四川省成都市都一中数学2-2同步测试第二章第4课时反证法含答案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第4课时反证法基础达标（水平一)1。若a，b，c不全为0，则只需(）.A。abc≠0B.a,b，c中至少有一个为0C.a，b,c中只有一个是0D。a，b,c中至少有一个不为0【解析】a，b,c不全为0,即a，b,c中至少有一个不为0.【答案】D2.若两个数之和为正数,则这两个数()。A。一个是正数,一个是负数B。都是正数C。至少有一个是正数D.都是负数【解析】这两个数中至少有一个是正数。否则，若这两个数都不是正数,则它们的和一定是非正数,这与“两个数之和为正数"相矛盾，故选C.【答案】C3.有以下结论：①已知p3+q3=2,求证p+q≤2，用反证法证明时，可假设p+q≥2；②已知a，b∈R,|a｜+|b｜<1，求证方程x2+ax+b=0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1,即假设｜x1|≥1.下列说法中正确的是（)。A。①与②的假设都错误B.①与②的假设都正确C.①的假设正确；②的假设错误D.①的假设错误;②的假设正确【解析】用反证法证明问题时，其假设是原命题的否定,故①的假设应为“p+q〉2”;②的假设为“两根的绝对值不都小于1".故①的假设错误，②的假设正确。【答案】D4。若a2+b2=c2，则a，b，c（).A。都是偶数 B.不可能都是偶数C。都是奇数 D.不可能都是奇数【解析】假设a,b，c都是奇数，则a2,b2,c2都是奇数,因此a2+b2为偶数,而c2为奇数，即a2+b2≠c2，这与a2+b2=c2矛盾,所以假设不成立,所以a,b，c不可能都是奇数。【答案】D5.用反证法证明命题“若x2-(a+b)x+ab≠0,则x≠a且x≠b”时，应假设。

【解析】“x≠a且x≠b”形式的否定为“x=a或x=b”.【答案】x=a或x=b6。用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤:①∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C〉180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误;②所以一个三角形不能有两个直角；③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A=90°，∠B=90°.上述步骤的正确顺序为.

【解析】由反证法证明的步骤，知先反证,即③；再推出矛盾,即①；最后做出判断,肯定结论,即②.所以正确的顺序应为③①②。【答案】③①②7。过平面α内的一点A作直线a,使得a⊥α，求证:直线a是唯一的。【解析】假设直线a不唯一,则过点A至少还有一条直线b，使得b⊥α。因为直线a与直线b是两条相交直线，所以直线a与直线b可以确定一个平面β.设α和β相交于过点A的直线c，因为a⊥α，b⊥α，所以a⊥c，b⊥c。因此,在平面β内，过直线c上的点A就有两条直线a,b垂直于直线c，这与“平面内过直线上一点只能作一条该直线的垂线”矛盾,所以假设不成立,故直线a是唯一的.拓展提升（水平二）8.设a,b,c为正实数，P=a+b—c，Q=b+c—a，R=c+a-b，则“PQR>0”是“P,Q，R同时大于零"的(）.A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C。充要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】若P〉0，Q〉0，R〉0，则必有PQR>0;反之,若PQR〉0,也必有P>0,Q>0，R>0.因为当PQR〉0时，若P,Q,R不同时大于零，则P,Q，R中必有两个负数,一个正数.不妨设P〈0,Q〈0,R>0，即a+b<c,b+c<a，两式相加得b〈0,这与已知b为正实数矛盾，因此必有P>0，Q〉0，R〉0.【答案】C9。已知a,b，c∈（0,1）,则对于(1—a)b，（1—b)c,(1-c）a,下列说法正确的是（).A。不能同时大于14 B。都大于C。至少有一个大于14 D.至多有一个大于【解析】假设三个式子同时大于14,即（1—a）b〉14，（1-b）c〉14,（1—c)a>(1-a)b（1-b)c(1-c）a>143.因为0〈a〈1,所以0〈a(1—a）≤1-a+同理，0〈b（1-b)≤14，0<c（1—c）≤1所以(1-a）a（1-b)b（1—c)c≤143。因为①与②矛盾,所以假设不成立,故选A。【答案】A10.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中一位获奖。有人走访了这四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖。”乙说：“甲、丙都未获奖。”丙说：“我获奖了。”丁说：“是乙获奖.”四位歌手的话只有两句是对的,则获奖的歌手是.

【解析】若甲获奖,则甲、乙、丙、丁四位歌手说的话都是假的,同理可推出乙、丙、丁获奖的情况,最后可知获奖的歌手是丙.【答案】丙11.已知非零实数a，b,c构成公差不为0的等差数列,求证：1a,1b，1【解析】假设1a，1b,1c能构成等差数列，则有2b=1a+1c，即而由a,b，c构成等差数列,得2b=a+c。②联立①②两式，得（a+c）2=4ac,即(a—c)2=0,于是得a=c，这与a，b,c构成公差不为0