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精品文档第2页/共2页精品文档推荐(完整版)三角函数及解三角形知识点总结
1.任意角的三角函数的定义:设α是任意一具角,P(,)xy是α的终旁边的任意一点(异
于原点),它与原点的距离
是0r=>,这么sin,cosyx
rr
αα==
,
()tan,0y
xx
α=≠
三角函数值只与角的大小有关,而与终旁边点P的位置无关。
2.三角函数在各象限的符号:
(一全二正弦,三切四余弦)
++-+-+---++-
sinαcosαtanα
3.同角三角函数的基本关系式:
(1)平方关系:2
222
1
sin
cos1,1tancosαααα
+=+=
(2)商数关系:sintancosα
αα
=
(用于切化弦)※平方关系普通为隐含条件,直截了当运用。注意“1”的代换
4.三角函数的诱导公式
诱导公式(把角写成απ
±2
k形式,利用口诀:奇变偶别变,符号看象限)
Ⅰ)?????=+=+=+xxkxxkxxktan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(πππⅡ)?????-=-=--=-xxxxxxtan)tan(cos)cos(sin)sin(Ⅲ)??
???=+-=+-=+xxxxxxtan)tan(cos)cos(sin)sin(πππⅣ)?????-=--=-=-xxxxxxtan)tan(cos)cos(sin)sin(πππⅤ)???????=-=-ααπααπsin)2cos(cos)2sin(Ⅵ)???
????-=+=+α
απααπsin)2cos(cos)2sin(
5.特别角的三角函数值
6.三角函数的图像及性质sinyx=
cosyx=tanyx=
图像
定义域RR
,2xxkkZππ??≠+∈????
值域
[]1,1-
[]1,1-
R
最
值
当22
xkπ
π=+
()kZ∈时,
max1y=;
当22
xkπ
π=-
()kZ∈时,当()2xkkZπ=∈时,
max1y=;当2xkππ=+
()kZ∈时,min1y=-.
既无最大值也无最小值
度
0o30o45o60o90o120o135o150o180o
?
270
360o
弧度
6
π4π3π2π23π34π56ππ
32
π2π
sinα
12
22
32
1
3222
12
1
cosα
1
3222
120
1
2-22-32-1-01
tanα033
1
3
无
3-
1-
3
3
-
无
函
数性质
7.函数sin()yAxω?=+图象的画法:①“五点法”――设Xxω?=+,令X=0,
3,,
,22
2
π
π
ππ求出相应的x值,计算得出五点的坐标,描点后得出图象;②图象变换法:这是作函数简图常用办法。
8.图像的平移变换:函数sin()yAxkω?=++的图象与sinyx=图象间的关系:
要特殊注意,若由()sinyxω=得到()sinyxω?=+的图象,则向左或向右平移应平移
|
|?
ω
个单位例:以sinyx=变换到4sin(3)3
yxπ=+为例
sinyx=向左平移
3
π
个单位(左加右减)
sin3yxπ?
?=+??
?
横坐标变为原来的
13倍(纵坐标别变)sin33yxπ?
?=+??
?
纵坐标变为原来的4倍(横坐标别变)4sin33yxπ??=+?
?
?
sinyx=横坐标变为原来的1
3
倍(纵坐标别变)()sin3yx=
向左平移
9π个单位(左加右减)sin39yxπ??=+???sin33xπ?
?=+??
?
纵坐标变为原来的4倍(横坐标别变)4sin33yxπ??=+?
?
?
注意:在变换中改变的始终是x。
9、三角恒等变换
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式:(1)βαβαβαcossincossin)sin(+=+(2)βαβαβαcossincossin)sin(-=-(3)βαβαβαsinsincoscos)cos(-=+(4)βαβαβαsinsincoscos)cos(+=-(5)β
αβ
αβαtantan1tantan)tan(-+=
+?()()tantantan1tantanαβαβαβ+=+-
(6)β
αβ
αβαtantan1tantan)tan(+-=
-?()()tantantan1tantanαβαβαβ-=-+
(7)sincosabαα+
)α?+(其中,辅助角?所在象限由点(,)ab所在的象限决定
,sintanb
a
???=
=
=
,该法也叫合一变形).(8)
)4tan(tan1tan1θπθθ+=-+)4
tan(tan1tan1θπ
θθ-=+-
10、二倍角公式
(1)
(2)(3)
11.落幂公式:(1)(2)
12.升幂公式(1)2
cos2cos12
α
α=+(2)2
sin
2cos12
α
α=-
(3)2)2
cos2(sinsin1α
α
α±=±(4)αα22cossin1+=(5)2
cos
2
sin2sinα
α
α=
aaacossin22sin=1cos2sin21sincos2cos2
2
2
2
-=-=-=aaaaaa
a
a2
tan1tan22tan-=
22cos1cos2
aa+=22cos1sin2
aa-=
13.三角变换:
函数名称变换:三角变形中常常需要变函数名称为同名函数。采纳公式:其中,
比如:
x
xycos3sin+=
)
cos)
3(13sin)
3(11(
)3(12
2
2
2
22xx++
++=
)cos23sin2
1(2xx+=
)3sincos3cos(sin2ππxx+=)3sin(2π+=x
注意:“凑角”运用:()ααββ=+-,()αββα=--,()()12ααββα=+--???
?
14、三角形中常用的关系:
,,,,
常见数据:
3215tan-=?,3275tan+=?,
15、正弦定理:在C?AB中,a、b、c分不为角A、B、C的对边,R为C?AB的外接圆的半径,则有2sinsinsinabc
RC
===AB(R是三角形外接圆半径)
.注:正弦定理的变形公式:
①2sinaR=A,2sinbR=B,2sincRC=;
②sin2aRA=,sin2bRB=,sin2c
CR
=;
③::sin:sin:sinabcC=AB
16、余弦定理:在C?AB中,有
2222cosabcbc=+-A,2222cosbacac=+-B,2222coscababC=+-
注:余弦定理的推论:222cos2bcabc+-A=,222
cos2acbac
+-B=,222cos2abcCab+-=.
17、三角形面积公式:111
sinsinsin222CSbcabCac?AB=A==B
)sin(cossin22?θθθ++=
+baba222
2sin,cosbabbaa+=
+=
??)sin(sinCBA+=)cos(cosCBA+-=2
cos2sinC
BA+=)(2sin2sin
CBA+-=)(2cos2cosCBA+=sin15cos75cos15?=?=
?=?=
两边夹角的正弦值两边之积??=
?21
ABCS高底?=?2
1
ABCS
注:(1)①假如一具三角形两边的平方和等于第三边,这么第三边所对的角为
直角;
②假如小于第三边的平方,这么第三边所对的角为钝角;
③假如大于第三边的平方,这么第三边所对角为锐角。(课本第6页右下角)
例如a、b、c是C?AB的角A
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