（全国卷Ⅰ）2023高考数学压轴卷理

PAGE13-2022全国卷Ⅰ高考压轴卷理科数学本试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部。总分值150分.考试时间为120分钟考前须知： 1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目〞与考生本人准考证号、姓名是否一致。 2.第一卷每题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。第二卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.假设在试题卷上作答，答案无效。 3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。第一卷一、选择题〔本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。〕1.假设集合表示实数集，那么以下选项错误的选项是A．B．C．D．2.复数在复平面内对应的点关于直线对称，且，那么〔〕A．B．C．D．3.将三颗骰子各掷一次，记事件A=“三个点数都不同〞，B=“至少出现一个6点〞，那么条件概率P〔A|B〕是〔〕A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTED.QUOTE4.曲线y＝sinx，y＝cosx与直线x＝0，x＝eq\f(π,2)所围成的平面区域的面积为()A．eq\i\in(0,eq\f(π,2),)(sinx－cosx)dxB．2eq\i\in(0,eq\f(π,4),)(sinx－cosx)dxC．eq\i\in(0,eq\f(π,2),)(cosx－sinx)dxD．2eq\i\in(0,eq\f(π,4),)(cosx－sinx)dx5.按右图所示的程序框图，假设输入，那么输出的()把的右数第把的右数第位数字赋给是否输入输出A.45 B.47C.49 D.516．?九章算术?是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何?〞其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的锲体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少?〞l丈为10尺，该锲体的三视图如下图，那么该锲体的体积为A．10000立方尺 B．11000立方尺C．12000立方尺 D．13000立方尺7.设是等差数列{an}的前n项和，假设，那么等于A. B. C. D.8.是所在平面内一点，为边中点，且，那么〔A〕 〔B〕〔C〕 D9.点P满足，过点P的直线与圆相交于A、B两点，那么的最小值为〔〕A．2 B． C． D．410.是双曲线的两个焦点，是上一点，假设，且的最小内角为，那么双曲线的离心率是A. B. C. D.11数列{an}的通项公式为an=，关于{an}有如下命题：P1：{an}为先减后增数列；P2：{an}为递减数列；P3：P4：其中正确的选项是P1,P3B.P1,P4C.P2,P3D.P2,P412.底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥.同底的两个正三棱锥内接于同一个球.两个正三棱锥的底面边长为a，球的半径为R.设两个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为、，那么的值是〔〕AQUOTEB.QUOTEC.QUOTED.QUOTE第二卷〔非选择题，共90分〕本卷包括必考题和选考题两局部，第13题—21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题—23题为选考题，考生根据要求作答.13.的展开式中的系数为。14.等比数列满足，那么数列的前项和为；15.过点的直线与椭圆相交于两点，假设点是的中点，那么直线的方程为.16.设数列为等差数列，且，假设，记，那么数列的前21项和为_________.三.解答题：解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤。〔17〕〔本小题总分值12分〕四边形如下图，，.〔1〕求的值；〔2〕记与的面积分别是与，求的最大值.18.〔本小题总分值12分〕方案在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上．其中，缺乏80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年．将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：年入流量X40<X<8080≤X≤120X>120发电机最多可运行台数123假设某台发电机运行，那么该台年利润为5000万元；假设某台发电机未运行，那么该台年亏损800万元．欲使水电站年总利润的均值到达最大，应安装发电机多少台？19.〔本小题总分值12分〕如图1，等腰梯形中，。取线段中点，将沿折起，如图2所示。〔Ⅰ〕当平面折到与底面所成的二面角为时，如图3所示，求此时二面角平面角的余弦值。〔Ⅱ〕在将开始折起到与重合的过程中，求直线与平面所成角的正切值的取值范围。DADABCEABCED图1图2ABCED图320.〔本小题总分值12分〕点,是抛物线上的两个动点,是坐标原点,向量,满足.设圆的方程为(=1\*ROMANI)证明线段是圆的直径;(=2\*ROMANII)当圆C的圆心到直线x-2y=0的距离的最小值为时，求p的值。21.〔本小题总分值12分〕函数．当=1时，求证：〔其中e为自然对数的底数〕设函数存在两个极值点，并记作，假设，求正数的取值范围；请考生在〔22〕、〔23〕题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，那么按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。22．(本小题总分值10分)选修4—4：坐标系与参数方程点P的直角坐标是(x，y)．以平面直角坐标系的原点为极坐标的极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．设点P的极坐标是(，)，点Q的极坐标是(，+)，其中是常数．设点Q的平面直角坐标是(m，n)．(I)用x，y，表示m，n；(Ⅱ)假设m，n满足mn=1，且=，求点P的直角坐标(x，y)满足的方程．23.(本小题总分值10分)选修4—5：不等式选讲a，b，c>0，a+b+c=1．求证：(I)；(II).2022全国卷Ⅰ高考压轴卷理科数学进一步加强对数学“双基〞——即根本知识，根本技能的考查，强调数学思想方法的应用，注重数学能力的考查.全国卷采用12个选择题，4道填空题，5道必选题，另外加后面的2选1〔极坐标与参数方程，和绝对值不等式两道题目中选做其中一道〕，共150分，用时2个小时.2022年新考纲变化有：〔1〕注重数学文化的考查；〔2〕试卷最后的选做题由原来的2选1变成2选1，删掉了平面几何的选考.本押题卷严格按照新课标Ⅰ要求的高考考点和题量、分值出题，严格遵照新考纲要求，表达考纲遍变化，注重双基考查，表达数学文化与数学能力的理解与应用。出题新颖，局部题目为原创试题.题号123456789101112答案BDCDDABADCCB13.____6_______14.______________15.________16._____21______考察集合关系及指数函数的值域为容易题。参考：2022课标1考察复数的根本运算，及复平面关系为容易题.考察概率的根本运算及条件概率。参考2022课标1卷19题2022年课标2卷18题考察三角函数图像问题以及定积分的意义。参考2022年新课标1卷考察算法，此题是计算进制转换的一个程序。考察立体几何空间想象能力和复原三视图，对数学文化的了解。参考2022年课标1卷7题，2022年新课标1卷。等差数列的根本性质，前n项和的性质。参考2022年课标1卷数列的选择题平面向量的三角形关系转化。命题参考2022年新课标1文7理15，2022年新课标1理科第7题考察线性规划的知识与圆的位置关系相结合。命题参考2022年课标1文15题考察双曲线的根本定义和三角形几何性质的意义。命题参考2022年新课标1理科4，2022年新课标1理科10等考察数列的单调性，分析归纳猜测能力，借用函数研究数列。命题参考2022年理12考察立体几何球面关系及三角形性质。命题参考2022年新课标1理科11二项式定理展开问题。命题参考2022年新课标1等比数列的相关性质及求和问题。2022年理科14直线与椭圆的关系，中点弦问题点差法解决，命题参考2022年新课标1理12，2022年新课标1理科10三角函数根本性质，数列求和问题，函数对称性的研究，命题参考2022年新课标1理科12，2022年新课标1理科16.局部试题解析3.解：根据条件概率的含义，P〔A|B〕其含义为在B发生的情况下，A发生的概率，即在“至少出现一个6点〞的情况下，“三个点数都不相同〞的概率，∵“至少出现一个6点〞的情况数目为6×6×6-5×5×5=91，“三个点数都不相同〞那么只有一个6点，共C31×5×4=60种，∴P〔A|B〕=；4.解析当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，y＝sinx与y＝cosx的图像的交点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(\r(2),2)))，作图可知曲线y＝sinx，y＝cosx与直线x＝0，x＝eq\f(π,2)所围成的平面区域的面积可分为两局部：一局部是曲线y＝sinx，y＝cosx与直线x＝0，x＝eq\f(π,4)所围成的平面区域的面积；另一局部是曲线y＝sinx，y＝cosx与直线x＝eq\f(π,4)，x＝eq\f(π,2)所围成的平面区域的面积．且这两局部的面积相等，结合定积分的定义可知选D.5. 经计算得7解析：，得,成等差数列，，=也可利用直接法，但计算量较大。8解析：为边中点,，，,即，9.【解析】不等式组所表示的平面区域为及其内部，其中，,，且点,,均在圆的内部，故要使得最小，那么，，应选D.10. 不妨设点在双曲线右支，分别为左，右焦点，有，由，可得，由知，的最小内角为，从而为直角三角形，，此时双曲线离心率，应选C.11.C首先取对数得，由此可知an的单调性与的相同，故此先研究的单调性。构造函数，通过二次求导便可研究它的单调性，进而得到数列的有界性。12. 如图，右侧为该球过SA和球心的截面，由于三角形ABC为正三角形，所以D为BC中点，且，故.设，那么点P为三角形ABC的重心，且点P在AD上， ∴，因此 13.解：，只需求展开式中的含项的系数：16．由题意，易知关于中心对称，数列为等差数列，故，且，故数列．17.解：〔1〕在中，，在中，，所以.〔2〕依题意，，所以，因为，所以.解得，所以，当时取等号，即的最大值为14.18.解：(1)依题意，p1＝P(40<X<80)＝eq\f(10,50)＝0.2，p2＝P(80≤X≤120)＝eq\f(35,50)＝0.7，p3＝P(X>120)＝eq\f(5,50)＝0.1.由二项分布，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为p＝Ceq\o\al(0,4)(1－p3)4＋Ceq\o\al(1,4)(1－p3)3p3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,10)))4＋4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,10)))3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))＝0.9477.(2)记水电站年总利润为Y(单位：万元)．①安装1台发电机的情形．由于水库年入流量总大于40，故1台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y＝5000，E(Y)＝5000×1＝5000.②安装2台发电机的情形．依题意，当40<X<80时，1台发电机运行，此时Y＝5000－800＝4200，因此P(Y＝4200)＝P(40<X<80)＝p1＝0.2；当X≥80时，2台发电机运行，此时Y＝5000×2＝10000，因此P(Y＝10000)＝P(X≥80)＝p2＋p3＝0.8；由此得Y的分布列如下：Y420010000P0.20.8所以，E(Y)＝4200×0.2＋10000×0.8＝8840.③安装3台发电机的情形．依题意，当40<X<80时，1台发电机运行，此时Y＝5000－1600＝3400，因此P(Y＝3400)＝P(40<X<80)＝p1＝0.2；当80≤X≤120时，2台发电机运行，此时Y＝5000×2－800＝9200，因此P(Y＝9200)＝P(80≤X≤120)＝p2＝0.7；当X>120时，3台发电机运行，此时Y＝5000×3＝15000，因此P(Y＝15000)＝P(X>120)＝p3＝0.1，由此得Y的分布列如下Y3400920015000P0.20.70.1所以，E(Y)＝3400×0.2＋9200×0.7＋15000×0.1＝8620.综上，欲使水电站年总利润的均值到达最大，应安装发电机2台．19.解：〔Ⅰ〕在图3中取，建立直角坐标系。〔Ⅱ〕在图2中作。20.【解析】(=1\*ROMANI)证明1:整理得:设M(x,y)是以线段AB为直径的圆上的任意一点,那么即整理得:故线段是圆的直径证明3:整理得:……(1)以线段AB为直径的圆的方程为展开并将(1)代入得:故线段是圆的直径(=2\*ROMANII)解法1:设圆C的圆心为C(x,y),那么又因所以圆心的轨迹方程为设圆心C到直线x-2y=0的距离为d,那么当y=p时,d有最小值,由题设得.设直线x-2y+