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精品文档第2页/共2页精品文档推荐(完整版)三角函数及解三角形知识点总结

1.任意角的三角函数的定义:设α是任意一具角,P(,)xy是α的终旁边的任意一点(异

于原点),它与原点的距离

是0r=>,这么sin,cosyx

rr

αα==

()tan,0y

xx

α=≠

三角函数值只与角的大小有关,而与终旁边点P的位置无关。

2.三角函数在各象限的符号:

(一全二正弦,三切四余弦)

++-+-+---++-

sinαcosαtanα

3.同角三角函数的基本关系式:

(1)平方关系:2

222

1

sin

cos1,1tancosαααα

+=+=

(2)商数关系:sintancosα

αα

=

(用于切化弦)※平方关系普通为隐含条件,直截了当运用。注意“1”的代换

4.三角函数的诱导公式

诱导公式(把角写成απ

±2

k形式,利用口诀:奇变偶别变,符号看象限)

Ⅰ)?????=+=+=+xxkxxkxxktan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(πππⅡ)?????-=-=--=-xxxxxxtan)tan(cos)cos(sin)sin(Ⅲ)??

???=+-=+-=+xxxxxxtan)tan(cos)cos(sin)sin(πππⅣ)?????-=--=-=-xxxxxxtan)tan(cos)cos(sin)sin(πππⅤ)???????=-=-ααπααπsin)2cos(cos)2sin(Ⅵ)???

????-=+=+α

απααπsin)2cos(cos)2sin(

5.特别角的三角函数值

6.三角函数的图像及性质sinyx=

cosyx=tanyx=

图像

定义域RR

,2xxkkZππ??≠+∈????

值域

[]1,1-

[]1,1-

R

当22

xkπ

π=+

()kZ∈时,

max1y=;

当22

xkπ

π=-

()kZ∈时,当()2xkkZπ=∈时,

max1y=;当2xkππ=+

()kZ∈时,min1y=-.

既无最大值也无最小值

0o30o45o60o90o120o135o150o180o

?

270

360o

弧度

6

π4π3π2π23π34π56ππ

32

π2π

sinα

12

22

32

1

3222

12

1

cosα

1

3222

120

1

2-22-32-1-01

tanα033

1

3

3-

1-

3

3

-

数性质

7.函数sin()yAxω?=+图象的画法:①“五点法”――设Xxω?=+,令X=0,

3,,

,22

2

π

π

ππ求出相应的x值,计算得出五点的坐标,描点后得出图象;②图象变换法:这是作函数简图常用办法。

8.图像的平移变换:函数sin()yAxkω?=++的图象与sinyx=图象间的关系:

要特殊注意,若由()sinyxω=得到()sinyxω?=+的图象,则向左或向右平移应平移

|

|?

ω

个单位例:以sinyx=变换到4sin(3)3

yxπ=+为例

sinyx=向左平移

3

π

个单位(左加右减)

sin3yxπ?

?=+??

?

横坐标变为原来的

13倍(纵坐标别变)sin33yxπ?

?=+??

?

纵坐标变为原来的4倍(横坐标别变)4sin33yxπ??=+?

?

?

sinyx=横坐标变为原来的1

3

倍(纵坐标别变)()sin3yx=

向左平移

9π个单位(左加右减)sin39yxπ??=+???sin33xπ?

?=+??

?

纵坐标变为原来的4倍(横坐标别变)4sin33yxπ??=+?

?

?

注意:在变换中改变的始终是x。

9、三角恒等变换

1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式:(1)βαβαβαcossincossin)sin(+=+(2)βαβαβαcossincossin)sin(-=-(3)βαβαβαsinsincoscos)cos(-=+(4)βαβαβαsinsincoscos)cos(+=-(5)β

αβ

αβαtantan1tantan)tan(-+=

+?()()tantantan1tantanαβαβαβ+=+-

(6)β

αβ

αβαtantan1tantan)tan(+-=

-?()()tantantan1tantanαβαβαβ-=-+

(7)sincosabαα+

)α?+(其中,辅助角?所在象限由点(,)ab所在的象限决定

,sintanb

a

???=

=

=

,该法也叫合一变形).(8)

)4tan(tan1tan1θπθθ+=-+)4

tan(tan1tan1θπ

θθ-=+-

10、二倍角公式

(1)

(2)(3)

11.落幂公式:(1)(2)

12.升幂公式(1)2

cos2cos12

α

α=+(2)2

sin

2cos12

α

α=-

(3)2)2

cos2(sinsin1α

α

α±=±(4)αα22cossin1+=(5)2

cos

2

sin2sinα

α

α=

aaacossin22sin=1cos2sin21sincos2cos2

2

2

2

-=-=-=aaaaaa

a

a2

tan1tan22tan-=

22cos1cos2

aa+=22cos1sin2

aa-=

13.三角变换:

函数名称变换:三角变形中常常需要变函数名称为同名函数。采纳公式:其中,

比如:

x

xycos3sin+=

)

cos)

3(13sin)

3(11(

)3(12

2

2

2

22xx++

++=

)cos23sin2

1(2xx+=

)3sincos3cos(sin2ππxx+=)3sin(2π+=x

注意:“凑角”运用:()ααββ=+-,()αββα=--,()()12ααββα=+--???

?

14、三角形中常用的关系:

,,,,

常见数据:

3215tan-=?,3275tan+=?,

15、正弦定理:在C?AB中,a、b、c分不为角A、B、C的对边,R为C?AB的外接圆的半径,则有2sinsinsinabc

RC

===AB(R是三角形外接圆半径)

.注:正弦定理的变形公式:

①2sinaR=A,2sinbR=B,2sincRC=;

②sin2aRA=,sin2bRB=,sin2c

CR

=;

③::sin:sin:sinabcC=AB

16、余弦定理:在C?AB中,有

2222cosabcbc=+-A,2222cosbacac=+-B,2222coscababC=+-

注:余弦定理的推论:222cos2bcabc+-A=,222

cos2acbac

+-B=,222cos2abcCab+-=.

17、三角形面积公式:111

sinsinsin222CSbcabCac?AB=A==B

)sin(cossin22?θθθ++=

+baba222

2sin,cosbabbaa+=

+=

??)sin(sinCBA+=)cos(cosCBA+-=2

cos2sinC

BA+=)(2sin2sin

CBA+-=)(2cos2cosCBA+=sin15cos75cos15?=?=

?=?=

两边夹角的正弦值两边之积??=

?21

ABCS高底?=?2

1

ABCS

注:(1)①假如一具三角形两边的平方和等于第三边,这么第三边所对的角为

直角;

②假如小于第三边的平方,这么第三边所对的角为钝角;

③假如大于第三边的平方,这么第三边所对角为锐角。(课本第6页右下角)

例如a、b、c是C?AB的角A

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