高考数学难点28 求空间距离

2222222222难点28求空间离空间中距离的求法是历年高考考查的重点中以点与点点到线点到面的距离为基础，求其他几种距离一般化归为这三种距●难点磁场(★★★★如图，已知ABCD是形a,=b,⊥面ABCDPA=2Q是的中点求：(1)QBD的离；(2)P平面BQD的离●案例探究［例］把正方形ABCD沿角线折成直二面角，点、F分是AD、的点，点O是正方形的中心，求：长；折起后∠的小.命题意图：考查利用空间向量的坐标运算来解决立体几何问题，属★★★★级题知识依托：空间向量的坐标运算及数量积公.错解分析：建立正确的空间直角坐标其中必须保证轴、y轴两两互相垂直.技巧与方法：建系方式有多种中O点原点，以OB、、OD的向分别为轴、y轴z的正方向最为简单解图点为原点建立空间直角坐标系O—xyz,正方形ABCD边为a,，－

22,0),BCa,0),),E－,),(442223(1)|EFa))aEF44222OE,a),OF,,0)4222aa)()a4444aaOE1|OE,|OF,cosOEOF22|||OF|

,0)∴∠EOF=120°［例］正方体—ACD的棱长为，求异面直线AC与间的距离.112111132222211121111322222111命题意图：本题主要考查异面直线间距离的求法，属★★★级题.知识依托求面直线的距离可求两异面直线的公垂线，或转化为求线面距离面面距离，亦可由最值法求错解分析：本题容易错误认为B是A与的离，这主要是对异面直线定义不1熟悉，异面直线的距离是与两条异面直线垂直相交的直线上垂足间的距.技巧与方法：求异面直线的距离，有时较难作出它们的公垂线，故通常采用化归思想，转化为求线面距、面面距、或由最值法求解法一：如图，连结，在正方体中∵AC∥AC∴A∥面C，111111与平面ABC间距离等于异面直线A与间距离.11连结、，设D∩CO∩ACO111∵⊥BDAC⊥DD，∴⊥平面BBD11∴平面C⊥平面DD，连，则平面ABC∩面BBD=B11111作G于G，则G⊥平面ABC111∴OG为线AC与面间距离，即为异面线A与AB间的距111111在eq\o\ac(△,Rt)OOB中∵OB111

，OO=1，∴OB=OOB=2∴OG1

OOB111OB1

3，即异面直线AC与间距离为.11解法二如在C任取一点作AB于作MRAB于R连RN1111∵平面BD⊥平面ABB，MR平面ABB，MR1111∵AB⊥RN，设R则=1－x111∵∠CA=AB°，111∴=NB1

(1)MNMRRN)

1(x)(0＜x＜1)3∴当x=

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3时，MN有小值即异面直线AC与距为.3●锦囊妙记空间中的距离主要指以下七种：两点之间的距离.点到直线的距离.点到平面的距离.两条平行线间的距离.两条异面直线间的距.平面的平行直线与平面之间的距两个平行平面之间的距离.七种距离都是指它们所在的两个点集之间所含两点的距离中最小的距离.种距离之间有密切联系有些可以相互转化两条平行线的距离可转化为求点到直线的距离行线面间的距离或平行平面间的距离都可转化成点到平面的距.在七种距离中，求点到平面的距离是重点，求两条异面直线间的距离是难求点到平面的距离：直接法，即直接由点作垂线，垂线段的转移法，转化成求另一点到该平面的距离.体积法求异面直线的距离：(1)定法，即求公垂线段的长.(2)转化成求直线与平面的距离.(3)函数极值法，依据是两条异面直线的距离是分别在两条异面直线上两点间距离中最小●歼灭难点训练一、选择题★★★★正方形ABCD边为、F分是和CD的中点，将正方形沿EF折成直二面(如图，M为矩形AEFD内点，如果=MB和面BCF所成角的正切值为，么点M到线的离()

1★★★★三柱ABCAB中AA=1=4∠ABC=90,平面11111与平面ABC的线为l，则AC与l的离()110

11

二、填空题如左下图，空间四点、、、中，每两点所连线段的长都等于，动点P在段上，动点Q在段CD，则与的短距离★★★★)如右上图，与ABEF均正方形，如果二面角E——C的数为30，那么与面ABCD的距离三、解答题★★★★在长方体ABCD—BCD中，，CC，如图：1111(1)求证：平面BC∥面；111求(1)中两个平行平面间的距离；求点到面A的距离11★★★★★已知正四棱柱ABCD—BD点在棱D上11截面∥D且面与面ABCD所成的角为45,AB=a求1截面的面；异面直线B与AC之的距离；11(3)三棱锥—的体.1★★★★)如图，已知三棱柱AB—的底面是边长为2的11正三角形，侧棱A与AC均45角，且A⊥B于E，AF1111⊥于F.1(1)求点到平面B的距离；11(2)当AA多时，点A到面与面BBCC的离相111★★★★如图，在梯形中，AD，∠ABC

=AD∠=arccos

,⊥面ABCD且PA=.求异面直线AD与的距离；在线段AD是否存在一点F，点到平面的离为参考答案难点磁场解：(1)在矩形，作⊥BD为足

22)c22)c2AABD22连结QE，∵⊥平面ABCD，由三垂线定理得⊥BE∴QE的为Q到BD的离在矩形ABCD中，=aAD∴AE22在eq\o\ac(△,Rt)QAE中QA∴QE=

c∴Q到BD距离为c

b(2)解法一：∵平面BQD经线段PA的点∴到面的离于到面的离在△中作⊥，H为垂足∵⊥⊥∴BD平面AQEBDAH∴⊥平面，A到平面的在eq\o\ac(△,Rt)AQE中∵==

∴=

abc(

2∴到面BD距离为

abc()b解法二：设点A到平面QBD的离为h由V=V得

S△·=·BQDeq\o\ac(△,S)ABD=

S

ABDS

abc(a)b歼灭难点训练一、1.解析：过点M作MM′,MM′⊥平面∵∠MBE=∠∴BM为∠为角平分线，∴∠EBM=45BM=从而MN

答案：A解析：线l过B与平行，作CDl于，连D，则D为A与l距离，111而CD等于AC上高，即=

13,Rteq\o\ac(△,C)eq\o\ac(△,)易求得=1121BC11EAC21BC11EAC答案：二、3.解析：以、B、D为点的四形为空间四边形，且为正四面体，取P、Q分别为、的中点，因为AQBQ

a∴⊥同理可得⊥，故线段的长为P两间的最短距离eq\o\ac(△,Rt)APQ中PQ=AQ(

2))22

答案：

解析∠FAD二面角E—AB—的面°过F作⊥平面于，必在AD上由EF平面ABCD.∴EF与面ABCD的距离即FG答案：

三、证：由于∥AD，BC∥平面ACD1同理，A∥平面ACD，平面∥面ACD11111(2)解：设两平行平面ABC与间的距离为d则等D到平面的离111易求AC=5B=25BC13ABC=111

265

则11

6165

则S

BC

=,由于

D

BC

1，则=ADD)BB,入求得d=332

61

即两平行平面间的距离为

(3)解：由于线段D被平面所分则D到面A的离相等，则由1111知点B到面ABC的距离等于11

解：(1)连结DB交于O连结，∵底面ABCD是方形∴DO，ED面ABCD∴EO⊥，即∠EOD=45又DO

DO，=2，==，∴=2(2)∵A⊥底面ABCD，∴⊥，又AA⊥AB11∴A是面直线与间公垂线111又EO∥，O为BD中，BEO=21∴D2，∴A与距为211(3)连结交于，交EO于Q，推证出BD⊥面EAC1∴是棱锥—的高，得Q11

V

BEAC

32aa2

11111111解：(1)∵BB⊥A，CC⊥FBBCC11111∴BB⊥面AEF11即面EF⊥面BBCC1在eq\o\ac(△,Rt)AEB中，11∵∠A=45°，A=11∴=1

2,理AFa又EF=，∴AE=a2同理F又=a∴eq\o\ac(△,EA)eq\o\ac(△,)F等腰直角三角形，EA=901过作ANEF，则N为点，且AN⊥平面1111即N点A到面B的距离11∴N2又∵AA∥面BCCB，A到面的距离为111

∴a=2，∴所求距离为2(2)设、C的点分别为D、，连结AD、和AD则DD必点N易证11111为行四边.1∵CDD,BC⊥N1111∴C⊥面1∴⊥平面ADD1得平面ABC平面ADD，作A⊥平面，M11若=AN又∠=∠A，∠AMA=ND=90111∴△AMA≌eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)∴=D=即AA3满足条件111解：(1)∵∥AD,面∴∥面PBC从而AD与PC间距离就是直线AD与面PBC间距过作AE⊥，又AEBC∴AE平面PBCAE为求.在等腰直角三角形PAB中=AB∴AE

(2)作CM，由已知cos1∴tan即CM=DM

∴为方形，AC=a,PC过作AHPC,在eq\o\ac(△,Rt)PAC中，得=

下面在AD找一点，PCCF取MD中，、△FCM均等腰直角三角形∴∠+FCM=45°°°∴⊥AC即FCPC在存在满足条件的点F［学法指导］立体几何中的策略思想及方法立体几何中的策略思想及方法近年来，高考对立体几何的考查仍然注重于空间观点的建立和空间想象能力的培养目起点低，步步升高，给不同层次的学生有发挥能力的余地.题综合性强，有几何组合体中深层次考查空间的线面关系.因此，高考复习应在抓好基本概念、定理、表述语言的基础上总空间线面关系在几何中的确定方法入手出数学思想方法在解题中的指导作用，并积极探寻解答各类立体几何问题的有效的策略思想及方一、领悟解题的基本策略思想高考改革稳中有变.运用基本数学思想如转化，类比，函数观点仍是考查中，选择好典型例题本学思想指导一套合乎一般思维规律的解题模式是受学生欢迎的，学生通过熟练运用，逐步内化为自己的经验，解决一般基本数学问题就会自然流二、探寻立体几何图形中的基面