-新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语5全称量词与存在量词第1课时课件新人教A版必修第一册

第一章

集合与常用逻辑用语1．5全称量词与存在量词1．5.1全称量词与存在量词[课程目标]1.理解全称量词、全称量词命题的定义，理解存在量

词、存在量词命题的定义；2.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命

题，并会判断它们的真假．

知识点一全称量词1．短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“____”表示，含有全称量词的命题，叫做__________________．2．将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示．那么，全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为___________________．全称量词命题∀∀x∈M，p(x)【思辨】判断正误(请在括号中打“√”或“×”).(1)所有实数都有平方根．(

)(2)“有的质数是奇数”是全称量词命题．(

)(3)“三角形内角和等于180°”是全称量词命题．(

)(4)“对于任意实数x，2x＋1是奇数”是全称量词命题．(

)【解析】(1)负数没有平方根．(2)“所有质数是奇数”才是全称量词命题．(3)“三角形内角和等于180°”即“所有的三角形内角和等于180°”．(4)根据全称量词命题的概念知，该说法正确．××√√

知识点二存在量词1．短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“____”表示．含有存在量词的命题，叫做________________．2．存在量词命题“存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为__________________．∃存在量词命题∃x∈M，p(x)【思辨】判断正误(请在括号中打“√”或“×”).(1)有一个实数x，使x2＋2x＋＝0.(

)(2)函数y＝－2x＋3的图象上有些点在第三象限．(

)(3)有些整数只有两个正因数．(

)(4)“至少有一个偶数是质数”是存在量词命题且是真命题．(

)××√√例1将下列命题用量词符号“∀”或“∃”表示．(1)自然数的平方大于零；(2)方程ax2＋2x＋1＝0(a<1)至少存在一个负根；(3)两个无理数的和是无理数；(4)存在两个相似三角形不全等．解：(1)该命题省略了全称量词“任意一个”，因此可用符号表示为：∀x∈N，x2>0.(2)用符号表示为：∃x<0，ax2＋2x＋1＝0(a<1).(3)用符号表示为：∀a，b∈{无理数}，a＋b∈{无理数}．(4)用符号表示为：∃△ABC∽△A′B′C′，△ABC≌△A′B′C′不成立．

例2判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题.(1)梯形的对角线相等； (2)存在一个四边形有外接圆；(3)所有的正方形都是矩形； (4)凸多边形的外角和等于360°.解：(1)命题完整的表述应为“所有梯形的对角线相等”，故为全称量词命题．(2)命题为存在量词命题．(3)命题为全称量词命题．(4)命题可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°”，故为全称量词命题．[规律方法]1．判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的步骤：2．同一个全称量词命题或存在量词命题，可能有不同的表述

方法，现列表总结如下，在实际应用中可以灵活选择：判断下列语句是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“∀”或“∃”表示出来．(1)任何一个实数除以1，仍等于这个实数；(2)有一个奇数不能被3整除；(3)每个三角形至少有两个锐角；(4)存在负数x，使得>2.例3判断下列命题的真假：[规律方法](1)全称量词命题真假的判断．

①要判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集

合M中每个元素x，证明p(x)成立；要判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是假命题，只需找到M中的一个元素x0，使

得p(x0)不成立即可．

②图表表示(2)存在量词命题真假的判断．

①要判定存在量词命题“∃x∈M，p(x)”是真命题，只需在集

合M中找到一个元素x，使p(x)成立即可；如果在集合M中，

使p(x)成立的元素x不存在，那么这个存在量词命题是假命

题，即对于∀x∈M，p(x)都不成立．

②图表表示．判断下列命题的真假：(1)∀x∈R，x2＋2>0； (2)∀x∈N，x2≥1；(3)∃x∈Z，x3<1； (4)∃x∈Q，x2＝3.例4已知y＝3ax2＋6x－1(a∈R).(1)当a＝－3时，求证：对任意x∈R，都有y≤0；(2)如果对任意x∈R，函数y＝3ax2＋6x－1(a∈R)的图象恒在直线y＝4x的下方，求实数a的取值范围．解：(1)证明：当a＝－3时，y＝－9x2＋6x－1.因为Δ＝36－4×(－9)×(－1)＝0，且二次项系数小于零，所以对任意x∈R，都有y≤0.[规律方法](1)对任意的实数x，a≥y恒成立，只需a≥ymax；若存在一个实数x0，使a≥y成立，只需a≥ymin.(2)解决有关恒成立问题的方法：一是转化为二次函数，利用数形结合求解；二是利用分离参数法求解．若命题“∀x∈R，x2－2ax＋2≥a－a2”是真命题，求实数a的取值范围．解：因为对任意x∈R，x2－2ax＋2≥a－a2恒成立，所以a－a2小于或等于y＝x2－2ax＋2的最小值．因为y＝x2－2ax＋2＝(x－a)2＋2－a2，

所以当x＝a时，函数的最小值为2－a2，所以2－a2≥a－a2，解得a≤2.1．下列命题是“∀x∈R，x2>3”的另一种表述方法的是(

)A．有一个x∈R，使得x2>3B．对有些x∈R，使得x2>3C．任意一个x∈R，使得x2>3D．至少有一个x∈R，使得x2>3【解析】“∀x∈R，x2>3”是全称量词命题，改写时应使用全称量词．C2．下列命题中全称量词命题的个数是(

)①任意一个奇数都是整数；②有的三角形的一个内角为45°；③四边形的内角和是360°.A．0

B．1C．2 D．3【解析】①和③是全称量词命题．C3．下列命题中，不属于全称量词命题的是(

)A．任何一个实数乘0都等于0B．自然数都是正整数C．不重合的两条直线，不平行就相交D．一定存在没有最大值的二次函数【解析】“一定存在没有最大值的二次函数”不是全称量词命题．D4．下列存在量词命题是假命题的是(

)A．存在x∈Q，使2x－x3＝0B．存在x∈R，使x2＋3x＋3＝0C．至少存在一个实数既是2的倍数，又是3的倍数D．有的有理数没有倒数【解析】“存在x∈R，使x2＋3x＋3＝0”是假命题，因为Δ＝32－