-新教材高中数学第一章空间向量与立体几何1.1第二课时空间向量的数量积学案新人教B版选择性必修第一册

PAGEPAGE8第二课时空间向量的数量积新课程标准解读核心素养1.掌握空间向量的数量积及其性质直观想象2.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义数学运算如果一个物体在力F的作用下产生位移S，那么力F所作的功W＝F×S＝|F||S|cosθ，为了在数学中体现“功”这样一个标量，我们引入了“数量积”的概念．[问题](1)空间向量的数量积的定义是什么？(2)空间向量数量积有哪些运算律？与平面向量数量积的运算律一样吗？知识点空间向量的数量积1．空间向量的夹角如果〈a，b〉＝eq\f(π,2)，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b；2．空间向量数量积的定义已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫作a与b的数量积(也称为内积)，记作a·b；3．数量积的几何意义(1)向量的投影如图所示，过a的始点和终点分别向b所在的直线作垂线，即可得到向量a在向量b上的投影a′；(2)数量积的几何意义：a与b的数量积等于a在b上的投影a′的数量与b的长度的乘积，特别地，a与单位向量e的数量积等于a在e上的投影a′的数量．规定零向量与任意向量的数量积为0.4．空间向量数量积的性质(1)a⊥b⇔a·b＝0；(2)a·a＝|a|2＝a2；(3)|a·b|≤|a||b|；(4)(λa)·b＝λ(a·b)；(5)a·b＝b·a(交换律)；(6)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．1．当两个非零向量同向时，它们的夹角为多少度？反向时，它们的夹角为多少度？提示：0°180°2．空间向量a在向量b上的投影是向量吗？提示：是向量．1．下列命题中正确的是()A．(a·b)2＝a2·b2B．|a·b|≤|a||b|C．(a·b)·c＝a·(b·c)D．若a⊥(b－c)，则a·b＝a·c＝0解析：选B对于A项，左边＝|a|2|b|2cos2〈a，b〉，右边＝|a|2|b|2，∴左边≤右边，故A错误．对于C项，数量积不满足结合律，∴C错误．在D中，∵a·(b－c)＝0，∴a·b－a·c＝0，∴a·b＝a·c，但a·b与a·c不一定等于零，故D错误．对于B项，∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，－1≤cos〈a，b〉≤1，∴|a·b|≤|a||b|，故B正确．2．已知空间向量a，b，|a|＝2，|b|＝eq\r(2)，a·b＝－2，则〈a，b〉＝________．解析：∵cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝－eq\f(\r(2),2)，∴〈a，b〉＝eq\f(3π,4).答案：eq\f(3π,4)3.如图，在正方体ABCD­A′B′C′D′中，则〈eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(A′C′,\s\up7(→))〉＝________，〈eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(C′A′,\s\up7(→))〉＝________．解析：∵eq\o(A′C′,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))，∴〈eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(A′C′,\s\up7(→))〉＝〈eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(AC,\s\up7(→))〉．又∵∠CAB＝45°，∴〈eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(A′C′,\s\up7(→))〉＝45°.〈eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(C′A′,\s\up7(→))〉＝180°－〈eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(A′C′,\s\up7(→))〉＝180°－45°＝135°.答案：45°135°4．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，则eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(A1C1,\s\up7(→))＝________，eq\o(A1B,\s\up7(→))·eq\o(B1C,\s\up7(→))＝________．解析：如图，eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(A1C1,\s\up7(→))＝eq\o(A1B1,\s\up7(→))·eq\o(A1C1,\s\up7(→))＝|eq\o(A1B1,\s\up7(→))|·|eq\o(A1C1,\s\up7(→))|·cos〈eq\o(A1B1,\s\up7(→))，eq\o(A1C1,\s\up7(→))〉＝a·eq\r(2)acos45°＝a2.eq\o(A1B,\s\up7(→))·eq\o(B1C,\s\up7(→))＝eq\o(A1B,\s\up7(→))·eq\o(A1D,\s\up7(→))＝|eq\o(A1B,\s\up7(→))|·|eq\o(A1D,\s\up7(→))|·cos〈eq\o(A1B,\s\up7(→))，eq\o(A1D,\s\up7(→))〉＝eq\r(2)a×eq\r(2)a×cos60°＝a2.答案：a2a2空间向量的夹角[例1]已知空间四边形OABC各边及对角线长都相等，E，F分别为AB，OC的中点，求向量eq\o(OE,\s\up7(→))与eq\o(BF,\s\up7(→))夹角的余弦值．[解]如图，设eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，eq\o(OC,\s\up7(→))＝c，且|a|＝|b|＝|c|＝1.易知∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝eq\f(π,3)，则a·b＝b·c＝c·a＝eq\f(1,2).∵eq\o(OE,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)(a＋b)，eq\o(BF,\s\up7(→))＝eq\o(OF,\s\up7(→))－eq\o(OB,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up7(→))－eq\o(OB,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)c－b，∴eq\o(OE,\s\up7(→))·eq\o(BF,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)c－b))＝eq\f(1,4)a·c＋eq\f(1,4)b·c－eq\f(1,2)a·b－eq\f(1,2)b2＝－eq\f(1,2).又|eq\o(OE,\s\up7(→))|＝|eq\o(BF,\s\up7(→))|＝eq\f(\r(3),2)，∴cos〈eq\o(OE,\s\up7(→))，eq\o(BF,\s\up7(→))〉＝eq\f(eq\o(OE,\s\up7(→))·eq\o(BF,\s\up7(→)),|eq\o(OE,\s\up7(→))||eq\o(BF,\s\up7(→))|)＝－eq\f(2,3).∴向量eq\o(OE,\s\up7(→))与eq\o(OF,\s\up7(→))夹角的余弦值为－eq\f(2,3).eq\a\vs4\al()求空间向量的夹角求两非零向量的夹角θ或其余弦值一般利用夹角公式cosθ＝eq\f(a·b,|a|·|b|)求解，当θ∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))⇔a·b>0，θ∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))⇔a·b<0转化为解不等式(组)．[注意]向量eq\o(AB,\s\up7(→))与向量eq\o(AC,\s\up7(→))的夹角为∠BAC而eq\o(AB,\s\up7(→))与eq\o(CA,\s\up7(→))的夹角为π－∠BAC.[跟踪训练]如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则向量eq\o(FE,\s\up7(→))与eq\o(GH,\s\up7(→))的夹角等于()A．45° B．60°C．90° D．120°解析：选B因为E，F，G，H分别是所在棱的中点．所以由三角形中位线定理可得，eq\o(FE,\s\up7(→))与eq\o(BA1,\s\up7(→))同向共线，eq\o(GH,\s\up7(→))与eq\o(BC1,\s\up7(→))同向共线，∴〈eq\o(FE,\s\up7(→))，eq\o(GH,\s\up7(→))〉＝〈eq\o(BA1,\s\up7(→))，eq\o(BC1,\s\up7(→))〉，在正方体中△A1BC1为等边三角形，∴〈eq\o(FE,\s\up7(→))，eq\o(GH,\s\up7(→))〉＝〈eq\o(BA1,\s\up7(→))，eq\o(BC1,\s\up7(→))〉＝60°，故选B.数量积的运算及应用角度一空间向量数量积的运算[例2]如图所示，已知正四面体OABC的棱长为1，点E，F分别是OA，OC的中点．求下列向量的数量积：(1)eq\o(OA,\s\up7(→))·eq\o(OB,\s\up7(→))；(2)eq\o(EF,\s\up7(→))·eq\o(CB,\s\up7(→))；(3)(eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→)))·(eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\o(CB,\s\up7(→))).[解](1)正四面体的棱长为1，则|eq\o(OA,\s\up7(→))|＝|eq\o(OB,\s\up7(→))|＝1.△OAB为等边三角形，∠AOB＝60°，于是eq\o(OA,\s\up7(→))·eq\o(OB,\s\up7(→))＝|eq\o(OA,\s\up7(→))||eq\o(OB,\s\up7(→))|cos〈eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))〉＝|eq\o(OA,\s\up7(→))||eq\o(OB,\s\up7(→))|cos∠AOB＝1×1×cos60°＝eq\f(1,2).(2)由于E，F分别是OA，OC的中点，∴eq\o(EF,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up7(→))，于是eq\o(EF,\s\up7(→))·eq\o(CB,\s\up7(→))＝|eq\o(EF,\s\up7(→))||eq\o(CB,\s\up7(→))|cos〈eq\o(EF,\s\up7(→))，eq\o(CB,\s\up7(→))〉＝eq\f(1,2)|eq\o(AC,\s\up7(→))|·|eq\o(CB,\s\up7(→))|cos〈eq\o(AC,\s\up7(→))，eq\o(CB,\s\up7(→))〉＝eq\f(1,2)×1×1×cos〈eq\o(AC,\s\up7(→))，eq\o(CB,\s\up7(→))〉＝eq\f(1,2)×1×1×cos120°＝－eq\f(1,4).(3)(eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→)))·(eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\o(CB,\s\up7(→)))＝(eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→)))·(eq\o(OA,\s\up7(→))－eq\o(OC,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OC,\s\up7(→)))＝(eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→)))·(eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))－2eq\o(OC,\s\up7(→)))＝eq\o(OA,\s\up7(→))2＋eq\o(OA,\s\up7(→))·eq\o(OB,\s\up7(→))－2eq\o(OA,\s\up7(→))·eq\o(OC,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))·eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))2－2eq\o(OB,\s\up7(→))·eq\o(OC,\s\up7(→))＝1＋eq\f(1,2)－2×eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＋1－2×eq\f(1,2)＝1.[母题探究](变条件，变设问)若H为BC的中点，其他条件不变，求EH的长．解：由题意知eq\o(OH,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→)))，eq\o(OE,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up7(→))，∴eq\o(EH,\s\up7(→))＝eq\o(OH,\s\up7(→))－eq\o(OE,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→)))，∴|eq\o(EH,\s\up7(→))|2＝eq\f(1,4)(eq\o(OB2,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→))2＋eq\o(OA,\s\up7(→))2＋2eq\o(OB,\s\up7(→))·eq\o(OC,\s\up7(→))－2eq\o(OB,\s\up7(→))·eq\o(OA,\s\up7(→))－2eq\o(OC,\s\up7(→))·eq\o(OA,\s\up7(→)))，又|eq\o(OB,\s\up7(→))|＝|eq\o(OC,\s\up7(→))|＝|eq\o(OA,\s\up7(→))|＝1.且〈eq\o(OB,\s\up7(→))，eq\o(OC,\s\up7(→))〉＝60°，〈eq\o(OB,\s\up7(→))，eq\o(OA,\s\up7(→))〉＝60°，〈eq\o(OC,\s\up7(→))，eq\o(OA,\s\up7(→))〉＝60°.∴eq\o(OB,\s\up7(→))·eq\o(OC,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)，eq\o(OB,\s\up7(→))·eq\o(OA,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)，eq\o(OC,\s\up7(→))·eq\o(OA,\s\up7(→))＝eq\f(1,2).∴|eq\o(EH,\s\up7(→))|2＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋1＋1＋2×\f(1,2)－2×\f(1,2)－2×\f(1,2)))＝eq\f(1,2)，即|eq\o(EH,\s\up7(→))|＝eq\f(\r(2),2)，∴EH的长为eq\f(\r(2),2).角度二平面向量的投影[例3](2021·辽宁营口市高二月考)已知|a|＝4，空间向量e为单位向量，〈a，e〉＝eq\f(2π,3)，则空间向量a在向量e方向上的投影的数量为()A．2 B．－2C．－eq\f(1,2) D．eq\f(1,2)[解析]由题意，|a|＝4，|e|＝1，〈a，e〉＝eq\f(2π,3)，则空间向量a在向量e方向上的投影数量为eq\f(a·e,|e|)＝eq\f(|a||e|cos\f(2π,3),|e|)＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－2.故选B.[答案]Beq\a\vs4\al()求空间向量数量积的步骤(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积；(3)根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模；(4)代入公式a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉求解．[注意]在求两个向量夹角时，要注意向量的方向．[跟踪训练]1．平行六面体(底面是平行四边形的四棱柱)ABCD­A1B1C1D1过顶点A的三条棱的夹角分别是eq\f(π,3)，eq\f(π,4)，eq\f(π,3)，所有的棱长都为2，则AC1的长等于()A．3eq\r(2) B．2eq\r(3)C．2eq\r(5－\r(2)) D．2eq\r(5＋\r(2))解析：选D∵eq\o(AC1,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(AA1,\s\up7(→))，∴|eq\o(AC1,\s\up7(→))|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(AA1,\s\up7(→))))\s\up12(2))＝eq\r(eq\o(AB,\s\up7(→))2＋eq\o(AD,\s\up7(→))2＋eq\o(AA1,\s\up7(→))2＋2（eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))·eq\o(AA1,\s\up7(→)))＝eq\r(4×3＋2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×2×\f(1,2)＋2×2×\f(\r(2),2)＋2×2×\f(1,2))))＝eq\r(20＋4\r(2))＝2eq\r(5＋\r(2))，故选D.2．在四面体OABC中，棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＝1，OB＝2，OC＝3，G为△ABC的重心，则eq\o(OG,\s\up7(→))·(eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→)))＝________．解析：由已知eq\o(OA,\s\up7(→))·eq\o(OB,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))·eq\o(OC,\s\up7(→))＝eq\o(OB,\s\up7(→))·eq\o(OC,\s\up7(→))＝0，且eq\o(OG,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→)))，故eq\o(OG,\s\up7(→))·(eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→)))＝eq\f(1,3)(eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→)))2＝eq\f(1,3)(|eq\o(OA,\s\up7(→))|2＋|eq\o(OB,\s\up7(→))|2＋|eq\o(OC,\s\up7(→))|2)＝eq\f(1,3)(1＋4＋9)＝eq\f(14,3).答案：eq\f(14,3)1．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，下列各对向量夹角为45°A．eq\o(AB,\s\up7(→))与eq\o(A1C1,\s\up7(→)) B．eq\o(AB,\s\up7(→))与eq\o(CA,\s\up7(→))C．eq\o(AB,\s\up7(→))与eq\o(A1D1,\s\up7(→)) D．eq\o(AB,\s\up7(→))与eq\o(B1A1,\s\up7(→))解析：选AA、B、C、D四个选项中两个向量的夹角依次是45°，135°，90°，180°，故选A.2．在空间四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))·eq\o(DB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))·eq\o(eq\o(BC,\s\up7(→)),\s\up7(→))＝()A．－1 B．0C．1 D．不确定解析：选B如图，令eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AC,\s\up7(→))＝b，eq\o(AD,\s\up7(→))＝c，则eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))·eq\o(DB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))·eq\o(eq\o(BC,\s\up7(→)),\s\up7(→))，＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)，＝a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a＝0.故选B.3.如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，以顶点A为顶点的三条棱的长均为2，且两两所成角均为60°，则|eq\o(AC1,\s\up7(→))|＝__________．解析：设eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq