四川省成都市都一中数学2-1同步检测第三章第3课时空间向量的正交分解及其坐标表示含答案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第3课时空间向量的正交分解及其坐标表示基础达标（水平一)1.设命题p：a,b,c是三个非零向量；命题q：{a,b,c}为空间的一个基底.则命题p是命题q的()。A。充分不必要条件B。必要不充分条件C。充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】由空间基底的概念知,p⇒/q，但q⇒p，故p是q的必要不充分条件。【答案】B2.若点A(1，-2，1),B(4，2，3），C（6,—9，4),则△ABC的形状是（）。A。锐角三角形 B。直角三角形C。钝角三角形 D。等腰三角形【解析】由题意知AB=（3，4,2）,AC=（5，-7,3),BC=（2，-11,1)，所以AB·AC=—7<0,得A为钝角,所以该三角形是钝角三角形。【答案】C3.若a=（1，0，2），b=（-1,2,1），且(ta+b)⊥b,则实数t的值是()。A.0 B.—2 C。—6 D。—8【解析】因为a=（1,0，2),b=（—1，2,1),所以ta+b=(t-1，2,2t+1)。又因为（ta+b）⊥b,所以(ta+b）·b=—(t-1）+4+2t+1=0，所以t=—6.【答案】C4。有下列4个命题：①若p=xa+yb，则p与a，b共面;②若p与a，b共面，则p=xa+yb;③若MP=xMA+yMB,则P，M,A,B四点共面;④若P，M，A，B四点共面，则MP=xMA+yMB.其中真命题的个数是（）.A。1 B.2 C.3 D.4【解析】①正确；②中，若a，b共线，p与a不共线，则p=xa+yb就不成立;③正确；④中，若M,A，B三点共线,点P不在此直线上，则MP=xMA+yMB不成立。故选B.【答案】B5。在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，若AC1=xAB+2yBC+3zC1C,【解析】如图，AC1=AB+BC+CC1=AB+因为AC1=xAB+2yBC+3z所以x=1,所以x+y+z=1+12-13=【答案】76.已知a=(cosα，1,sinα），b=（sinα,1，cosα)，则向量a+b与a-b的夹角为。

【解析】由题意知a+b=（cosα+sinα，2,sinα+cosα）,a—b=(cosα-sinα，0,sinα—cosα），所以(a+b）·(a-b）=cos2α—sin2α+sin2α—cos2α=0，所以a+b与a—b的夹角为90°.【答案】90°7。已知{e1，e2，e3｝为空间的一个基底，且OA=e1+2e2-e3，OB=—3e1+e2+2e3，OC=e1+e2-e3,能否以OA,OB,OC作为空间的一个基底?【解析】假设OA,OB,OC共面。根据向量共面的充要条件，有OA=xOB+yOC(x，y∈R),即e1+2e2—e3=x(-3e1+e2+2e3）+y(e1+e2—e3）=（-3x+y）e1+（x+y）e2+(2x-y）e3，∴-3x∴OA,OB，OC不共面.∴｛OA,OB,OC}可作为空间的一个基底.拓展提升（水平二）8。已知{a，b，c}是空间的一个基底,{a+b,a—b，c｝是空间的另一个基底,若向量p在基底{a，b,c}下的坐标为(4,2，3），则向量p在基底{a+b，a—b,c｝下的坐标是（）。A.(4，0,3） B.（3,1,3)C。(1,2，3） D。（2,1，3)【解析】设p在基底{a+b,a—b，c｝下的坐标为（x,y，z),则p=x(a+b）+y（a-b)+zc=（x+y）a+（x—y）b+zc。①∵p在基底｛a,b,c}下的坐标为(4，2,3）,∴p=4a+2b+3c,②由①②得x+y即p在基底{a+b,a-b，c｝下的坐标为（3,1，3)。【答案】B9.设动点P在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1的对角线BD1上，记D1PD1B=λ,当∠APC为钝角时，λA。13,C.12,【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则点A(1,0，0),B(1,1,0），C（0，1,0)，D1（0，0,1)，所以D1B=（1，1，—1），D1P=λD1B=（D1A=(1,0，—1)，D1C=(0,故PA=PD1+D1A=（1—λ，-λ，λ—1)，PC=PD1+D1C=显然∠APC不是平角.由∠APC为钝角得PA·PC<0，即-λ（1—λ）-λ(1—λ)+(λ-1）2〈0，故（λ—1)(3λ—1）<0，解得13【答案】D10.设点C（2a+1，a+1,2）在由点P(2,0,0），A（1,—3，2),B（8,—1,4）确定的平面上，则a=.

【解析】由题意得PA=（-1,-3,2）,PB=(6,—1,4),PC=(2a-1,a+1,2）.根据共面向量定理,设PC=xPA+yPB（x，y∈R）,则(2a-1，a+1,2）=x（-1,—3,2）+y(6,—1，4）=(—x+6y，—3x-y,2x+4y)，即2a-【答案】1611.已知向量a=(1,-3，2），b=（—2,1,1)，点A（—3，—1，4）,B（-2,-2,2）。（1)求|2a+b|；（2）在直线AB上是否存在一点E，使OE⊥b（O为原点）?【解析】(1）2a+b=（2，—6,4)+(—2,1，1）=（0,-5，5)，所以｜2a+b|=02+(-（2)OE=OA+AE=OA+tAB=（—3，-1,4)+t(1，—1，—2）=(-3+t，-1—t,4—2t）(t∈R)，若OE⊥b,则OE·b=0,即-2(—3+t)+（—1—t）+(4—2t