（浙江专用）2023年高考数学总复习第四章三角函数、解三角形第5讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式学案

PAGE1-第5讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式最新考纲1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).知识梳理1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝sin__αcos__β±cos__αsin__β.cos(α∓β)＝cos__αcos__β±sin__αsin__β.tan(α±β)＝eq\f(tanα±tanβ,1∓tanαtanβ).2.二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2α＝2sin__αcos__α.cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).3.有关公式的逆用、变形等(1)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tan__αtan__β).(2)cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2).(3)1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2，1－sin2α＝(sinα－cosα)2，sinα±cosα＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α±\f(π,4))).4.函数f(α)＝asinα＋bcosα(a，b为常数)，可以化为f(α)＝eq\r(a2＋b2)sin(α＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中tanφ＝\f(b,a)))或f(α)＝eq\r(a2＋b2)·cos(α－φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中tanφ＝\f(a,b))).诊断自测1.判断正误(在括号内打“√〞或“×〞)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.()(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立.()(3)公式tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)可以变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，且对任意角α，β都成立.()(4)存在实数α，使tan2α＝2tanα.()解析(3)变形可以，但不是对任意的α，β都成立，α，β，α＋β≠eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z.答案(1)√(2)√(3)×(4)√2.(2022·全国Ⅲ卷)假设tanθ＝－eq\f(1,3)，那么cos2θ＝()A.－eq\f(4,5) B.－eq\f(1,5) C.eq\f(1,5) D.eq\f(4,5)解析cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝eq\f(cos2θ－sin2θ,cos2θ＋sin2θ)＝eq\f(1－tan2θ,1＋tan2θ)＝eq\f(4,5).答案D3.(2022·重庆卷)假设tanα＝eq\f(1,3)，tan(α＋β)＝eq\f(1,2)，那么tanβ等于()A.eq\f(1,7) B.eq\f(1,6) C.eq\f(5,7) D.eq\f(5,6)解析tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝eq\f(tan〔α＋β〕－tanα,1＋tan〔α＋β〕·tanα)＝eq\f(\f(1,2)－\f(1,3),1＋\f(1,2)×\f(1,3))＝eq\f(1,7)，应选A.答案A4.(2022·广州调研)sinα＋cosα＝eq\f(1,3)，那么sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝()A.eq\f(1,18) B.eq\f(17,18) C.eq\f(8,9) D.eq\f(\r(2),9)解析由sinα＋cosα＝eq\f(1,3)两边平方得1＋sin2α＝eq\f(1,9)，解得sin2α＝－eq\f(8,9)，所以sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝eq\f(1－cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2α)),2)＝eq\f(1－sin2α,2)＝eq\f(1＋\f(8,9),2)＝eq\f(17,18)，应选B.答案B5.(必修4P137A13(5)改编)sin347°cos148°＋sin77°·cos58°＝________.解析sin347°cos148°＋sin77°cos58°＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin77°cos58°＝(－cos77°)·(－sin58°)＋sin77°cos58°＝sin58°cos77°＋cos58°sin77°＝sin(58°＋77°)＝sin135°＝eq\f(\r(2),2).答案eq\f(\r(2),2)6.(2022·宁波调研)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝－eq\f(1,3)，θ为锐角，那么sin2θ＝________，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ＋\f(π,3)))＝________.解析由题意得，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝－eq\f(1,3)⇒eq\f(\r(2),2)(cosθ－sinθ)＝－eq\f(1,3)⇒eq\f(1,2)(1－2sinθcosθ)＝eq\f(1,9)⇒sin2θ＝eq\f(7,9)，∴(sinθ＋cosθ)2＝1＋sin2θ＝eq\f(16,9)⇒sinθ＋cosθ＝eq\f(4,3)⇒cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝(cosθ＋sinθ)·(cosθ－sinθ)＝－eq\f(\r(2),3)·eq\f(4,3)＝－eq\f(4\r(2),9)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ＋\f(π,3)))＝sin2θcoseq\f(π,3)＋cos2θsineq\f(π,3)＝eq\f(7,9)×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4\r(2),9)))×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(7－4\r(6),18).答案eq\f(7,9)eq\f(7－4\r(6),18)考点一三角函数式的化简【例1】(1)(2022·杭州模拟)cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ＝()A.sin(α＋2β) B.sinαC.cos(α＋2β) D.cosα(2)化简：eq\f(〔1＋sinα＋cosα〕·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2)－sin\f(α,2))),\r(2＋2cosα))(0<α<π)＝________.解析(1)cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ＝cos[(α＋β)－β]＝cosα.(2)原式＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2cos2\f(α,2)＋2sin\f(α,2)cos\f(α,2)))·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2)－sin\f(α,2))),\r(4cos2\f(α,2)))＝eq\f(cos\f(α,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos2\f(α,2)－sin2\f(α,2))),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2))))＝eq\f(cos\f(α,2)cosα,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2)))).因为0<α<π，所以0<eq\f(α,2)<eq\f(π,2)，所以coseq\f(α,2)>0，所以原式＝cosα.答案(1)D(2)cosα规律方法三角函数式的化简要遵循“三看〞原那么：一看角之间的差异与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦〞；三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分〞、“遇到根式一般要升幂〞等.【训练1】(1)eq\r(2＋2cos8)＋2eq\r(1－sin8)的化简结果是________.(2)化简：eq\f(2cos4α－2cos2α＋\f(1,2),2tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α)))＝________.解析(1)原式＝eq\r(4cos24)＋2eq\r(〔sin4－cos4〕2)＝2|cos4|＋2|sin4－cos4|，因为eq\f(5,4)π<4<eq\f(3,2)π，所以cos4<0，且sin4<cos4，所以原式＝－2cos4－2(sin4－cos4)＝－2sin4.(2)原式＝eq\f(\f(1,2)〔4cos4α－4cos2α＋1〕,\f(2×sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α)))·cos2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α)))＝eq\f(〔2cos2α－1〕2,4sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α)))＝eq\f(cos22α,2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2α)))＝eq\f(cos22α,2cos2α)＝eq\f(1,2)cos2α.答案(1)－2sin4(2)eq\f(1,2)cos2α考点二三角函数式的求值【例2】(1)[2sin50°＋sin10°(1＋eq\r(3)tan10°)]·eq\r(2sin280)＝________.(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝eq\f(3,5)，eq\f(17π,12)<α<eq\f(7π,4)，那么eq\f(sin2α＋2sin2α,1－tanα)的值为________.(3)α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝eq\f(1,2)，tanβ＝－eq\f(1,7)，那么2α－β的值为________.解析(1)原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2sin50°＋sin10°·\f(cos10°＋\r(3)sin10°,cos10°)))·eq\r(2)sin80°＝(2sin50°＋2sin10°·eq\f(\f(1,2)cos10°＋\f(\r(3),2)sin10°,cos10°))·eq\r(2)cos10°＝2eq\r(2)[sin50°·cos10°＋sin10°·cos(60°－10°)]＝2eq\r(2)sin(50°＋10°)＝2eq\r(2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(6).(2)eq\f(sin2α＋2sin2α,1－tanα)＝eq\f(2sinαcosα＋2sin2α,1－\f(sinα,cosα))＝eq\f(2sinαcosα〔cosα＋sinα〕,cosα－sinα)＝sin2αeq\f(1＋tanα,1－tanα)＝sin2α·taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α)).由eq\f(17π,12)<α<eq\f(7π,4)得eq\f(5π,3)<α＋eq\f(π,4)<2π，又coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝eq\f(3,5)，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝－eq\f(4,5)，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝－eq\f(4,3).cosα＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))－\f(π,4)))＝－eq\f(\r(2),10)，sinα＝－eq\f(7\r(2),10)，sin2α＝eq\f(7,25).所以eq\f(sin2α＋2sin2α,1－tanα)＝－eq\f(28,75).(3)∵tanα＝tan[(α－β)＋β]＝eq\f(tan〔α－β〕＋tanβ,1－tan〔α－β〕tanβ)＝eq\f(\f(1,2)－\f(1,7),1＋\f(1,2)×\f(1,7))＝eq\f(1,3)>0，又α∈(0，π)，∴0<α<eq\f(π,2)，又∵tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(2×\f(1,3),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))\s\up12(2))＝eq\f(3,4)>0，∴0<2α<eq\f(π,2)，∴tan(2α－β)＝eq\f(tan2α－tanβ,1＋tan2αtanβ)＝eq\f(\f(3,4)＋\f(1,7),1－\f(3,4)×\f(1,7))＝1.∵tanβ＝－eq\f(1,7)<0，∴eq\f(π,2)<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－eq\f(3π,4).答案(1)eq\r(6)(2)－eq\f(28,75)(3)－eq\f(3π,4)规律方法(1)条件下的求值问题常先化简需求值的式子，再观察条件与所求值的式子之间的联系(从三角函数名及角入手)，最后将条件及其变形代入所求式子，化简求值.(2)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原那么：①正切函数值，选正切函数；②正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；假设角的范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，选正、余弦皆可；假设角的范围是(0，π)，选余弦较好；假设角的范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，选正弦较好.【训练2】(1)4cos50°－tan40°＝()A.eq\r(2) B.eq\f(\r(2)＋\r(3),2)C.eq\r(3) D.2eq\r(2)－1(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＋sinα＝－eq\f(4\r(3),5)，－eq\f(π,2)<α<0，那么cosα的值为________.(3)(2022·绍兴月考)cosα＝eq\f(1,7)，cos(α－β)＝eq\f(13,14)(0<β<α<eq\f(π,2))，那么tan2α＝________，β＝________.解析(1)原式＝4sin40°－eq\f(sin40°,cos40°)＝eq\f(4cos40°sin40°－sin40°,cos40°)＝eq\f(2sin80°－sin40°,cos40°)＝eq\f(2sin〔120°－40°〕－sin40°,cos40°)＝eq\f(\r(3)cos40°＋sin40°－sin40°,cos40°)＝eq\f(\r(3)cos40°,cos40°)＝eq\r(3)，应选C.(2)由sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＋sinα＝－eq\f(4\r(3),5)，得eq\f(3,2)sinα＋eq\f(\r(3),2)cosα＝－eq\f(4\r(3),5)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝－eq\f(4,5).又－eq\f(π,2)<α<0，所以－eq\f(π,3)<α＋eq\f(π,6)<eq\f(π,6)，于是coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\f(3,5).所以cosα＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))－\f(π,6)))＝eq\f(3\r(3)－4,10).(3)∵cosα＝eq\f(1,7)，0<α<eq\f(π,2)，∴sinα＝eq\f(4\r(3),7)，tanα＝4eq\r(3)，∴tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(2×4\r(3),1－48)＝－eq\f(8\r(3),47).∵0<β<α<eq\f(π,2)，∴0<α－β<eq\f(π,2)，∴sin(α－β)＝eq\f(3\r(3),14)，∴cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝eq\f(1,7)×eq\f(13,14)＋eq\f(4\r(3),7)×eq\f(3\r(3),14)＝eq\f(1,2)，∴β＝eq\f(π,3).答案(1)C(2)eq\f(3\r(3)－4,10)(3)－eq\f(8\r(3),47)eq\f(π,3)考点三三角变换的简单应用【例3】△ABC为锐角三角形，假设向量p＝(2－2sinA，cosA＋sinA)与向量q＝(sinA－cosA，1＋sinA)是共线向量.(1)求角A；(2)求函数y＝2sin2B＋coseq\f(C－3B,2)的最大值.解(1)因为p，q共线，所以(2－2sinA)(1＋sinA)＝(cosA＋sinA)(sinA－cosA)，那么sin2A＝eq\f(3,4).又A为锐角，所以sinA＝eq\f(\r(3),2)，那么A＝eq\f(π,3).(2)y＝2sin2B＋coseq\f(C－3B,2)＝2sin2B＋coseq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,3)－B))－3B,2)＝2sin2B＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－2B))＝1－cos2B＋eq\f(1,2)cos2B＋eq\f(\r(3),2)sin2B＝eq\f(\r(3),2)sin2B－eq\f(1,2)cos2B＋1＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2B－\f(π,6)))＋1.因为B∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以2B－eq\f(π,6)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(5π,6)))，所以当2B－eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)时，函数y取得最大值，此时B＝eq\f(π,3)，ymax＝2.规律方法解三角函数问题的根本思想是“变换〞，通过适当的变换到达由此及彼的目的，变换的根本方向有两种，一种是变换函数的名称，一种是变换角的形式.变换函数名称可以使用诱导公式、同角三角函数关系、二倍角的余弦公式等；变换角的形式，可以使用两角和与差的三角函数公式、倍角公式等.【训练3】(2022·合肥模拟)函数f(x)＝(2cos2x－1)·sin2x＋eq\f(1,2)cos4x.(1)求f(x)的最小正周期及单调减区间；(2)假设α∈(0，π)，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,4)－\f(π,8)))＝eq\f(\r(2),2)，求taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))的值.解(1)f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋eq\f(1,2)co