高考四元聚焦·理数-《对点训练》 第35讲　数列模型及应用

第页eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(第35讲数列模型及应用))1.(2023·浙江省富阳市质检){an}是等比数列，其中a3，a7是关于x的方程x2－2xsinα－eq\r(3)sinα＝0的两根，且(a3＋a7)2＝2a3a7＋6，那么锐角α的值为(C)A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3)D.eq\f(5π,12)解析：由条件知(2sinα)2＝2(－eq\r(3)sinα)＋6，即2sin2α＋eq\r(3)sinα－3＝0，解得sinα＝eq\f(\r(3),2)，所以α＝eq\f(π,3)，应选C.2.(改编)在△ABC中，∠B＝eq\f(π,3)，三边长a，b，c成等差数列，且a，eq\r(6)，c成等比数列，那么b的值是(D)A.eq\r(2)B.eq\r(3)C.eq\r(5)D.eq\r(6)解析：由条件知a＋c＝2b，ac＝6，那么由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－3ac，代入化简得b2＝6，即b＝eq\r(6)，应选D.3.(2023·大庆铁人期末)各项均不为零的数列{an}，定义向量cn＝(an，an＋1)，bn＝(n，n＋1)，n∈N*.以下命题中真命题是(A)A．假设∀n∈N*总有cn∥bn成立，那么数列{an}是等差数列B．假设∀n∈N*总有cn∥bn成立，那么数列{an}是等比数列C．假设∀n∈N*总有cn⊥bn成立，那么数列{an}是等差数列D．假设∀n∈N*总有cn⊥bn成立，那么数列{an}是等比数列解析：当cn∥bn时，(n＋1)an－nan＋1＝0，那么eq\f(an,n)＝eq\f(an＋1,n＋1)，所以数列{eq\f(an,n)}为常数列，设此常数为k，那么eq\f(an,n)＝k，即an＝kn，易知数列{an}是等差数列，应选A.4.(2023·仙桃市五月模拟)f(x)＝sin2x，假设等差数列{an}的第5项的值为f′(eq\f(π,6))，那么a1a2＋a2a9＋a9a8＋a8a1＝(BA．2B．4C．8D．16解析：因为f′(x)＝2cos2x，所以a5＝f′(eq\f(π,6))＝2coseq\f(π,3)＝1，所以a1a2＋a2a9＋a9a8＋a8a1＝(a1＋a9)(a8＋a2)＝2a5.(改编)五位同学围成一圈依次循环报数，规定，第一位同学首次报出的数为2，第二位同学首次报出的数为3，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出数的乘积的个位数字，那么第2023次被报出的数为8.解析：设五位同学依次报出的数字构成的数列为{an}，那么a1＝2，a2＝3，a3＝6，a4＝8，a5＝8，a6＝4，a7＝2，a8＝8，……易知此{an}是周期为6的数列，所以a2023＝a6×335＋4＝a4＝8.6.(2023·江苏泰兴市上期中模拟)王老师从2013年1月1日开始每年的1月1日到银行新存入a元(一年定期)，假设年利率r保持不变，且每年到期存款及利息均自动转为新的一年定期，到2020年1月1日将所有存款及利息全部取回，他可以取回eq\f(a1＋r8－a1＋r,r)元．解析：复利问题，此题为等比数列模型．a(1＋r)7＋a(1＋r)6＋…＋a(1＋r)＝eq\f(a1＋r[1－1＋r7],－r)＝eq\f(a1＋r8－a1＋r,r).7.(2023·杭州第一次模拟)设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lgxn，那么a1＋a2＋…＋a99的值为－2.解析：切线的斜率k＝y′|x＝1＝(n＋1)xn|x＝1＝n＋1，那么切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0，那么xn＝eq\f(n,n＋1)，所以an＝lgeq\f(n,n＋1)＝lgn－lg(n＋1)，于是a1＋a2＋…＋a99＝(lg1－lg2)＋(lg2－lg3)＋…(lg99－lg100)＝－lg100＝－2.8.(改编)对正整数n，设抛物线y2＝2(2n＋1)x，过P(2n,0)任作直线l交抛物线于An，Bn两点，设an＝eq\o(OA,\s\up6(→))n·eq\o(OB,\s\up6(→))n，那么数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(\o(OA,\s\up6(→))n·\o(OB,\s\up6(→))n,2n＋1))).(1)求数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(\o(OA,\s\up6(→))n·\o(OB,\s\up6(→))n,2n＋1)))的通项公式；(2)求数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(\o(OA,\s\up6(→))n·\o(OB,\s\up6(→))n,2n＋1)))的前n项和．解析：(1)设直线方程为x＝ty＋2n，代入抛物线方程得y2－2(2n＋1)ty－4n(2n＋1)＝0，设An(xn1，yn1)，B(xn2，yn2)，那么eq\o(OA,\s\up6(→))n·eq\o(OB,\s\up6(→))n＝xn1xn2＋yn1yn2＝(t2＋1)yn1yn2＋2nt(yn1＋yn2)＋4n2，用韦达定理代入得eq\o(OAn,\s\up6(→))·eq\o(OBn,\s\up6(→))＝－4n(2n＋1)(t2＋1)＋4n(2n＋1)t2＋4n2＝－4n2－4n，故eq\f(\o(OA,\s\up6(→))n·\o(OB,\s\up6(→))n,2n＋1)＝－2n.(2)数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(\o(OA,\s\up6(→))n·\o(OB,\s\up6(→))n,2n＋1)))的前n项和Sn＝－2n＋eq\f(nn－1,2)×(－2)＝－n(n＋1)．9.某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不做广告宣传且每件获利a元的前提下，可卖出b件；假设做广告宣传，广告费为n千元比广告费为n－1千元时多卖出eq\f(b,2n)(n∈N*)件．(1)试写出销售量Sn与n的函数关系式；(2)当a＝10，b＝4000时，厂家应生产多少件这种产品，做几千元的广告，才能获利最大？解析：(1)设S0表示广告费为0元时的销售量．由题意知Sn－Sn－1＝eq\f(b,2n)，Sn－1－Sn－2＝eq\f(b,2n－1)，…，S2－S1＝eq\f(b,22)，S1－S0＝eq\f(b,2)，将上述各式相加得，Sn＝b＋eq\f(b,2)＋eq\f(b,22)＋…＋eq\f(b,2n)＝eq\f(b[1－\f(1,2)n＋1],1－\f(1,2))＝b·(2－eq\f(1,2n))．(2)当a＝10，b＝4000时，设获利为Tn元．由题意知Tn＝10Sn－1000n＝40000·(2－eq\f(1,2n