大连民族学院附中2023版《创新设计》高考数学一轮复习单元训练：三角函数

第页大连民族学院附中2023版?创新设计?高考数学一轮复习单元训练：三角函数本试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两局部．总分值150分．考试时间120分钟．第一卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)1．为第四象限的角，且=()A． B． C． D．【答案】A2．在中，角的对边分别为，且，那么的形状是()A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形【答案】B3．,定义运算设那么当时，是的值域为()A． B． C． D．【答案】A4．，那么等于()A． B．C． D．【答案】A5．如果，那么与终边相同的角可以表示为()A．； B．；【答案】B6．点P〔〕在第四象限，那么角在()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C7．α是第二限角，那么以下结论正确的选项是()A． B．C． D．以上都有可能【答案】B8．tan+=4,那么sin2=()A． B． C． D．【答案】D9．锐角的终边上一点P〔，〕，那么等于()A． B． C． D．【答案】C10．以下数中，与相等的是()A． B． C． D．-【答案】A11．()A． B． C． D．【答案】C12．如图，在一幢20m高的楼顶测得对面一塔吊顶部的仰角为60°，塔基的俯角为45°，那么该塔吊的高是()A．20m B．20m C．10m D．20m【答案】B第二卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．扇形的周长为，那么该扇形的面积的最大值为____________．【答案】414．函数〔>0〕的图像与y轴交与P，与x轴的相邻两个交点记为A，B，假设△PAB的面积等于，那么；【答案】15．那么的值为．【答案】16．，，那么。【答案】三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．函数 (1〕将函数化为的形式〔其中〕； (2〕在中，、、分别为内角所对的边，且对定义域中任意的都有，假设，求的最大值．【答案】〔1〕(2〕∵恒成立，∴由余弦定理，得∵，∴，当且仅当时取等号18．．(1〕求f(x)的周期及其图象的对称中心；(2〕△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，满足〔2ac〕cosB=bcosC，求f(A)的取值范围．【答案】〔1〕由,的周期为.由,故图象的对称中心为.(2〕由得，故函数的取值范围是.19．是关于的方程的两个实根，且，求的值【答案】，而，那么得，那么，20．设=3，计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)21．，求以下各式的值(1〕(2〕【答案】(1)(2)22．某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里时的航行速度匀速行驶，经过t时与轮船相遇．(1)假设希望相遇时小艇的航行距离最小，那么小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能到达30海里时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．【答案】方法一(1)如图(1)，设相遇时小艇航行的距离为S海里，那么S＝eq\r(900t2＋400－90°2×30t×20×cos－)30°＝eq\r(900t2－600t＋400)＝.故当t＝eq\f(1,3)时，Smin＝10eq\r(3)，此时v＝eq\f(10\r(3),\f(1,3))＝30eq\r(3)．即小艇以30eq\r(3)海里时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．(2)设小艇与轮船在B处相遇，那么v2t2＝400＋900t2－2×20×30t×cos(90°－30°)，故v2＝900－eq\f(600,t)＋eq\f(400,t2)．∵0<v≤30，∴900－eq\f(600,t)＋eq\f(400,t2)≤900，即eq\f(2,t2)－eq\f(3,t)≤0，解得t≥eq\f(2,3)．又t＝eq\f(2,3)时，v＝30.故v＝30时，t取得最小值，且最小值为eq\f(2,3)．此时，在△OAB中，有OA＝OB＝AB＝20，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里时，小艇能以最短时间与轮船相遇．方法二(1)假设相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，那么小艇航行方向为正北方向．设小艇与轮船在C处相遇(如图(2)．在Rt△OAC中，OC＝20cos30°＝10eq\r(3)，AC＝20sin30°＝10.又AC＝30t，OC＝vt.此时，轮船航行时间t＝eq\f(10,30)＝eq\f(1,3)，v＝eq\f(10\r(3),\f(1,3))＝30eq\r(3)．即小艇以30eq\r(3)海里时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．(2)猜测v＝30时，小艇能以最短时间与轮船在D处相遇，此时AD＝DO＝30t.又∠OAD＝60°，∴AD＝DO＝OA＝20，解得t＝eq\f(2,3)．据此可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度的大小为30海里时．这样，小艇能以最短时间与轮船相遇．证明如下：如图(3)，由(1)得OC＝10eq\r(3)，AC＝10，故OC>AC，且对于线段AC上的任意点P，有OP≥OC>AC.而小艇的最高航行速度只能到达30海里时，故小艇与轮船不可能在A，C之间(包含C)的任意位置相遇．设∠COD＝θ(0°<θ<90°)，那么在Rt△COD中，CD＝10eq\r(3)tanθ，OD＝eq\f(10\r(3),cosθ)．由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为t＝eq\f(10＋10\r(3)tanθ,30)和t＝eq\f(10\r(3),vcosθ)，∴eq\f(10＋10\r(3)tanθ,30)＝eq\f(10\r(3),vcosθ)．由此可得，v＝.又v≤30，故sin(θ＋30°)≥eq\f(\r(3),2)．从而，30°≤θ＜90°.由于θ＝30°时，tanθ取得最小值，且最小值为eq\f(\r(3),3)．于是，当θ＝30°时，t＝eq\f(10＋10\r(3)tanθ,30)取得最小值，且最小值为eq\f(2,3)．方法三(1)同方法一或方法二．(2)设小艇与轮船在B处相遇．依据题意得：v2t2＝400＋900t2－2·20·30t·cos(90°－30°)，(v2－900)t2＋600t－400＝0.①假设0<v<30，那么由Δ＝360000＋1600(v2－900)＝1600(v2－675)≥0，得v≥15eq\r(3)．从而，t＝eq\f(－300±20\r(v2－675),v2－900)，v∈15eq\r(3)，30)．当t＝eq\f(－300－20\r(v2－675),v2－900)时，令x＝eq\r(v2－675)，那么x∈0,15)，t＝eq\f(－300－20x,x2－225)＝eq\f(－20,x－15)≥eq\f(4,3)，当且仅当x＝0，即v＝15eq\r(3)时等号成立．当t＝eq\f(－300＋20\r(v2－675),v2－900)时，同理可得eq\f(2,3)<t≤eq\f