高考四元聚焦·理数-《对点训练》 第19讲　同角三角函数的基本关系与诱导公式

第页eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(第19讲同角三角函数的根本关系与诱导公式))1.(2023·山东省莱芜市4月模拟)cos(－eq\f(20π,3))的值等于(C)A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(3),2)C．－eq\f(1,2)D．－eq\f(\r(3),2)解析：cos(－eq\f(20π,3))＝coseq\f(20π,3)＝cos(6π＋eq\f(2π,3))＝－coseq\f(π,3)＝－eq\f(1,2)，应选C.2.(2023·安徽省合肥市质检)sin(eq\f(π,3)－x)＝eq\f(3,5)，那么cos(eq\f(5π,6)－x)＝(C)A.eq\f(3,5)B.eq\f(4,5)C．－eq\f(3,5)D．－eq\f(4,5)解析：cos(eq\f(5π,6)－x)＝cos(eq\f(π,2)＋eq\f(π,3)－x)＝－sin(eq\f(π,3)－x)＝－eq\f(3,5)，选C.3.(2023·西南大学附中第二次月考)f(cosx)＝sinx，设x是第一象限角，那么f(sinx)为(B)A.eq\f(1,cosx)B．cosxC．sinxD．1－sinx解析：f(sinx)＝f[cos(eq\f(π,2)－x)]＝sin(eq\f(π,2)－x)＝cosx，应选B.4.(2023·吉林省吉林市第三次模拟)sinα＝－eq\f(2,3)，且α∈(－eq\f(π,2)，0)，那么tanα等于(A)A．－eq\f(2\r(5),5)B.eq\f(2\r(5),5)C．－eq\f(\r(5),5)D.eq\f(\r(5),5)解析：因为sinα＝－eq\f(2,3)，且α∈(－eq\f(π,2)，0)，所以cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\f(\r(5),3)，所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(2\r(5),5).5.(改编)α∈(eq\f(π,2)，π)，cosα＝－eq\f(4,5)，那么tan(π－α)＝eq\f(3,4).解析：依题意得sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\f(3,5)，所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(3,4)，于是tan(π－α)＝－tanα＝eq\f(3,4).6.(2023·辽宁省大连市、沈阳市第二次联考)tanα＝2，那么eq\f(sinπ＋α－sin\f(π,2)＋α,cos\f(3π,2)＋α＋cosπ－α)的值为－3.解析：因为tanα＝2，那么eq\f(sinπ＋α－sin\f(π,2)＋α,cos\f(3π,2)＋α＋cosπ－α)＝eq\f(－sinα－cosα,sinα－cosα)＝eq\f(1＋tanα,1－tanα)＝eq\f(1＋2,1－2)＝－3.7.(改编)f(α)＝sin(π－α)tan(eq\f(3π,2)－α)，那么f(－eq\f(49π,4))的值为eq\f(\r(2),2).解析：因为f(α)＝sinα·eq\f(sin\f(3π,2)－α,cos\f(3π,2)－α)＝sinα·eq\f(－cosα,－sinα)＝cosα，所以f(－eq\f(49π,4))＝cos(－eq\f(49π,4))＝coseq\f(49π,4)＝cos(12π＋eq\f(π,4))＝coseq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2).8.(原创)eq\f(3π,4)＜α＜π，tanα＋eq\f(1,tanα)＝－eq\f(10,3).(1)求tanα的值；(2)求eq\f(sin2π＋α＋2sinαsin\f(π,2)＋α＋1,3sinαcos\f(π,2)－α－2cosαcosπ－α)的值．解析：(1)因为tanα＋eq\f(1,tanα)＝－eq\f(10,3)，所以3tan2α＋10tanα＋3＝0，解得tanα＝－eq\f(1,3)或tanα＝－3，因为eq\f(3π,4)＜α＜π，所以－1＜tanα＜0，所以tanα＝－eq\f(1,3).(2)原式＝eq\f(sin2α＋2sinαcosα＋1,3sin2α＋2cos2α)＝eq\f(2sin2α＋2sinαcosα＋cos2α,3sin2α＋2cos2α)＝eq\f(2tan2α＋2tanα＋1,3tan2α＋2)＝eq\f(5,21).9.α是三角形的内角，且sinα＋cosα＝eq\f(1,5).(1)求tanα的值；(2)把eq\f(1,cos2α－sin2α)用tanα表示出来，并求出值．解析：(1)联立方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα＋cosα＝\f(1,5),sin2α＋cos2α＝1))，eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(①,②))由①得cosα＝eq\f(1,5)－sinα，将其代入②，整理得25sin2α－5sinα－12＝0.因为α是三角形的内角，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα＝\f(4,5),cosα＝－\f(3,5)))，所以tanα＝－eq\f(4,3).(2)eq\f(1,cos2α－sin2α)＝eq\f(sin2α＋cos2α,cos2α－sin2α)＝eq\f(\f(sin2α＋cos2α,cos2α),\f(cos2α－sin2α,cos2α))＝eq\f(t