(完整版)三角函数及解三角形知识点总结

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1.任意角的三角函数的定义：设α是任意一具角，P(,)xy是α的终旁边的任意一点（异

于原点），它与原点的距离

是0r=>，这么sin,cosyx

rr

αα==

，

()tan,0y

xx

α=≠

三角函数值只与角的大小有关，而与终旁边点P的位置无关。

2.三角函数在各象限的符号：

（一全二正弦，三切四余弦）

＋＋－＋－＋－－－＋＋－

sinαcosαtanα

3.同角三角函数的基本关系式：

（1）平方关系：2

222

1

sin

cos1,1tancosαααα

+=+=

（2）商数关系：sintancosα

αα

=

（用于切化弦）※平方关系普通为隐含条件，直截了当运用。注意“1”的代换

4.三角函数的诱导公式

诱导公式（把角写成απ

±2

k形式，利用口诀：奇变偶别变，符号看象限）

Ⅰ）?????=+=+=+xxkxxkxxktan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(πππⅡ）?????-=-=--=-xxxxxxtan)tan(cos)cos(sin)sin(Ⅲ）??

???=+-=+-=+xxxxxxtan)tan(cos)cos(sin)sin(πππⅣ）?????-=--=-=-xxxxxxtan)tan(cos)cos(sin)sin(πππⅤ）???????=-=-ααπααπsin)2cos(cos)2sin(Ⅵ）???

????-=+=+α

απααπsin)2cos(cos)2sin(

5.特别角的三角函数值

6.三角函数的图像及性质sinyx=

cosyx=tanyx=

图像

定义域RR

,2xxkkZππ??≠+∈????

值域

[]1,1-

[]1,1-

R

最

值

当22

xkπ

π=+

()kZ∈时，

max1y=；

当22

xkπ

π=-

()kZ∈时，当()2xkkZπ=∈时，

max1y=；当2xkππ=+

()kZ∈时，min1y=-．

既无最大值也无最小值

度

0o30o45o60o90o120o135o150o180o

?

270

360o

弧度

6

π4π3π2π23π34π56ππ

32

π2π

sinα

12

22

32

1

3222

12

1

cosα

1

3222

120

1

2-22-32-1-01

tanα033

1

3

无

3-

1-

3

3

-

无

函

数性质

7.函数sin()yAxω?=+图象的画法：①“五点法”――设Xxω?=+，令X＝0，

3,,

,22

2

π

π

ππ求出相应的x值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；②图象变换法：这是作函数简图常用办法。

8.图像的平移变换：函数sin()yAxkω?=++的图象与sinyx=图象间的关系：

要特殊注意，若由()sinyxω=得到()sinyxω?=+的图象，则向左或向右平移应平移

|

|?

ω

个单位例：以sinyx=变换到4sin(3)3

yxπ=+为例

sinyx=向左平移

3

π

个单位（左加右减）

sin3yxπ?

?=+??

?

横坐标变为原来的

13倍（纵坐标别变）sin33yxπ?

?=+??

?

纵坐标变为原来的4倍（横坐标别变）4sin33yxπ??=+?

?

?

sinyx=横坐标变为原来的1

3

倍（纵坐标别变）()sin3yx=

向左平移

9π个单位（左加右减）sin39yxπ??=+???sin33xπ?

?=+??

?

纵坐标变为原来的4倍（横坐标别变）4sin33yxπ??=+?

?

?

注意：在变换中改变的始终是x。

9、三角恒等变换

1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式：(1）βαβαβαcossincossin)sin(+=+(2）βαβαβαcossincossin)sin(-=-(3）βαβαβαsinsincoscos)cos(-=+(4）βαβαβαsinsincoscos)cos(+=-(5）β

αβ

αβαtantan1tantan)tan(-+=

+?()()tantantan1tantanαβαβαβ+=+-

(6）β

αβ

αβαtantan1tantan)tan(+-=

-?()()tantantan1tantanαβαβαβ-=-+

(7)sincosabαα+

)α?+(其中,辅助角?所在象限由点(,)ab所在的象限决定

,sintanb

a

???=

=

=

，该法也叫合一变形).(8)

)4tan(tan1tan1θπθθ+=-+)4

tan(tan1tan1θπ

θθ-=+-

10、二倍角公式

（1）

（2）（3）

11.落幂公式：（1）（2）

12.升幂公式（1）2

cos2cos12

α

α=+（2）2

sin

2cos12

α

α=-

（3）2)2

cos2(sinsin1α

α

α±=±（4）αα22cossin1+=（5）2

cos

2

sin2sinα

α

α=

aaacossin22sin=1cos2sin21sincos2cos2

2

2

2

-=-=-=aaaaaa

a

a2

tan1tan22tan-=

22cos1cos2

aa+=22cos1sin2

aa-=

13.三角变换：

函数名称变换：三角变形中常常需要变函数名称为同名函数。采纳公式：其中，

比如：

x

xycos3sin+=

)

cos)

3(13sin)

3(11(

)3(12

2

2

2

22xx++

++=

)cos23sin2

1(2xx+=

)3sincos3cos(sin2ππxx+=)3sin(2π+=x

注意:“凑角”运用：()ααββ=+-，()αββα=--，()()12ααββα=+--???

?

14、三角形中常用的关系：

，，，，

常见数据：

3215tan-=?,3275tan+=?,

15、正弦定理：在C?AB中，a、b、c分不为角A、B、C的对边，R为C?AB的外接圆的半径，则有2sinsinsinabc

RC

===AB（R是三角形外接圆半径）

．注：正弦定理的变形公式：

①2sinaR=A，2sinbR=B，2sincRC=；

②sin2aRA=，sin2bRB=，sin2c

CR

=；

③::sin:sin:sinabcC=AB

16、余弦定理：在C?AB中，有

2222cosabcbc=+-A，2222cosbacac=+-B，2222coscababC=+-

注：余弦定理的推论：222cos2bcabc+-A=，222

cos2acbac

+-B=，222cos2abcCab+-=．

17、三角形面积公式：111

sinsinsin222CSbcabCac?AB=A==B

)sin(cossin22?θθθ++=

+baba222

2sin,cosbabbaa+=

+=

??)sin(sinCBA+=)cos(cosCBA+-=2

cos2sinC

BA+=)(2sin2sin

CBA+-=)(2cos2cosCBA+=sin15cos75cos15?=?=

?=?=

两边夹角的正弦值两边之积??=

?21

ABCS高底?=?2

1

ABCS

注：（1）①假如一具三角形两边的平方和等于第三边，这么第三边所对的角为

直角；

②假如小于第三边的平方，这么第三边所对的角为钝角；

③假如大于第三边的平方，这么第三边所对角为锐角。（课本第6页右下角）

例如a、b、c是C?AB的角A