（全国通用）2023届高考数学大一轮复习第十二章概率、随机变量及其分布12.1随机事件的概率学案

PAGEPAGE1§12.1随机事件的概率最新考纲考情考向分析1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义及频率与概率的区别．2.了解两个互斥事件的概率加法公式.以考查随机事件、互斥事件与对立事件的概率为主，常与事件的频率交汇考查．本节内容在高考中三种题型都有可能出现，随机事件的频率与概率的题目往往以解答题的形式出现，互斥事件、对立事件的概念及概率常常以选择、填空题的形式出现.1．概率和频率(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝eq\f(nA,n)为事件A出现的频率．(2)对于给定的随机事件A，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件A发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画随机事件A发生的可能性的大小，并把这个常数称为随机事件A的概率，记作P(A)．2．事件的关系与运算定义符号表示包含关系如果事件A发生，那么事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)B⊇A(或A⊆B)相等关系假设B⊇A且A⊇BA＝B并事件(和事件)假设某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)交事件(积事件)假设某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，那么称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)A∩B(或AB)互斥事件假设A∩B为不可能事件(A∩B＝∅)，那么称事件A与事件B互斥A∩B＝∅对立事件假设A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件A∩B＝∅，P(A)＋P(B)＝13.概率的几个根本性质(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率P(E)＝1.(3)不可能事件的概率P(F)＝0.(4)概率的加法公式如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(5)对立事件的概率假设事件A与事件B互为对立事件，那么P(A)＝1－P(B)．知识拓展互斥事件与对立事件的区别与联系互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件．题组一思考辨析1．判断以下结论是否正确(请在括号中打“√〞或“×〞)(1)事件发生的频率与概率是相同的．(×)(2)随机事件和随机试验是一回事．(×)(3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．(√)(4)两个事件的和事件是指两个事件都得发生．(×)(5)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．(√)(6)两互斥事件的概率和为1.(×)题组二教材改编2．[P121T5]一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶〞的对立事件是()A．至多有一次中靶 B．两次都中靶C．只有一次中靶 D．两次都不中靶答案D解析“至少有一次中靶〞的对立事件是“两次都不中靶〞．3．[P82B组T1]有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[11.5,15.5)，2；[15.5,19.5)，4；[19.5,23.5)，9；[23.5,27.5)，18；[27.5,31.5)，11；[31.5,35.5)，12；[35.5,39.5)，7；[39.5,43.5]，3.根据样本的频率分布估计，数据落在[27.5,43.5]内的概率约是________．答案eq\f(1,2)解析由条件可知，落在[27.5,43.5]内的数据有11＋12＋7＋3＝33(个)，故所求概率约是eq\f(33,66)＝eq\f(1,2).题组三易错自纠4．将一枚硬币向上抛掷10次，其中“正面向上恰有5次〞是()A．必然事件 B．随机事件C．不可能事件 D．无法确定答案B解析抛掷10次硬币正面向上的次数可能为0～10，都有可能发生，正面向上5次是随机事件．5．(2022·洛阳统考)安排甲、乙、丙、丁四人参加周一至周六的公益活动，每天只需一人参加，其中甲参加三天活动，乙、丙、丁每人参加一天，那么甲连续三天参加活动的概率为()A.eq\f(1,15) B.eq\f(1,5)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,2)答案B解析由题意可得，甲连续三天参加活动的所有情况为：第1～3天，第2～4天，第3～5天，第4～6天，共四种情况，∴所求概率P＝eq\f(4·A\o\al(3,3),C\o\al(3,6)·A\o\al(3,3))＝eq\f(1,5).应选B.6．(2022·济南模拟)从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，那么事件“抽到的产品不是一等品〞的概率为______．答案0.35解析∵事件A＝{抽到一等品}，且P(A)＝0.65，∴事件“抽到的产品不是一等品〞的概率为P＝1－P(A)＝1－0.65＝0.35.题型一事件关系的判断1．从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取2个球，以下给出了四组事件：①至少有1个白球与至少有1个黄球；②至少有1个黄球与都是黄球；③恰有1个白球与恰有1个黄球；④恰有1个白球与都是黄球．其中互斥而不对立的事件共有()A．0组B．1组C．2组D．3组答案B解析①中“至少有1个白球〞与“至少有1个黄球〞可以同时发生，如恰好1个白球和1个黄球，故两个事件不是互斥事件；②中“至少有1个黄球〞说明可以是1个白球和1个黄球或2个黄球，故两个事件不互斥；③中“恰有1个白球〞与“恰有1个黄球〞都是指有1个白球和1个黄球，故两个事件是同一事件；④中两事件不能同时发生，也可能都不发生，因此两事件是互斥事件，但不是对立事件，应选B.2．在5张卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，假设事件“2张全是移动卡〞的概率是eq\f(3,10)，那么概率是eq\f(7,10)的事件是()A．至多有一张移动卡 B．恰有一张移动卡C．都不是移动卡 D．至少有一张移动卡答案A解析至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡〞，“两张全是联通卡〞两个事件，它是“2张全是移动卡〞的对立事件．3．口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出两个球，事件A＝“取出的两个球同色〞，B＝“取出的两个球中至少有一个黄球〞，C＝“取出的两个球中至少有一个白球〞，D＝“取出的两个球不同色〞，E＝“取出的两个球中至多有一个白球〞．以下判断中正确的序号为____________．①A与D为对立事件；②B与C是互斥事件；③C与E是对立事件；④P(C∪E)＝1；⑤P(B)＝P(C)．答案①解析当取出的两个球中一黄一白时，B与C都发生，②不正确；当取出的两个球中恰有一个白球时，事件C与E都发生，③不正确；显然A与D是对立事件，①正确；C∪E不一定为必然事件，P(C∪E)≤1，④不正确；P(B)＝eq\f(4,5)，P(C)＝eq\f(3,5)，⑤不正确．思维升华(1)准确把握互斥事件与对立事件的概念①互斥事件是不可能同时发生的事件，但可以同时不发生．②对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生．(2)判断互斥、对立事件的方法判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件假设有且仅有一个发生，那么这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．题型二随机事件的频率与概率典例(2022·全国Ⅲ)某超市方案按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货本钱每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购方案，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40]天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．解(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为eq\f(2＋16＋36,90)＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，假设最高气温不低于25，那么Y＝6×450－4×450＝900；假设最高气温位于区间[20,25)，那么Y＝6×300＋2(450－300)－4×450＝300；假设最高气温低于20，那么Y＝6×200＋2(450－200)－4×450＝－100，所以，Y的所有可能值为900,300，－100.Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为eq\f(36＋25＋7＋4,90)＝0.8.因此Y大于零的概率的估计值为0.8.思维升华(1)概率与频率的关系频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率作为随机事件概率的估计值．(2)随机事件概率的求法利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率．跟踪训练(2022·沈阳模拟)某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购置甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√〞表示购置，“×〞表示未购置.商品顾客人数甲乙丙丁100√×√√217×√×√200√√√×300√×√×85√×××98×√××(1)估计顾客同时购置乙和丙的概率；(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购置3种商品的概率；(3)如果顾客购置了甲，那么该顾客同时购置乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？解(1)从统计表可以看出，在这1000位顾客中有200位顾客同时购置了乙和丙，所以顾客同时购置乙和丙的概率可以估计为eq\f(200,1000)＝0.2.(2)从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有100位顾客同时购置了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购置了甲、乙、丙，其他顾客最多购置了2种商品．所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购置3种商品的概率可以估计为eq\f(100＋200,1000)＝0.3.(3)与(1)同理，可得顾客同时购置甲和乙的概率可以估计为eq\f(200,1000)＝0.2，顾客同时购置甲和丙的概率可以估计为eq\f(100＋200＋300,1000)＝0.6，顾客同时购置甲和丁的概率可以估计为eq\f(100,1000)＝0.1.所以，如果顾客购置了甲，那么该顾客同时购置丙的可能性最大．题型三互斥、对立事件的概率命题点1互斥事件的概率典例(2022·北京改编)A，B，C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了局部学生一周的锻炼时间，数据如下表(单位：小时)：A班66.577.58B班6789101112C班34.567.5910.51213.5(1)试估计C班的学生人数；(2)从A班和C班抽出的学生中，各随机选取1人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙．假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率．解(1)由题意及分层抽样可知，C班学生人数约为100×eq\f(8,5＋7＋8)＝100×eq\f(8,20)＝40.(2)设事件Ai为“甲是现有样本中A班的第i个人〞，i＝1,2，…，5，事件Cj为“乙是现有样本中C班的第j个人〞，j＝1,2，…，8.由题意可知P(Ai)＝eq\f(1,5)，i＝1,2，…，5；P(Cj)＝eq\f(1,8)，j＝1,2，…，8.P(AiCj)＝P(Ai)P(Cj)＝eq\f(1,5)×eq\f(1,8)＝eq\f(1,40)，i＝1,2，…，5，j＝1，2，…，8.设事件E为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长〞，由题意知，E＝A1C1∪A1C2∪A2C1∪A2C2∪A2C3∪A3C1∪A3C2∪A3C3∪A4C1∪A4C2∪A4C3∪A5C1∪因此P(E)＝P(A1C1)＋P(A1C2)＋P(A2C1)＋P(A2C2)＋P(A2C3)＋P(A3C1)＋P(A3C2)＋P(A3C3)＋P(A4C1)＋P(A4C2)＋P(A4C3)＋P(A5C1)＋P(A5C2)＋P(A5C3)＋P(A5C4)＝15×eq\命题点2对立事件的概率典例一盒中装有12个球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1球，求：(1)取出1球是红球或黑球的概率；(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率．解方法一(利用互斥事件求概率)记事件A1＝{任取1球为红球}，A2＝{任取1球为黑球}，A3＝{任取1球为白球}，A4＝{任取1球为绿球}，那么P(A1)＝eq\f(5,12)，P(A2)＝eq\f(4,12)＝eq\f(1,3)，P(A3)＝eq\f(2,12)＝eq\f(1,6)，P(A4)＝eq\f(1,12).根据题意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件的概率公式，得(1)取出1球是红球或黑球的概率为P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝eq\f(5,12)＋eq\f(4,12)＝eq\f(3,4).(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率为P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝eq\f(5,12)＋eq\f(4,12)＋eq\f(2,12)＝eq\f(11,12).方法二(利用对立事件求概率)(1)由方法一知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A1∪A2的对立事件为A3∪A4，所以取出1球为红球或黑球的概率为P(A1∪A2)＝1－P(A3∪A4)＝1－P(A3)－P(A4)＝1－eq\f(2,12)－eq\f(1,12)＝eq\f(3,4).(2)因为A1∪A2∪A3的对立事件为A4，所以P(A1∪A2∪A3)＝1－P(A4)＝1－eq\f(1,12)＝eq\f(11,12).思维升华求复杂事件的概率的两种方法求概率的关键是分清所求事件是由哪些事件组成的，求解时通常有两种方法(1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概率．(2)假设将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难那么反〞．它常用来求“至少〞或“至多〞型事件的概率．跟踪训练某保险公司利用简单随机抽样方法对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：赔付金额(元)01000200030004000车辆数(辆)500130100150120(1)假设每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．解(1)设A表示事件“赔付金额为3000元〞，B表示事件“赔付金额为4000元〞，以频率估计概率得P(A)＝eq\f(150,1000)＝0.15，P(B)＝eq\f(120,1000)＝0.12.由于投保金额为2800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3000元和4000元，所以其概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元〞，由，可得样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000＝100(辆)，而赔付金额为4000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为eq\f(24,100)＝0.24，由频率估计概率得P(C)＝0.24.用正难那么反思想求对立事件的概率典例(12分)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数(人)x3025y10结算时间(分钟/人)11.522.53这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率)思想方法指导假设某一事件包含的根本领件多，而它的对立事件包含的根本领件少，那么可用“正难那么反〞思想求解．标准解答解(1)由得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.[2分]该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为eq\f(1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10,100)＝1.9(分钟)．[6分](2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟〞，A1，A2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟〞，“该顾客一次购物的结算时间为3分钟〞，将频率视为概率，得P(A1)＝eq\f(20,100)＝eq\f(1,5)，P(A2)＝eq\f(10,100)＝eq\f(1,10).[9分]P(A)＝1－P(A1)－P(A2)＝1－eq\f(1,5)－eq\f(1,10)＝eq\f(7,10).[11分]故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为eq\f(7,10).[12分]1．有一个游戏，其规那么是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向．事件“甲向南〞与事件“乙向南〞是()A．互斥但非对立事件 B．对立事件C．相互独立事件 D．以上都不对答案A解析由于每人一个方向，故“甲向南〞意味着“乙向南〞是不可能的，故是互斥事件，但不是对立事件．2．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，那么周六、周日都有同学参加公益活动的概率为()A.eq\f(1,8)B.eq\f(3,8)C.eq\f(5,8)D.eq\f(7,8)答案D解析4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动的情况有24＝16(种)，其中仅在周六(周日)参加的各有1种，∴所求概率为1－eq\f(1＋1,16)＝eq\f(7,8).3．(2022·唐山模拟)两个工人每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为eq\f(2,3)和eq\f(3,4)，两个零件是否加工为一等品相互独立，那么这两个零件中恰有一个一等品的概率为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(5,12)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,6)答案B解析记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A，那么P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\f(3,4)＝eq\f(5,12)，应选B.4．(2022·湖南衡阳八中、长郡中学等十三校二模)同学聚会上，某同学从?爱你一万年?、?十年?、?父亲?、?单身情歌?四首歌中选出两首歌进行表演，那么?爱你一万年?未被选取的概率为()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D.eq\f(5,6)答案B解析分别记?爱你一万年?、?十年?、?父亲?、?单身情歌?为A1，A2，A3，A4，从这四首歌中选出两首歌进行表演的所有可能的结果为A1A2，A1A3，A1A4，A2A3，A2A4，A3A4，共6个，其中A1未被选取的结果有3个，所以所求概率P＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).应选B.5．以下命题：①将一枚硬币抛两次，设事件M：“两次出现正面〞，事件N：“只有一次出现反面〞，那么事件M与N互为对立事件；②假设事件A与B互为对立事件，那么事件A与B为互斥事件；③假设事件A与B为互斥事件，那么事件A与B互为对立事件；④假设事件A与B互为对立事件，那么事件A∪B为必然事件．其中的真命题是()A．①②④ B．②④C．③④ D．①②答案B解析对于①，一枚硬币抛两次，共出现{正，正}，{正，反}，{反，正}，{反，反}四种结果，那么事件M与N是互斥事件，但不是对立事件，故①错；对于②，对立事件首先是互斥事件，故②正确；对于③，互斥事件不一定是对立事件，如①中的两个事件，故③错；对于④，事件A，B为对立事件，那么在这一次试验中A，B一定有一个要发生，故④正确．故B正确．6．掷一个骰子的试验，事件A表示“出现小于5的偶数点〞，事件B表示“出现小于5的点〞，假设eq\x\to(B)表示B的对立事件，那么一次试验中，事件A＋eq\x\to(B)发生的概率为()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D.eq\f(5,6)答案C解析掷一个骰子的试验有6种可能的结果．依题意知P(A)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3)，∴P(eq\x\to(B))＝1－P(B)＝1－eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)，∵eq\x\to(B)表示“出现5点或6点〞，因此事件A与eq\x\to(B)互斥，从而P(A＋eq\x\to(B))＝P(A)＋P(eq\x\to(B))＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).7．(2022·武汉模拟)某运发动每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运发动三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989据此估计，该运发动三次投篮恰有两次命中的概率为________．答案0.25解析20组随机数中表示三次投篮恰好有两次命中的是191,271,932,812,393，其频率为eq\f(5,20)＝0.25，以此估计该运发动三次投篮恰有两次命中的概率为0.25.8．假设随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝4a－5，那么实数a答案eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，\f(4,3)))解析由题意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<PA<1，,0<PB<1，,PA＋PB≤1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<2－a<1，,0<4a－5<1，,3a－3≤1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1<a<2，,\f(5,4)<a<\f(3,2)，,a≤\f(4,3)，))所以eq\f(5,4)<a≤eq\f(4,3).9．甲、乙两人玩数字游戏，先由甲任想一数字，记为a，再由乙猜甲刚刚想的数字，把乙猜出的数字记为b，且a，b∈{1,2,3}，假设|a－b|≤1，那么称甲、乙“心有灵犀〞．现任意找两个人玩这个游戏，那么他们“心有灵犀〞的概率为______．答案eq\f(7,9)解析甲想一数字有3种结果，乙猜一数字有3种结果，根本领件总数为3×3＝9.设甲、乙“心有灵犀〞为事件A，那么A的对立事件B为“|a－b|>1”，即|a－b|＝2包含2个根本领件，∴P(B)＝eq\f(2,9)，∴P(A)＝1－eq\f(2,9)＝eq\f(7,9).10．经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下表：排队人数01234≥5概率0.10.160.30.30.10.04那么该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是________．答案0.74解析由表格可得至少有2人排队的概率P＝0.3＋0.3＋0.1＋0.04＝0.74.11．(2022·深圳模拟)有编号为1,2,3的三个白球，编号为4,5,6的三个黑球，这六个球除编号和颜色外完全相同，现从中任意取出两个球．(1)求取出的两个球颜色相同的概率；(2)求取出的两个球颜色不相同的概率．解从六个球中取出两个球的根本领件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15个．(1)记事件A为“取出的两个球是白球〞，那么这个事件包含的根本领件有(1,2)，(1,3)，(2,3)，共3个，故P(A)＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5)；记“取出的两个球是黑球〞为事件B，同理可得P(B)＝eq\f(1,5).记事件C为“取出的两个球的颜色相同〞，A，B互斥，根据互斥事件的概率加法公式，得P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(2,5).(2)记事件D为“取出的两个球的颜色不相同〞，那么事件C，D对立，根据对立事件概率之间的关系，得P(D)＝1－P(C)＝1－eq\f(2,5)＝eq\f(3,5).12．某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．解(1)P(A)＝eq\f(1,1000)，P(B)＝eq\f(10,1000)＝eq\f(1,100)，P(C)＝eq\f(50,1000)＝eq\f(1,20).故事件A，B，C的概率分别为eq\f(1,1000)，eq\f(1,100)，eq\f(1,20).(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖〞这个事件为M，那么M＝A∪B∪C.∵A，B，C两两互斥，∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq\f(1＋10＋50,1000)＝eq\f(61,1000).故1张奖券的中奖概率为eq\f(61,1000).(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖〞为事件N，那么事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖〞为对立事件，∴P(N)＝1－P(A∪B)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1000)＋\f(1,100)))＝eq\f(989,1000).故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为eq\f(989,1000).13．某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39,32,33个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如下图．现随机选取一个成员，他属于至少2个小组的概率是________，他属于不超过2个小组的概率是________．答案eq\f(3,5)eq\f(13,15)解析“至少2个小组〞包含“2个小组〞和“3个小组〞两种情况，故他属于至少2个小组的概率为P＝eq\f(11＋10＋7＋8,6＋7＋8＋8＋10＋10＋11)＝eq\f(3,5).“不超过2个小组〞包含“1个小组〞和“2个小组〞，其对立事件是“3个小组〞．故他属于不超过2个小组的概率是P＝1－eq\f(8,6＋7＋8＋8＋10＋10＋11)＝eq\f(13,15).14．袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为eq\f(1,7).现有甲、乙两人从袋中轮流取球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，取后不放回，直到两人中有1人取到白球时终止．每个球在每一次被取出的时机是等可能的．(1)求袋中原有白球的个数；(2)求取球2次即终止的概率；(3)求甲取到白球的概率．解(1)设袋中原有n个白球，从袋中任取2个球都是白球有Ceq\o\al(2,n)＝eq\f(nn－1,2)(种)结果，从袋中任取2个球共有Ceq\o\al(2,7)＝21(种)结果．由题意知eq\f(1,7)＝eq\f(\f(nn－1,2),21)＝eq\f(nn－1,42)，所以n(n－1)＝6，解得n＝3或n＝－2(舍去)，即袋中原有3个白球．(2)记“取球2次即终止〞为事件A