抛物线的简单几何性质

课题：2.4.2抛物线的简单几何性质（一）总第个教案课型：新授课上课时间：年月日星期____教学目标1.知识与技能(1)通过对抛物线图形的研究，让学生熟悉抛物线的几何性质（对称性、范围、顶点、离心率）以及离心率的大小对抛物线形状的影响，进一步加强数形结合的思想。。(2)熟练掌握抛物线的几何性质，会用抛物线的几何性质解决相应的问题。2.过程与方法通过讲解抛物线的相关性质，理解并会用抛物线的相关性质解决问题。3.情感、态度与价值观(1)学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；(2)培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力。教学重点抛物线的几何性质，数形结合思想的贯彻，运用曲线方程研究几何性质教学难点数形结合思想的贯彻，运用曲线方程研究几何性质。教学方法对比法、数形结合。教学过程：批注活动一：创设情景、引入课题（5分钟）问题1：前面两节课，说一说所学习过的内容？抛物线的定义？四种不同抛物线方程的对比？问题2：类比椭圆、双曲线的几何性质，你认为抛物线有那些的几何性质？通过它的形状，你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？抛物线上哪些点比较特殊？点题：今天我们学习“抛物线的简单几何性质”活动二：师生交流、进入新知，（20分钟）一、抛物线的简单几何性质1．范围：，由知，抛物线上点的坐标满足不等式，当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方或右下方无限延伸。2．对称性：抛物线关于轴对称.在曲线方程里，若以代替方程不变，所以若点在曲线上时，点也在曲线上，所以曲线关于轴对称.这时，坐标轴轴是抛物线的对称轴。3．顶点：坐标原点（0，0）在抛物线的标准方程中，令，得4．离心率：抛物线上的点M到焦点的焦距与它到准线的距离的比叫抛物线的离心率.问题3：说出当满足下列条件时，曲线是什么图形？（1）当0＜e＜1时，（2）当e＞1时，（3）当e=1时。5.焦半径：抛物线上任一点到焦点的距离(即此点的焦半径)等于此点到准线的距离．设为抛物线y2=2px上任一点，F（，0）是抛物线的焦点，则|PF|=+.6.由焦半径公式不难得出焦点弦长公式：设AB是过抛物线焦点的一条弦(焦点弦)，若A(x1，y1)、B(x2，y2)，则有|AB|=x1+x2+p．特别地：当AB⊥x轴时，抛物线的通径|AB|=2p练习：完成下列表格标准方程图像范围对称性顶点离心率焦点坐标准线方程开口方向例3：已知：抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，求它的标准方程，并用描点法画出图形．解：略问题4：思考顶点在坐标原点，并且经过点的抛物线有几条？求出它的标准方程。练习：书本P72页练习1、2活动三：合作学习、探究新知（18分钟）例4：斜率为1的直线经过抛物线的焦点,且与抛物线相交于、两点,求线段的长。解：法一弦长公式法二设、，则∵将直线代入得，∴又∵由抛物线定义得，所以．小结：过抛物线焦点的弦长求法：法一弦长公式；法二：焦点弦的长度．补充练习:1、过抛物线的焦点,作倾斜角为的直线,求被抛物线截得的弦长．2、书本P72页练习3例5：过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点F的一条直线与这抛物线相交于A、B两点，且A(x1，y1)、B(x2，y2)(图2-34)．证明：(1)当AB与x轴不垂直时，设AB方程为：此方程的两根y1、y2分别是A、B两点的纵坐标，则有y1y2=-p2．或y1=-p，y2=p，故y1y2=-p2．综合上述有y1y2=-p2又∵A(x1，y1)、B(x2，y2)是抛物线上的两点，练习：求证：以通过抛物线焦点的弦为直径的圆必与抛物线的准线相切．证明：（法一）设抛物线方程为，则焦点，准线．设以过焦点的弦为直径的圆的圆心，、、在准线上的射影分别是、、，则∵由抛物线的定义知，由梯形的中位线性质定理知∴，即为以为直径的圆的半径又∵准线，∴命题成立．（法二）设抛物线方程为，则焦点，准线．过点的抛物线的弦的两个端点、，线段的中点，则∵，∴以通过抛物线焦点的弦为直径的圆的半径．又∵点到准线的距离，∴圆与准线相切．活动四：归纳整理、提高认识（2分钟）用表格形式表示一下抛物线的几何性质？活动