一元二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)有如下性质：(1)函数y＝a(x－h)2＋k的图象是一条抛物线，顶点坐标是(h，k)，对称轴是直线x＝h；(2)当a＞0时，抛物线开口向eq\a\vs4\al(上)；在区间(－∞，h]上，函数值y随自变量x的增大而减小；在区间[h，＋∞)上，函数值y随自变量x的增大而增大；函数在x＝h处有最小值，记作ymin＝eq\a\vs4\al(k)．当a＜0时，抛物线开口向eq\a\vs4\al(下)；在区间(－∞，h]上，函数值y随自变量x的增大而增大；在区间[h，＋∞)上，函数值y随自变量x的增大而减小；函数在x＝h处有最大值，记作ymax＝eq\a\vs4\al(k)．1．已知某一元二次函数的图象与函数y＝2x2的图象的形状一样，开口方向相反，且其顶点为(－1，3)，则此函数的解析式为()A．y＝2(x－1)2＋3 B．y＝2(x＋1)2＋3C．y＝－2(x－1)2＋3 D．y＝－2(x＋1)2＋3解析：选D设所求函数的解析式为y＝－2(x＋h)2＋k，根据顶点为(－1，3)，可得h＝1，且k＝3，故所求的函数解析式为y＝－2(x＋1)2＋3，故选D.2．如果将一元二次函数y＝a(x＋m)2＋n的图象向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的函数图象的对称轴为x＝3，最大值为1，则m，n的值为()A.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－5,n＝3)) B．eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－1,n＝－1))C.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝1,n＝3)) D.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－1,n＝3))解析：选D由题意知，变换后所得函数的解析式为y＝a(x－3)2＋1，且a＜0，然后将函数y＝a(x－3)2＋1的图象先向上平移2个单位长度，得到函数y＝a(x－3)2＋3，再将所得函数图象向左平移2个单位长度，可得到函数y＝a(x－1)2＋3的图象，因此eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－1，,n＝3，))故选D.一元二次函数解析式的求法[例1]已知一元二次函数的最大值是8，且当x＝2时，y＝－1；当x＝－1时，y＝－1.求此一元二次函数的解析式．[解]法一(利用一般式)：设y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4a＋2b＋c＝－1，,a－b＋c＝－1，,\f(4ac－b2,4a)＝8，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－4，,b＝4，,c＝7.))∴所求一元二次函数的解析式为y＝－4x2＋4x＋7.法二(利用顶点式)：设y＝a(x－m)2＋n.∵当x＝2时，y＝－1，且x＝－1时，y＝－1.∴抛物线的对称轴为x＝eq\f(2＋（－1）,2)＝eq\f(1,2).∴m＝eq\f(1,2).又根据题意知函数有最大值8，∴n＝8.∴y＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋8.又抛物线过点(2，－1)，∴aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋8＝－1，解得a＝－4，∴y＝－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋8＝－4x2＋4x＋7.eq\a\vs4\al()求一元二次函数解析式时，应根据已知条件的特点，选用解析式的形式，利用待定系数法求解．(1)若已知条件是图象上的三个点，则设所求一元二次函数为一般式y＝ax2＋bx＋c，a，b，c为常数，a≠0的形式；(2)若已知一元二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大(小)值，则设所求一元二次函数为顶点式y＝a(x－h)2＋k(其中顶点(h，k)，a为常数，a≠0)；(3)若已知一元二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为(x1，0)，(x2，0)，则设所求一元二次函数为两根式y＝a(x－x1)(x－x2)(a为常数，且a≠0)．[跟踪训练]根据下列条件，求一元二次函数的解析式：(1)过点(1，1)，(0，2)，(3，5)；(2)图象顶点为(1，2)并且过点(0，4)；(3)图象过点(2，0)，(4，0)，(0，3)．解：(1)设函数解析式为y＝ax2＋bx＋c，由题设知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝1，,c＝2，,9a＋3b＋c＝5))⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－2，,c＝2.))∴函数解析式为y＝x2－2x＋2.(2)设所求函数解析式为y＝a(x－1)2＋2.整理得y＝ax2－2ax＋a＋2，∴a＋2＝4，∴a＝2.∴解析式为y＝2x2－4x＋4.(3)设所求函数解析式为y＝a(x－2)(x－4)，整理得y＝ax2－6ax＋8a，∴8a＝3，∴a＝eq\f(3,8).∴解析式为y＝eq\f(3,8)(x－2)(x－4).一元二次函数图象间的变换[例2](链接教科书第33页例1)抛物线y＝2(x－1)2＋3可以看作是由抛物线y＝2x2经过以下哪种变换得到的()A．向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度B．向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度C．向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度D．向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度[解析]∵抛物线y＝2(x－1)2＋3顶点坐标为(1，3)，抛物线y＝2x2顶点坐标为(0，0)，∴抛物线y＝2(x－1)2＋3可以看作由抛物线y＝2x2向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的．[答案]Beq\a\vs4\al()一元二次函数图象平移问题的解题策略(1)要注意平移的方向，即由哪个函数变换到另一个函数；(2)将函数化为y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的形式；(3)判定h与k的正负，利用“左加右减，上加下减”的规则判定平移的方向和大小．[跟踪训练]将抛物线y＝eq\f(1,2)x2－6x＋21向左平移2个单位长度后，再向上平移2个单位长度，得到新抛物线的解析式为()A．y＝eq\f(1,2)(x－8)2＋5 B．y＝eq\f(1,2)(x－4)2＋5C．y＝eq\f(1,2)(x－8)2＋3 D．y＝eq\f(1,2)(x－4)2＋3解析：选B抛物线y＝eq\f(1,2)x2－6x＋21＝eq\f(1,2)(x－6)2＋3，它的顶点坐标是(6，3)．将其向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到新抛物线的顶点坐标(4，5)，所以新抛物线的解析式是y＝eq\f(1,2)(x－4)2＋5.一元二次函数的最值问题[例3](链接教科书第33页练习1题)(1)求函数y＝x2－3x－7(x∈R)的最小值；(2)在区间[2，3]上，求函数y＝x2－3x－7的最大值与最小值．[解](1)由y＝x2－3x－7＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))eq\s\up12(2)－eq\f(37,4)，∵x∈R，∴当且仅当x＝eq\f(3,2)时，ymin＝－eq\f(37,4).(2)由(1)知，该函数的对称轴为直线x＝eq\f(3,2)∉[2，3]，图象开口向上，在区间[2，3]上，函数值y随x的增大而增大，∴函数在区间[2，3]上，函数在x＝3处取最大值，即ymax＝－7，在x＝2时取最小值，即ymin＝－9.[母题探究](变条件)若本例(2)条件变为x∈[－1，3]，求函数的最大值与最小值．解：由函数的对称轴为直线x＝eq\f(3,2)∈[－1，3]，图象开口向上，∴当x＝eq\f(3,2)时，函数取得最小值，ymin＝－eq\f(37,4)，函数在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(3,2)))上函数值y随x的增大而减小，在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3))上函数值y随x的增大而增大．∴当x＝3时，ymax＝－7.eq\a\vs4\al()求一元二次函数在闭区间上的最值的方法一看开口方向；二看对称轴和区间的相对位置，简称“两看法”．[跟踪训练]一元二次函数y＝－x2＋2x－5，当x取全体实数时，有()A．最大值－5 B．最小值－5C．最大值－4 D．最小值－4解析：选C配方，得y＝－(x－1)2－4，所以当x＝－1时，ymax＝－4.一元二次函数的图象[例4]已知一元二次函数y＝2x2－4x－6.(1)求此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标，并画出函数图象；(2)求此函数图象与x轴，y轴的交点坐标，并求出以此三点为顶点的三角形面积；(3)x为何值时，y>0，y＝0，y<0?[解](1)配方，得y＝2(x－1)2－8.∵a＝2>0，∴函数图象开口向上，对称轴是直线x＝1，顶点坐标是(1，－8)．列表：x－10123y0－6－8－60描点并画图，得函数y＝2x2－4x－6的图象，如图所示．(2)由图象得，函数图象与x轴的交点坐标为A(－1，0)，B(3，0)，与y轴的交点坐标为C(0，－6)．S△ABC＝eq\f(1,2)|AB|·|OC|＝eq\f(1,2)×4×6＝12.(3)由函数图象知，当x<－1或x>3时，y>0；当x＝－1或x＝3时，y＝0；当－1<x<3时，y<0.eq\a\vs4\al()观察图象主要是把握其本质特征：开口方向决定a的符号，在y轴上的交点决定c的符号(值)，对称轴的位置决定－eq\f(b,2a)的符号，另外还要注意与x轴的交点、函数的单调性等．[跟踪训练]如图是一元二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：①b2＞4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a＜b.其中正确的是()A．②④ B．①④C．②③ D．①③解析：选B因为图象与x轴交于两点，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，①正确；对称轴为x＝－1，即－eq\f(b,2a)＝－1，2a－b＝0，②错误；结合图象，当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，③错误；由对称轴为x＝－1知，b＝2a.又函数图象开口向下，所以a＜0，所以5a＜2a，即5a＜b，④正确．1．已知函数y＝ax2＋bx＋1(a≠0)的图象的对称轴是直线x＝1，并且函数的图象经过点A(－1，7)，则a，b的值分别是()A．2，4 B．－2，4C．2，－4 D．－2，－4解析：选C由题意，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)＝1，,a－b＋1＝7))⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－4，))故选C.2．将抛物线y＝x2＋1先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的新抛物线的表达式为()A．y＝(x＋2)2＋4 B．y＝(x－2)2－2C．y＝(x－2)2＋4 D．y＝(x＋2)2－2解析：选D∵一元二次函数解析式为y＝x2＋1，∴顶点坐标(0，1)．将其顶点坐标向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到新的顶点坐标为(－2，－2)，可设新函数的解析式为y＝(x－h)2＋k，代入新的顶点坐标得y＝(x＋2)2－2.3．下列一元二次函数的图象通过平移能与一元二次函数y＝x2－2x－1的图象重合的是()A．y＝2x2－x＋1 B．y＝x2＋2x＋1C．y＝eq\f(1,2)x2－2x－1 D．y＝eq\f(1,2)x2＋2x＋1解析：选B∵经过平移后能与一元二次函数y＝x2－2x－1的图象重合，∴a＝1，观察选项，只有选项B符合题意．4．已知抛物线y＝x2－4x＋3，当0≤x≤m时，y的最小值为－1，最大值为3，则m的取值范围为()A．[2，＋∞) B．[0，2]C．[2，4]