【数学】2023届高考文科一轮专题复习之高效测试22：平面向量的概念及线性运算

第页高效测试22：平面向量的概念及线性运算一、选择题1．如图，正六边形ABCDEF中，eq\o(BA,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→))＋eq\o(EF,\s\up10(→))＝()A．0B.eq\o(BE,\s\up10(→))C.eq\o(AD,\s\up10(→))D.eq\o(CF,\s\up10(→))解析：由于eq\o(BA,\s\up10(→))＝eq\o(DE,\s\up10(→))，故eq\o(BA,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→))＋eq\o(EF,\s\up10(→))＝eq\o(CD,\s\up10(→))＋eq\o(DE,\s\up10(→))＋eq\o(EF,\s\up10(→))＝eq\o(CF,\s\up10(→)).答案：D2．向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b.如果c∥d，那么()A．k＝1且c与d同向B．k＝1且c与d反向C．k＝－1且c与d同向D．k＝－1且c与d反向解析：∵c∥d，∴c＝λd，即ka＋b＝λ(a－b)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝λ,λ＝－1))，应选D.答案：D3．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.假设eq\o(AC,\s\up10(→))＝a，eq\o(BD,\s\up10(→))＝b，那么eq\o(AF,\s\up10(→))＝()A.eq\f(1,4)a＋eq\f(1,2)bB.eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)bC.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)bD.eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)b解析：如下图，作OG∥EF交DC于G，由于DE＝EO，得DF＝FG，又由AO＝OC得FG＝GC，于是eq\o(DF,\s\up10(→))＝eq\f(1,3)eq\o(DC,\s\up10(→))＝eq\f(1,3)(－eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)a)，那么eq\o(AF,\s\up10(→))＝eq\o(AD,\s\up10(→))＋eq\o(DF,\s\up10(→))＝(eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b)＋eq\f(1,3)(－eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)a)＝eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b.答案：B4．△ABC和点M满足eq\o(MA,\s\up10(→))＋eq\o(MB,\s\up10(→))＋eq\o(MC,\s\up10(→))＝0.假设存在实数m使得eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(AC,\s\up10(→))＝meq\o(AM,\s\up10(→))成立，那么m＝()A．2B．3C．4D．5解析：由eq\o(MA,\s\up10(→))＋eq\o(MB,\s\up10(→))＋eq\o(MC,\s\up10(→))＝0得点M是△ABC的重心，可知eq\o(AM,\s\up10(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(AC,\s\up10(→)))，eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(AC,\s\up10(→))＝3eq\o(AM,\s\up10(→))，那么m＝3，选B.答案：B5．四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上(不包括端点C)，那么eq\o(AP,\s\up10(→))＝()A．λ(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(AD,\s\up10(→)))，λ∈(0,1)B．λ(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→)))，λ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))C．λ(eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(AD,\s\up10(→)))，λ∈(0,1)D．λ(eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(BC,\s\up10(→)))，λ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))解析：如下图，eq\o(AC,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(AD,\s\up10(→))，又∵点P在eq\o(AC,\s\up10(→))上，∴eq\o(AP,\s\up10(→))与eq\o(AC,\s\up10(→))同向，且|eq\o(AP,\s\up10(→))|<|eq\o(AC,\s\up10(→))|，故eq\o(AP,\s\up10(→))＝λ(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(AD,\s\up10(→)))，λ∈(0,1)．答案：A6．非零向量eq\o(OA,\s\up10(→))，eq\o(OB,\s\up10(→))不共线，且2eq\o(OP,\s\up10(→))＝xeq\o(OA,\s\up10(→))＋yeq\o(OB,\s\up10(→))，假设eq\o(PA,\s\up10(→))＝λeq\o(AB,\s\up10(→))(λ∈R)，那么点Q(x，y)的轨迹方程是()A．x＋y－2＝0B．2x＋y－1＝0C．x＋2y－2＝0D．2x＋y－2＝0解析：eq\o(PA,\s\up10(→))＝λeq\o(AB,\s\up10(→))，得eq\o(OA,\s\up10(→))－eq\o(OP,\s\up10(→))＝λ(eq\o(OB,\s\up10(→))－eq\o(OA,\s\up10(→)))，即eq\o(OP,\s\up10(→))＝(1＋λ)eq\o(OA,\s\up10(→))－λeq\o(OB,\s\up10(→)).又2eq\o(OP,\s\up10(→))＝xeq\o(OA,\s\up10(→))＋yeq\o(OB,\s\up10(→))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋2λ，,y＝－2λ.))消去λ得x＋y＝2.答案：A二、填空题7．在▱ABCD中，eq\o(AB,\s\up10(→))＝a，eq\o(AD,\s\up10(→))＝b，eq\o(AN,\s\up10(→))＝3eq\o(NC,\s\up10(→))，M为BC的中点，那么eq\o(MN,\s\up10(→))＝________.(用a、b表示)解析：由eq\o(AN,\s\up10(→))＝3eq\o(NC,\s\up10(→))，知N为AC的四等分点．eq\o(MN,\s\up10(→))＝eq\o(MC,\s\up10(→))＋eq\o(CN,\s\up10(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up10(→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up10(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up10(→))－eq\f(1,4)(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(AD,\s\up10(→)))＝－eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AD,\s\up10(→))＝－eq\f(1,4)a＋eq\f(1,4)b.答案：－eq\f(1,4)a＋eq\f(1,4)b8．在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点．假设eq\o(AC,\s\up10(→))＝λeq\o(AE,\s\up10(→))＋μeq\o(AF,\s\up10(→))，其中λ，μ∈R，那么λ＋μ＝__________.解析：eq\o(AC,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(AD,\s\up10(→))，eq\o(AE,\s\up10(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(AD,\s\up10(→))，eq\o(AF,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up10(→))，于是得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)λ＋μ＝1,λ＋\f(1,2)μ＝1))，所以λ＋μ＝eq\f(4,3).答案：eq\f(4,3)9．设V是平面M上所有向量的集合．对于映射f：V→V，a∈V，记a的象为f(a)．假设映射f：V→V满足：对所有a、b∈V及任意实数λ、μ都有f(λa＋μb)＝λf(a)＋μf(b)，那么f称为平面M上的线性变换．现有以下命题：①设f是平面M上的线性变换，那么f(0)＝0；②对a∈V，设f(a)＝2a，那么f是平面M上的线性变换；③假设e是平面M上的单位向量，对a∈V，设f(a)＝a－e，那么f是平面M上的线性变换；④设f是平面M上的线性变换，a、b∈V，假设a、b共线，那么f(a)、f(b)也共线．其中的真命题是________．(写出所有真命题的编号)解析：对于①，f(0)＝f(0·0＋0·0)＝0·f(0)＋0·f(0)＝0，因此①正确．对于②，f(λa＋μb)＝2(λa＋μb)＝λ·(2a)＋μ·(2b)＝λf(a)＋μf(b)，因此②正确．对于③，f(λa＋μb)＝(λa＋μb)－e，λf(a)＋μf(b)＝λ(a－e)＋μ(b－e)＝λa＋μb－(λ＋μ)e，显然(λ＋μ)e与e不恒相等，因此③不正确．对于④，当a、b共线时，假设a、b中有一个等于0，由于f(0)＝0，即此时f(a)、f(b)中有一个等于0，f(a)、f(b)共线；假设a、b中均不等于0，设b＝λa，那么有f(b)＝f(λa)＝f(λa＋0·0)＝λf(a)＋0·f(0)＝λf(a)，此时f(a)、f(b)共线，综上所述，当a、b共线时，f(a)、f(b)共线．综上所述，其中的真命题是①②④.答案：①②④三、解答题10．在△ABC中，eq\o(AD,\s\up10(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up10(→))，eq\o(AE,\s\up10(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up10(→))，BE与CD交于点P，且eq\o(AB,\s\up10(→))＝a，eq\o(AC,\s\up10(→))＝b，用a，b表示eq\o(AP,\s\up10(→)).解析：取AE的三等分点M，使|AM|＝eq\f(1,3)|AE|，连接DM.设|AM|＝t，那么|ME|＝2t.又|AE|＝eq\f(1,4)|AC|，∴|AC|＝12t，|EC|＝9t，且DM∥BE.∴在△DMC中eq\f(CE,CM)＝eq\f(CP,CD)＝eq\f(9,11)∴CP＝eq\f(9,11)CD∴DP＝eq\f(2,11)CDeq\o(AP,\s\up10(→))＝eq\o(AD,\s\up10(→))＋eq\o(DP,\s\up10(→))＝eq\o(AD,\s\up10(→))＋eq\f(2,11)eq\o(DC,\s\up10(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\f(2,11)(eq\o(DA,\s\up10(→))＋eq\o(AC,\s\up10(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\f(2,11)(－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(AC,\s\up10(→)))＝eq\f(3,11)eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\f(2,11)eq\o(AC,\s\up10(→))＝eq\f(3,11)a＋eq\f(2,11)b.11．如图，△OAB中，点C是以A为中心的B的对称点，D是将eq\o(OB,\s\up10(→))分成21的一个内分点，DC和OA交于E，eq\o(OA,\s\up10(→))＝a，eq\o(OB,\s\up10(→))＝b.(1)用a与b表示向量eq\o(OC,\s\up10(→))、eq\o(DC,\s\up10(→))；(2)假设eq\o(OE,\s\up10(→))＝λeq\o(OA,\s\up10(→))，求实数λ的值．解析：(1)依题意，A是BC中点，∵2eq\o(OA,\s\up10(→))＝eq\o(OB,\s\up10(→))＋eq\o(OC,\s\up10(→))，即eq\o(OC,\s\up10(→))＝2eq\o(OA,\s\up10(→))－eq\o(OB,\s\up10(→))＝2a－b.eq\o(DC,\s\up10(→))＝eq\o(OC,\s\up10(→))－eq\o(OD,\s\up10(→))＝eq\o(OC,\s\up10(→))－eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up10(→))＝2a－b－eq\f(2,3)b＝2a－eq\f(5,3)b.(2)设eq\o(OE,\s\up10(→))＝λeq\o(OA,\s\up10(→))，那么eq\o(CE,\s\up10(→))＝eq\o(OE,\s\up10(→))－eq\o(OC,\s\up10(→))＝λa－(2a－b)＝(λ－2)a＋b，∵eq\o(CE,\s\up10(→))与eq\o(DC,\s\up10(→))共线，∴存在实数k，使eq\o(CE,\s\up10(→))＝keq\o(DC,\s\up10(→))，(λ－2)a＋b＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a－\f(5,3)b))，解得λ＝eq\f(4,5).12．如下图，在△ABO中，eq\o(OC,\s\up10(→))＝eq\f(1,4)eq\o(OA,\s\up10(→))，eq\o(OD,\s\up10(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up10(→))，AD与BC相交于点M.设eq\o(OA,\s\up10(→))＝a，eq\o(OB,\s\up10(→))＝b.(1)试用a和b表示向量eq\o(OM,\s\up10(→))；(2)在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过点M，设eq\o(OE,\s\up10(→))＝λeq\o(OA,\s\up10(→))，eq\o(OF,\s\up10(→))＝μeq\o(OB,\s\up10(→))，当EF为AD时，λ＝1，μ＝eq\f(1,2)，此时eq\f(1,λ)＋eq\f(3,μ)＝7；当EF为CB时，λ＝eq\f(1,4)，μ＝1，此时eq\f(1,λ)＋eq\f(3,μ)＝7.有人得出结论：不管E、F在线段AC、BD上如何变动，eq\f(1,λ)＋eq\f(3,μ)＝7总成立．他得出的这个结论正确吗？请说明理由．解析：方法一：(1)设eq\o(OM,\s\up10(→))＝ma＋nb，那么eq\o(AM,\s\up10(→))＝eq\o(OM,\s\up10(→))－eq\o(OA,\s\up10(→))＝ma＋nb－a＝(m－1)a＋nb，eq\o(AD,\s\up10(→))＝eq\o(OD,\s\up10(→))－eq\o(OA,\s\up10(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up10(→))－eq\o(OA,\s\up10(→))＝－a＋eq\f(1,2)b.∵A、M、D三点共线，∴eq\o(AM,\s\up10(→))与eq\o(AD,\s\up10(→))共线．故存在实数t，使得eq\o(AM,\s\up10(→))＝teq\o(AD,\s\up10(→))，即(m－1)a＋nb＝t(－a＋eq\f(1,2)b)，∴(m－1)a＋nb＝－ta＋eq\f(1,2)tb，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－1＝－t，,n＝\f(t,2)，))消去t得m－1＝－2n，即m＋2n＝1.①∵eq\o(CM,\s\up10(→))＝eq\o(OM,\s\up10(→))－eq\o(OC,\s\up10(→))＝ma＋nb－eq\f(1,4)a＝(m－eq\f(1,4))a＋nb，eq\o(CB,\s\up10(→))＝eq\o(OB,\s\up10(→))－eq\o(OC,\s\up10(→))＝b－eq\f(1,4)a＝－eq\f(1,4)a＋b，又C、M、B三点共线，∴eq\o(CM,\s\up10(→))与eq\o(CB,\s\up10(→))共线，同理可得4m＋n＝1.②联立①②，解之得：m＝eq\f(1,7)，n＝eq\f(3,7).故eq\o(OM,\s\up10(→))＝eq\f(1,7)a＋eq\f(3,7)b，(2)他得出的结论是正确的．∵eq\o(EM,\s\up10(→))＝eq\o(OM,\s\up10(→))－eq\o(OE,\s\up10(→))＝eq\f(1,7)a＋eq\f(3,7)b－λa＝(eq\f(1,7)－λ)a＋eq\f(3,7)b，eq\o(EF,\s\up10(→))＝eq\o(OF,\s\up10(→))－eq\o(OE,\s\up10(→))＝μeq\o(OB,\s\up10(→))－λeq\o(OA,\s\up10(→))＝－λa＋μb，又eq\o(EF,\s\up10(→))与eq\o(EM,\s\up10(→))共线，故存在实数k，使得eq\o(EM,\s\up10(→))＝keq\o(EF,\s\up10(→))，即(eq\f(1,7)－λ)a＋eq\f(3,7)b＝k(－λa＋μb)＝－λka＋μkb，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,7)－λ＝－λk，,\f(3,7)＝μk，))消去k得eq\f(1,7)－λ＝－λ·eq\f(3,7μ)，整理即得eq\f(1