第二章有限元分析基础

历史典故结构分析的有限元方法是由一批学术界和工业界的探讨者在二十世纪五十年头到二十世纪六十年头创立的。有限元分析理论已有100多年的历史，是悬索桥和蒸汽锅炉进行手算评核的基础。很多著名的大型有限元软件如NASTRAN、ANSYS、ABAQUS等。其次章有限元分析基础分析指导思想

化整为零，裁弯取直，以简驭繁，变难为易物理系统举例

几何体

载荷

物理系统结构热电磁有限元模型真实系统有限元模型有限元模型是真实系统志向化的数学抽象。定义自由度（DOFs）自由度(DOFs)

用于描述一个物理场的响应特性。结构

DOFsROTZUYROTYUXROTXUZ

分析类型自由度

结构位移

热温度

电电位

流体速度，压力

磁磁位节点和单元节点:空间中的坐标位置，具有确定自由度，存在相互物理作用。单元:

一组节点自由度间相互作用的数值、矩阵描述（称为刚度或系数矩阵)。单元有线、面或实体以及二维或三维的单元等种类。有限元模型由一些简洁形态的单元组成，单元之间通过节点连接，并承受确定载荷。载荷载荷节点和单元(续)每个单元的特性是通过一些线性方程式来描述的。作为一个整体，单元形成了整体结构的数学模型。尽管梯子的有限元模型低于100个方程（即“自由度”），然而在今日一个小的ANSYS分析就可能有5000个未知量，矩阵可能有25,000,000个刚度系数。历史典故ANSYS是随着计算机硬件的发展而发展壮大的。ANSYS最早是在1970年发布的。早期的计算机的处理实力远远落后于今日的PC机。随着HPC（HighPerformanceCompute）技术的发展，目前ANSYS可以求解1亿自由度的工程问题。信息是通过单元之间的公共节点传递的。分别但节点重叠的单元A和B之间没有信息传递(需进行节点合并处理）具有公共节点的单元之间存在信息传递.......AB.......AB1node2nodes节点和单元(续)节点和单元(续)节点自由度是随连接该节点的单元类型变更的。JJIIJJKLILKIPOMNKJIL三维杆单元(铰接)UX,UY,UZ三维梁单元二维或轴对称实体单元UX,UY三维四边形壳单元UX,UY,UZ,三维实体热单元TEMPJPOMNKIL三维实体结构单元ROTX,ROTY,ROTZROTX,ROTY,ROTZUX,UY,UZ,UX,UY,UZ单元形函数FEA仅仅求解节点处的DOF值。单元形函数是一种数学函数，规定了从节点DOF值到单元内全部点处DOF值的计算方法。因此，单元形函数供应出一种描述单元内部结果的“形态”。单元形函数描述的是给定单元的一种假定的特性。单元形函数与真实工作特性吻合好坏程度干脆影响求解精度。单元形函数(续)真实的二次曲线节点单元二次曲线的线性近似

(不理想结果)2节点单元DOF值二次分布1节点单元线性近似(更理想的结果)真实的二次曲线.3节点单元二次近似(接近于真实的二次近似拟合)

(最理想结果)4节点节点节点节点单元形函数(续)遵循:

DOF值可以精确或不太精确地等于在节点处的真实解，但单元内的平均值与实际状况吻合得很好。这些平均意义上的典型解是从单元DOFs推导出来的（如，结构应力，热梯度）。假如单元形函数不能精确描述单元内部的DOFs，就不能很好地得到导出数据，因为这些导出数据是通过单元形函数推导出来的。单元形函数(续)遵循原则:

当选择了某种单元类型时，也就特别确定地选择并接受该种单元类型所假定的单元形函数。在选定单元类型并随之确定了形函数的状况下，必需确保分析时有足够数量的单元和节点来精确描述所要求解的问题。2.2有限元法的发展简史1943年，Courant提出有限元法概念1956年，Turner和Clough第一次用三角形单元离散飞机机翼，借助有限元法概念探讨机翼的强度及刚度1960年，Clough正式提出有限元法（FEM）20世纪60年头，我国数学家冯康把FEM总结成凡是椭圆形偏微分方程都可用FEM求解20世纪60年头以后，由于数学界的参与，FEM得到蓬勃发展，并且扩大了应用发展方向新型单元的探讨有限元的数学理论向新领域扩展应用大型通用程序的编制和设计ANSYS,NASTRAN,ABAQUS开发微机用版本设计自动化及优化设计（CAD,CAE,CAM）有限元法的分类

以方程中未知数代表的意义分类

有限元位移法：未知数为位移有限元力法：未知数为力有限元混合法：未知数为力和位移

以推导方法分类干脆法变分法加权余数法2.3有限元位移法的基本概念有限元分析的基本原理是把限制连续体的微分方程变换为限制离散体的线性代数方程组未知数为位移则称为有限元位移法，若未知数为力则称为有限元力法，若未知数为力和位移则称为有限元混合法有限元位移法的线性代数方程组可写成下式:[Κ]是代数方程组的系数矩阵，称为刚度矩阵{δ}是代数方程组的未知数，称为位移列矩阵{P}是代数方程组的载荷列矩阵考虑探讨对象的边界条件后，求解上式方程组，就可得到探讨对象的位移。虚位移原理2.4

能量变分原理虚位移是结构所允许的随意的微小的假想位移，在发生虚位移过程中真实力所作的功，称为虚功。“假如变形体处于平衡状态，则给以随意微小虚位移，外力所作的总虚功必等于变形体所‘接受’的总虚变形功。”——变形体的虚位移原理也称虚功原理假设结构受到外力F的作用,内部产生应力，在某一时刻发生虚位移，虚位移产生虚应变，则外力F做的虚功在单位体积上，结构的虚变形能为，则整个结构的虚变形能为依据虚位移原理，有能量变分原理结构的势能为