四川省成都市都一中数学2-1同步检测第三章第5课时用向量计算空间角含答案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第5课时用向量计算空间角基础达标(水平一）1。已知直线l1上有A(1，1，1）,B(-1,0,4）两点，直线l2上有C(3,-2，1),D(2,1,—1)两点，则异面直线l1与l2所成的角为（).A。π6B。5π6C.π3【解析】l1的方向向量为AB=（-2,-1，3）,l2的方向向量为CD=（—1，3,-2），设l1与l2的夹角为θ，则有cosθ=|cos〈AB，CD〉｜=12,故直线l1与l2所成的角为π【答案】C2。已知E，F分别是棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1，AD的中点，则直线EF与平面BDD1B1所成的角的正弦值为(）.A。26 B。36 C.1【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,则点D1（0，0,0)，F(1，0，2）,E(2，2,1）,A1(2,0,0)，C1（0，2，0），则EF=（-1，-2,1）。显然A1C1为平面BDD1B1的一个法向量,A1C1=(设EF与平面BDD1B1所成的角为θ，则sinθ=｜cos<EF，A1=|EF·A【答案】B3。把正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角,E,F分别是AD，BC的中点，O是正方形中心，则折起后,∠EOF的大小为(）。A。60° B.90° C.120° D。150°【解析】∵OE=12(OA+OD),OF=12（OB+∴OE·OF=14(OA·OB+OA·OC+OD·OB+OD·OC）=—14｜OA｜又∵|OE|=|OF｜=22｜OA|∴cos〈OE,OF〉=-14|OA|212|【答案】C4。正方形ABCD所在平面外有一点P满足PA⊥平面ABCD,若PA=AB,则平面PAB与平面PCD的夹角为（）。A。30° B。45° C。60° D。90°【解析】如图，建立空间直角坐标系，设PA=AB=1，则点A（0，0,0),D（0，1，0），P(0，0，1）。∴AD=（0，1,0).取PD的中点E，则点E0,12,12易知AD是平面PAB的法向量，AE是平面PCD的法向量，∴cos〈AD,AE〉=AD·AE|∴平面PAB与平面PCD的夹角为45°.【答案】B5。如图,A1B1C1-ABC是直三棱柱，∠BCA=90°,D1，F1分别是A1B1，A1C1的中点,若BC=CA=CC1,则D1B与AF1夹角的余弦值是。【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，设BC=CA=CC1=2,所以点A(2，0,0）,B（0，2，0），因为D1,F1分别为A1B1,A1C1的中点,所以点D1(1,1,2)，F1（1，0，2），所以D1B=(-1，1，-2),AF1=（-1,所以D1B·AF1=（—1,1，-2)·(—1，0，2)=-3,｜D1B｜=1+1+4=6，|所以｜cos<D1B,AF1>|=所以异面直线D1B与AF1的夹角的余弦值为3010【答案】306.在空间中,已知平面α过点（3，0，0）和(0，4,0）及z轴上一点（0，0，a)(a>0）,若平面α与平面xOy的夹角为45°,则a=.【解析】平面xOy的一个法向量为n=(0,0，1）,设平面α的法向量为u=(x，y，z），则-3x+4取z=1,则u=a3|cos<n,u>|=1a29因为a>0，所以a=125【答案】127.如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD，AB=4，AD=22，CD=2,PA⊥平面ABCD,PA=4.（1)求证:BD⊥平面PAC.(2)点Q为线段PB的中点,求直线QC与平面PAC所成角的正弦值。【解析】建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.则点A(0,0，0)，D（0,22,0）,B(4，0,0)，P(0，0，4),C（2，22,0）,Q（2,0，2）.(1)∵BD=（-4，22,0），AP=(0，0，4），AC=(2,22，0)，∴BD·AP=0,BD·AC=-8+8=0,∴BD⊥AP,BD⊥AC.又∵AP∩AC=A，∴BD⊥平面PAC。（2）CQ=(0，-22，2).设平面PAC的法向量为n=(x，y,z),则n·AP令x=1，则y=—22，z=0∴n=1,-设直线QC与平面PAC所成的角为θ，则sinθ=|cos〈CQ，n>|=|CQ·n||故直线QC与平面PAC所成角的正弦值为23拓展提升(水平二）8。如图，在三棱锥P—ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=90°，D，E，F分别是棱AB,BC,CP的中点，AB=AC=1,PA=2，则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为()。A.15 B。C.55 D.【解析】如图，建立空间直角坐标系，则点A（0，0,0)，B(1，0，0)，C（0，1，0),P(0,0,2），D12,0,0,E所以PA=（0，0，-2)，DE=0,12,0设n=(x,y，z）是平面DEF的法向量,则n·DE取x=2，则z=1,y=0,所以n=（2,0,1）是平面DEF的一个法向量，设直线PA与平面DEF所成的角为θ,则sinθ=|cos〈n,PA〉｜=|n·PA||【答案】C9.如图,以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕,把△ABD与△ACD折成互相垂直的两个平面后,有以下四个结论:①BD·AC≠0；②∠BAC=60°；③三棱锥D—ABC是正三棱锥；④平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直.其中正确结论的序号是.（请把正确结论的序号都填上)

【解析】易知折叠后AD⊥BD，AD⊥CD,BD⊥CD，设AD=BD=CD=1，如图，以D为原点,DB，DC,DA所在直线分别为x轴，y轴,z轴建立空间直角坐标系,则点A（0,0,1），B（1，0，0)，C(0，1,0)，D（0，0，0）.①BD=（—1，0，0）,AC=(0,1，—1）,故BD·AC=0,①不正确;②AB=（1，0，-1)，AC=(0，1，-1），cos∠BAC=AB·AC|AB||AC|=12×2③显然AD=BD=CD，且AD⊥BD,AD⊥CD,BD⊥CD，易得三棱锥D-ABC是正三棱锥，③正确；④易得平面ADC的一个法向量是m=(1，0,0），设平面ABC的法向量为n=（x,y，z），则由n⊥AB,n⊥AC,可得n·AB=x-z=0,n·AC=y-z=0,令x=1，可得平面ABC的一个法向量为n=【答案】②③10.在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是棱CC1上任意一点，若直线AP与平面BDD1B1所成角的正弦值为223,则点P的位置在【解析】如图，以C为坐标原点，CD,CB,CC1所在直线分别为x轴,y轴，z轴建立空间直角坐标系，设CP=m(0≤m≤1）,则点C（0,0，0），A（1，1，0）,P(0,0，m),AP=（—1,—1，m），而平面BDD1B1的一个法向量为CA=（1,1,0）,设AP与平面BDD1B1所成的角为θ，则sinθ=|cos〈AP，CA>|=|AP·CA||AP||CA|=|-2|2+m2·2【答案】棱CC1的中点11.如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧棱A1A⊥底面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,AD=DC=1,AA1=AB=2，E为棱AA1的中点。（1）证明：B1C1⊥CE.(2）求二面角B1—CE-C1的正弦值。(3)设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为26，求线段AM的长【解析】如图，以A为原点建立空间直角坐标系，依题意得点A（0,0,0)，B(0,0,2),C(1,0,1),B1（0，2，2),C1（1,2，1),E（0，1，0).（1)易得B1C1=（1,0,—1）,CE=(-1,1∴B1C1·∴B1C1⊥CE。（2）B1C=(1,-2，—1).设平面B1CE的法向量为m=（x，y,则B⇒x-2y-z=0,-x+y-z=0,消去x得y+2z=0，不妨取z=1，由（1)知B1C1⊥CE，又因为CC1⊥B1C1，CE∩CC1=C，所以B1C1⊥平面CEC1,故B1C1=（1,0，—1）为平面CEC所以cos<m,B1C1〉=m·B所以sin〈m，B1C1故二面角B1-CE—C1的正弦值为217（3)AE=(0，1,0）,EC1=(1，1，1）.设EM=λEC1=（λ,λ,λ）,0≤λ≤1，则AM=AE+EM=(λ，λ+1