黑龙江省绥化市2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题（理科）（A卷）含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精黑龙江省绥化市2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题（理科）（A卷）含解析2019—2020学年绥化市高二第二学期期末数学试卷(理科）（A卷）一、选择题（共12小题）。1．设集合U＝｛x|1≤x≤10，x∈Z},A＝｛1，3,5,7，8},B＝{2，4，6，8},则(∁UA）∩B＝()A．｛2，4，6，7} B．{2，4,5,9} C．｛2,4，6，8} D．{2,4，6，}2．已知z＝（1+i）（2﹣i），则|z｜2＝(）A．2+i B．3+i C．5 D．103．函数f(x）＝+的定义域为(）A．［﹣2，0）∪（0，2] B．(﹣1,0)∪(0，2] C．[﹣2，2] D．(﹣1,2］4．用数学归纳法证明1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）时，第一步应验证不等式()A． B． C． D．5．已知f（x）是偶函数,且在（0，+∞）上单调递增,则函数f（x）可以是（）A．f（x）＝x4﹣2x2 B．f（x)＝ C．f（x)＝xsinx D．f（x）＝+cosx6．一件产品要经过2道独立的加工工序，第一道工序的次品率为a,第二道工序的次品率为b，则产品的正品率为（）A．1﹣a﹣b B．1﹣a•b C．（1﹣a)•(1﹣b） D．1﹣（1﹣a）•（1﹣b）7．已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2）(σ＞0），且P（X＞0）＝0。9,则P（2＜X＜4）＝（）A．0。2 B．0.3 C．0.4 D．0。68．给出下列命题：①命题“若b2﹣4ac＜0，则方程ax2+bx+c＝0（a≠0)无实根”的否命题;②命题“在△ABC中，AB＝BC＝CA,那么△ABC为等边三角形”的逆命题；③命题“若a＞b＞0，则"的逆否命题；④“若m≥1，则mx2﹣2（m+1）x+（m+3）≥0的解集为R”的逆命题；其中真命题的序号为（）A．①②③④ B．①②④ C．②④ D．①②③9．已知函数f（x）＝，且f（a）＝﹣3,则f（6﹣a）＝（)A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣10．已知a＝21.2，b＝（）﹣0。8，c＝ln2,则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a11．已知x、y的取值如下表所示:x0134y2。24.34。86.7若从散点图分析，y与x线性相关，且＝0.95x+,则的值等于（）A．2.6 B．6。3 C．2 D．4.512．f（x）的定义域为R，且f(x）＝，若方程f(x）＝x+a有两不同实根，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，1） B．(﹣∞，1] C．(0，1） D．（﹣∞，+∞)二．填空题（共4题,每题5分）13．命题“∃x0∈R，4x02﹣ax0+1＜0”为假命题，则实数a的取值范围是．14．设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝,i＝1,2,3，则P（X＝2）＝．15．定义在（﹣1，1）上的函数f（x）＝﹣3x+sinx,如果f（1﹣a）+f（1﹣a2）＞0，则实数a的取值范围为．16．点P(1，0)到曲线（其中参数t∈R）上的点的最短距离为．三．解答题（共6道题17题10分其余各题12分满分70分）17．已知复数z＝,求复数z在复平面内对应的点，到点（﹣1,2）的距离．18．在极坐标系中，直线l的极坐标方程为(ρ∈R）．以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程为(α为参数）．（1)请写出直线l的参数方程；(2）求直线l与曲线C交点P的直角坐标．19．设甲、乙两位同学上学期间，每天7:30之前到校的概率均为．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．（Ⅰ)用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅱ）设M为事件“上学期间的三天中,甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”,求事件M发生的概率．20．某公司为了提高某产品的收益，向各地作了广告推广，同时广告对销售收益也有影响,在若干地区各投入4万元广告费用，并将各地区的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示），且拟定一个合理的收益标准t(百万元）,由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的．（1)根据频率分布直方图,计算图中各小长方形的宽度；(2）根据频率分布直方图,若该公司想使74％的地区的销售收益超过标准t（百万元），估计t的值；（3)按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表:广告投入x（单位：万元）12345销售收益y（单位：百万元)23257表中的数据显示，x与y之间存在线性相关关系，计算y关于x的回归方程．（回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝，）．21．已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16,16．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．(Ⅰ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?（Ⅱ）若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．（i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；(ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率．22．为了搞好某运动会的接待工作，组委会招募了16名男志愿者和14名女志愿者,调查发现，男、女志愿者中分别有10人和6人喜爱运动，其余人不喜爱运动．（1)根据以上数据完成如表2×2列联表：喜爱运动不喜爱运动总计男1016女614总计30(2）根据列联表的独立性检验,能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为性别与喜爱运动有关?（3）如果从喜欢运动的女志愿者中（其中恰有4人会外语），抽取2名负责翻译工作,那么抽出的志愿者中至少有1人能胜任翻译工作的概率是多少？附：P(K2≥k)0.0500.0100。001k3.8416。63510。828K2＝．

参考答案一．选择题（共12小题，每题5分)1．设集合U＝{x|1≤x≤10，x∈Z}，A＝｛1,3，5，7，8｝，B＝｛2，4，6，8},则（∁UA）∩B＝（）A．｛2，4,6，7｝ B．{2,4，5，9} C．｛2，4，6，8｝ D．{2，4,6,｝【分析】先求出∁UA＝{2,4，6，9,10}，由此能求出（∁UA)∩B．解：∵集合U＝｛x|1≤x≤10，x∈Z｝＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，A＝｛1，3，5，7，8},B＝｛2，4，6，8}，∴∁UA＝{2,4，6，9，10}，∴(∁UA）∩B＝{2，4，6}．故选：D．2．已知z＝（1+i）（2﹣i），则|z|2＝(）A．2+i B．3+i C．5 D．10【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．解：由z＝（1+i）(2﹣i）＝3+i，得｜z|2＝．故选：D．3．函数f（x）＝+的定义域为（）A．[﹣2，0）∪(0，2] B．(﹣1，0）∪(0，2］ C．[﹣2，2] D．(﹣1，2］【分析】分式的分母不为0,对数的真数大于0，被开方数非负，解出函数的定义域．解：要使函数有意义，必须:，所以x∈(﹣1，0）∪(0，2]．所以函数的定义域为：（﹣1，0)∪(0，2]．故选：B．4．用数学归纳法证明1+++…+＜n（n∈N＊，n＞1）时，第一步应验证不等式(）A． B． C． D．【分析】直接利用数学归纳法写出n＝2时左边的表达式即可．解：用数学归纳法证明（n∈N+,n＞1)时，第一步应验证不等式为：;故选:B．5．已知f（x）是偶函数,且在（0，+∞）上单调递增,则函数f（x）可以是（）A．f（x）＝x4﹣2x2 B．f（x)＝ C．f（x）＝xsinx D．f(x）＝+cosx【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与在区间（0,+∞）上的单调性,综合即可得答案．解:根据题意，依次分析选项:对于A，f（x）＝x4﹣2x2,其定义域为R，有f（﹣x)＝x4﹣2x2＝f（x)，是偶函数，其导数f′（x）＝4x3﹣4x＝4x（x2﹣1）,在区间（0,1)上，f′（x）＜0,f(x）为减函数，不符合题意；对于B，f(x）＝，其定义域为R,有f（﹣x）＝＝f（x），是偶函数，其导数f′（x）＝，在区间（0,+∞）上,f′(x）＞0,f(x）为增函数,符合题意；对于C,f(x）＝xsinx，其定义域为R，有f（﹣x）＝（﹣x)sin(﹣x）＝xsinx＝f（x），是偶函数，有f（）＝＞0，但f（)＝﹣＜0，在(0，+∞）上不是增函数,不符合题意;对于D,(x）＝+cosx,其定义域为R，有f（﹣x)＝（﹣x）2+cos（﹣x）＝+cosx＝f（x），是偶函数，有f（0）＝1，f（)＝+＜1，在（0，+∞）上不是增函数,不符合题意;故选:B．6．一件产品要经过2道独立的加工工序，第一道工序的次品率为a,第二道工序的次品率为b，则产品的正品率为（）A．1﹣a﹣b B．1﹣a•b C．（1﹣a）•（1﹣b） D．1﹣（1﹣a）•（1﹣b)【分析】经过这每道工序出来的产品是否为正品，是相互独立的，第一道工序的正品率为1﹣a,第二道工序的正品率为1﹣b，再利用相互独立事件的概率乘法公式求得产品的正品率．解:由题意可得，当经过这第一道工序出来的产品是正品,且经过这第二道工序出来的产品也是正品时，得到的产品才是正品．经过这每道工序出来的产品是否为正品，是相互独立的．第一道工序的正品率为1﹣a，第二道工序的正品率为1﹣b，故产品的正品率为（1﹣a）•（1﹣b),故选：C．7．已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2）（σ＞0），且P（X＞0）＝0。9，则P（2＜X＜4）＝（）A．0.2 B．0。3 C．0。4 D．0.6【分析】根据正态分布曲线的性质，可得P（0＜X＜2）＝P(2＜X＜4），结合P（X＞0）＝0.9，易求得结果．解：因为随机变量X服从正态分布N（2，σ2)（σ＞0)，且P（X＞0）＝0。9，所以该正态分布曲线的对称轴为x＝2，故P(X＜2）＝P（X＞2）＝0。5,所以P（2＜X＜4）＝P（0＜X＜2)＝P（X＞0）﹣P(X＞2）＝0.9﹣0。5＝0。4．故选：C．8．给出下列命题:①命题“若b2﹣4ac＜0,则方程ax2+bx+c＝0（a≠0）无实根”的否命题；②命题“在△ABC中,AB＝BC＝CA，那么△ABC为等边三角形"的逆命题；③命题“若a＞b＞0,则”的逆否命题；④“若m≥1，则mx2﹣2（m+1)x+（m+3）≥0的解集为R”的逆命题;其中真命题的序号为（）A．①②③④ B．①②④ C．②④ D．①②③【分析】分别写出命题的否命题、逆命题和逆否命题、逆命题，判断真假即可得到结论．解：①命题“若b2﹣4ac＜0,则方程ax2+bx+c＝0（a≠0)无实根”的否命题为“若b2﹣4ac≥0，则方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有实根”，故①正确;②命题“在△ABC中，AB＝BC＝CA，那么△ABC为等边三角形”的逆命题为“若△ABC为等边三角形,可得AB＝BC＝CA”,故②正确；③命题“若a＞b＞0，则”正确,其逆否命题与原命题等价,故③正确；④“若m≥1，则mx2﹣2(m+1）x+（m+3）≥0的解集为R”的逆命题为“若mx2﹣2(m+1）x+（m+3）≥0的解集为R，则m≥1”由m＝0，可得﹣2x+3≥0不恒成立；由m＞0，且△＝4（m+1）2﹣4m（m+3）≤0，解得m≥1,故④正确．故选：A．9．已知函数f(x）＝，且f（a)＝﹣3，则f（6﹣a）＝（）A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣【分析】利用分段函数，求出a，再求f(6﹣a）．解：由题意,a≤1时，2α﹣1﹣2＝﹣3，无解;a＞1时，﹣log2(a+1）＝﹣3，∴α＝7，∴f（6﹣a）＝f（﹣1）＝2﹣1﹣1﹣2＝﹣．故选:A．10．已知a＝21。2，b＝(）﹣0.8，c＝ln2，则a,b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a【分析】根据指数函数以及对数函数的性质判断即可．解：a＝21。2＞2＞b＝()﹣0.8，＝20。8＞1＞c＝ln2，故a＞b＞c，故选：B．11．已知x、y的取值如下表所示：x0134y2。24.34。86.7若从散点图分析,y与x线性相关,且＝0.95x+，则的值等于（）A．2。6 B．6.3 C．2 D．4。5【分析】首先求出这组数据的横标和纵标的平均数，写出这组数据的样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程求出a的值解:∵＝4。5,∴这组数据的样本中心点是（2，4.5)∵y与x线性相关，且＝0.95x+，∴4。5＝0.95×2+a，∴a＝2。6，故选：A．12．f（x）的定义域为R，且f（x）＝,若方程f（x）＝x+a有两不同实根,则a的取值范围为（)A．（﹣∞,1） B．（﹣∞，1] C．（0，1） D．（﹣∞，+∞）【分析】由已知中函数的解析式，我们易分析出函数的图象在Y轴右侧呈周期性变化，结合函数在x≤0时的解析式，我们可以画出函数的像,根据图象易分析出满足条件的a的取值范围．解：x≤0时,f（x）＝2﹣x﹣1，0＜x≤1时,﹣1＜x﹣1≤0，f(x)＝f(x﹣1）＝2﹣（x﹣1）﹣1．故x＞0时,f（x）是周期函数，如图，欲使方程f（x)＝x+a有两解，即函数f(x）的图象与直线y＝x+a有两个不同交点，故a＜1，则a的取值范围是(﹣∞，1）．故选：A．二．填空题(共4题,每题5分)13．命题“∃x0∈R，4x02﹣ax0+1＜0”为假命题，则实数a的取值范围是［﹣4，4］．【分析】写出特称命题的否定，可得全称命题为真命题,再由判别式小于等于0求解．解：命题“∃x0∈R，4x02﹣ax0+1＜0”为假命题,则其否定“∀x∈R，4x2﹣ax+1≥0”为真命题，∴△＝a2﹣16≤0,可得﹣4≤a≤4．∴实数a的取值范围是[﹣4,4］．故答案为：[﹣4,4］．14．设随机变量X的分布列为P（X＝i）＝，i＝1，2，3，则P（X＝2）＝．【分析】由分布列的性质得＝1,从而求出a＝3，由此能求出P（X＝2）．解：∵随机变量X的分布列为P（X＝i）＝，i＝1,2，3，∴＝1，解得a＝3，∴P（X＝2）＝＝．故答案为：．15．定义在(﹣1，1）上的函数f（x）＝﹣3x+sinx，如果f（1﹣a)+f（1﹣a2)＞0,则实数a的取值范围为(1，）．【分析】先求出函数是奇函数且是减函数,从而得到1﹣a＜a2﹣1，结合函数的定义域，从而求出a的范围．解:∵f（﹣x)＝3x﹣sinx＝﹣（3x+sinx）＝﹣f（x）,是奇函数,又f′（x）＝﹣3+cosx＜0，是减函数，若f（1﹣a）+f（1﹣a2）＞0，则f（1﹣a)＞f（a2﹣1）,则1﹣a＜a2﹣1，解得:a＞1或a＜﹣2，由，解得：0＜a＜，综上：1＜a＜，故答案为：（1，）．16．点P（1，0）到曲线(其中参数t∈R）上的点的最短距离为1．【分析】设曲线（其中参数t∈R）上的任意一点Q（t2，2t），利用两点之间的距离公式、二次函数的单调性即可得出．解：设曲线（其中参数t∈R）上的任意一点Q（t2，2t），则|PQ|＝＝t2+1≥0，当t＝0时,取等号．∴要求的最短距离为1．故答案为：1．三．解答题（共6道题17题10分其余各题12分满分70分）17．已知复数z＝，求复数z在复平面内对应的点，到点（﹣1，2）的距离．【分析】根据复数的运算法则进行化简，结合复数的几何意义以及两点间的距离公式进行计算即可．解：因为z＝＝＝＝2﹣i，复数z在复平面内对应的点为（2，﹣1），到点(﹣1，2）的距离为＝＝3，18．在极坐标系中，直线l的极坐标方程为（ρ∈R）．以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程为（α为参数）．（1)请写出直线l的参数方程；（2）求直线l与曲线C交点P的直角坐标．【分析】（1)直线l的极坐标方程为（ρ∈R）．利用倾斜角可得直线l的参数方程．（2）曲线C的参数方程为(α为参数）,可得普通方程:y＝1﹣[1﹣2],化为：x2＝2y．把直线l的参数方程(t为参数）．化为普通方程：y＝x．联立，解得直线l与曲线C交点P的直角坐标．解：(1）直线l的极坐标方程为（ρ∈R）．可得直线l的参数方程(t为参数）．（2)曲线C的参数方程为（α为参数），可得普通方程：y＝1﹣[1﹣2］，化为：x2＝2y．把直线l的参数方程（t为参数）．化为普通方程：y＝x．联立，解得：x＝0，y＝0．或x＝2,y＝6．∴直线l与曲线C交点P的直角坐标为（0，0）或（2，6）．19．设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立．（Ⅰ）用X表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅱ）设M为事件“上学期间的三天中,甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2"，求事件M发生的概率．【分析】（I)甲上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为，故X～B（)，可求分布列及期望；(II）设乙同学上学期间的三天中7:30到校的天数为Y，则Y～B（3,）,且M＝｛X＝3，Y＝1｝∪｛X＝2，Y＝0}，由题意知｛X＝3，Y＝1｝与{X＝2，Y＝0｝互斥，且｛X＝3}与｛Y＝1},｛X＝2｝与｛Y＝0}相互独立,利用相互对立事件的个概率公式可求解：（I）甲上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为，故X～B（3，），从而P（X＝k）＝，k＝0，1,2，3．所以，随机变量X的分布列为:X0123P随机变量X的期望E（X）＝3×＝2．（II）设乙同学上学期间的三天中7：30到校的天数为Y，则Y～B（3，），且M＝{X＝3，Y＝1}∪｛X＝2,Y＝0｝，由题意知｛X＝3，Y＝1｝与{X＝2,Y＝0｝互斥,且｛X＝3｝与｛Y＝1｝，{X＝2}与｛Y＝0}相互独立，由(I）知，P（M）＝P（｛X＝3，Y＝1｝∪{X＝2，Y＝0}＝P（{X＝3，Y＝1｝+P{X＝2，Y＝0｝＝P（X＝3）P(Y＝1）+P（X＝2）P（Y＝0)＝＝20．某公司为了提高某产品的收益，向各地作了广告推广，同时广告对销售收益也有影响，在若干地区各投入4万元广告费用，并将各地区的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示)，且拟定一个合理的收益标准t（百万元)，由于工作人员操作失误,横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的．(1）根据频率分布直方图，计算图中各小长方形的宽度；（2）根据频率分布直方图，若该公司想使74%的地区的销售收益超过标准t(百万元），估计t的值;（3）按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表:广告投入x（单位：万元）12345销售收益y（单位:百万元）23257表中的数据显示，x与y之间存在线性相关关系，计算y关于x的回归方程．（回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝,）．【分析】(Ⅰ）根据频率分布直方图，由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可计算图中各小长方形的宽度；(Ⅱ）根据长方形的面积表示概率，得到关于t的方程，解出即可；（Ⅲ）求出回归系数，即可得出结论．解：（Ⅰ)设各小长方形的宽度为m，由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知（0。08+0。1+0。14+0.12+0.04+0.02)•m＝0.5m＝1，故m＝2；…（Ⅱ）由（Ⅰ）知各小组依次是[0，2），[2，4）,[4，6），[6，8),［8，10)，［10，12]，1﹣0。74＝0。26，由估计值是t百万元,得0。08×2+（t﹣2)×0。1＝0.26，解得：t＝3，…（Ⅲ）由题意可知，＝（1+2+3+4+5）＝3,＝（2+3+2+5+7）＝3.8，xiyi＝1×2+2×3+3×2+4×5+5×7＝69，＝12+22+32+42+52＝55，根据公式，可求得＝＝1.2,＝3。8﹣1.2×3＝0.2，即回归直线的方程为＝1.2x+0.2．…21．已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．(Ⅰ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（Ⅱ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．(i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X的分布列与数学期望；（ii)设A为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率．【分析】（Ⅰ）利用分层抽样，通过抽样比求解应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取人数；(Ⅱ）若（i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，的可能值，求出概率,得到随机变量X的分布列，然后求解数学期望；（ii)利用互斥事件的概率求解即可．解：（Ⅰ)单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．人数比为：3：2：2，从中抽取7人现