《平面向量及其应用》单元测试题

一、多选题1．题目文件丢失！2．下列说法中错误的为（）A．已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是B．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底C．若，则在方向上的投影为D．非零向量和满足，则与的夹角为60°3．若，，是任意的非零向量，则下列叙述正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，，则D．若，则4．已知点，，与向量平行的向量的坐标可以是（）A． B． C． D．(7，9)5．下列关于平面向量的说法中正确的是（）A．已知A、B、C是平面中三点，若不能构成该平面的基底，则A、B、C共线B．若且，则C．若点G为ΔABC的重心，则D．已知，，若，的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为6．在中，角，，所对各边分别为，，，若，，，则（）A． B． C． D．7．下列各式中，结果为零向量的是（）A． B．C． D．8．在中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列结论正确的是（）A． B．是钝角三角形C．的最大内角是最小内角的倍 D．若，则外接圆半径为9．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是．则第四个顶点的坐标为（）A． B． C． D．10．设、、是任意的非零向量，则下列结论不正确的是（）A． B．C． D．11．对于菱形ABCD，给出下列各式，其中结论正确的为（）A． B．C． D．12．设是两个非零向量，则下列描述正确的有（）A．若，则存在实数使得B．若，则C．若，则在方向上的投影为D．若存在实数使得，则13．已知的面积为,且,则()A．30° B．60° C．150° D．120°14．化简以下各式,结果为的有()A． B．C． D．15．题目文件丢失！二、平面向量及其应用选择题16．在中，设，则动点M的轨迹必通过的（）A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心17．在中，，，分别是角，，所对的边，若，且，则的形状是（）A．等边三角形 B．锐角三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形18．在中，角，，所对的边分别是，，，设为的面积，满足，且角是角和角的等差中项，则的形状为（）A．不确定 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等边三角形19．已知非零向量，满足，且，则的形状是A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形C．等腰（非等边）三角形 D．等边三角形20．三角形所在平面内一点P满足，那么点P是三角形的（）A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心21．下列说法中说法正确的有（）①零向量与任一向量平行；②若，则；③④；⑤若，则，，为一个三角形的三个顶点；⑥一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；A．①④ B．①②④ C．①②⑤ D．③⑥22．设为两个非零向量的夹角，已知对任意实数t，的最小值为1，则（）A．若确定，则唯一确定 B．若确定，则唯一确定C．若确定，则唯一确定 D．若确定，则唯一确定23．已知在四边形中，，则四边形的形状是()A．矩形 B．梯形 C．平行四边形 D．以上都不对24．若点是的重心，分别是，，的对边，且.则等于（）A．90° B．60° C．45° D．30°25．在中，为中点，且，若，则（）A． B． C． D．26．设中边上的中线为，点满足，则（）A． B．C． D．27．在中，、、分别是、、上的中线，它们交于点G，则下列各等式中不正确的是（）A． B．C． D．28．如图所示，在山底A处测得山顶B的仰角为，沿倾斜角为的山坡向山顶走1000米到达S点，又测得山顶的仰角为，则山高BC=（）A．500米 B．1500米 C．1200米 D．1000米29．如图，为测得河对岸塔的高，先在河岸上选一点，使在塔底的正东方向上，测得点的仰角为60°，再由点沿北偏东15°方向走到位置，测得，则塔的高是（单位：）（）A． B． C． D．1030．在中，，M为线段EF的中点，若，则的最大值为（）A． B． C． D．31．已知，，，(m，).存在，，对于任意实数m，n，不等式恒成立，则实数T的取值范围为（）A． B． C． D．32．已知平面向量，，满足，，则的最大值为（）A． B．2 C． D．433．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且，则等于（）A． B． C． D．34．在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且，点在线段上(与点，不重合)，若，则的取值范围是（）A． B．C． D．35．已知在中，内角、、所对的边分别为、、，若的面积为，且，则（）A． B． C． D．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、多选题1．无2．ACD【分析】由向量的数量积､向量的投影､基本定理与向量的夹角等基本知识，逐个判断即可求解.【详解】对于A，∵，，与的夹角为锐角，∴，且(时与的夹角为0)，所以且，故A错误；对于B解析：ACD【分析】由向量的数量积､向量的投影､基本定理与向量的夹角等基本知识，逐个判断即可求解.【详解】对于A，∵，，与的夹角为锐角，∴，且(时与的夹角为0)，所以且，故A错误；对于B，向量，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，B正确；对于C，若，则在方向上的正射影的数量为，故C错误；对于D，因为，两边平方得，则，，故，而向量的夹角范围为，得与的夹角为30°，故D项错误.故错误的选项为ACD故选：ACD【点睛】本题考查平面向量基本定理及向量的数量积，向量的夹角等知识，对知识广度及准确度要求比较高，中档题.3．ACD【分析】根据平面向量的定义、数量积定义、共线向量定义进行判断．【详解】对应，若，则向量长度相等，方向相同，故，故正确；对于，当且时，，但，可以不相等，故错误；对应，若，，则方向相同解析：ACD【分析】根据平面向量的定义、数量积定义、共线向量定义进行判断．【详解】对应，若，则向量长度相等，方向相同，故，故正确；对于，当且时，，但，可以不相等，故错误；对应，若，，则方向相同或相反，方向相同或相反，故的方向相同或相反，故，故正确；对应，若，则，，，故正确．故选：【点睛】本题考查平面向量的有关定义，性质，数量积与向量间的关系，属于中档题．4．ABC【分析】先求出向量的坐标，然后由向量平行的条件对选项进行逐一判断即可.【详解】由点，，则选项A.,所以A选项正确.选项B.,所以B选项正确.选项C.,所以C选解析：ABC【分析】先求出向量的坐标，然后由向量平行的条件对选项进行逐一判断即可.【详解】由点，，则选项A.,所以A选项正确.选项B.,所以B选项正确.选项C.,所以C选项正确.选项D.,所以选项D不正确故选：ABC【点睛】本题考查根据点的坐标求向量的坐标，根据向量的坐标判断向量是否平行，属于基础题.5．AC【分析】根据平面向量基本定理判断A；由数量积的性质可判断；由向量的中点表示和三角形的重心性质可判断，由数量积及平面向量共线定理判断D．【详解】解：因为不能构成该平面的基底，所以，又有公共解析：AC【分析】根据平面向量基本定理判断A；由数量积的性质可判断；由向量的中点表示和三角形的重心性质可判断，由数量积及平面向量共线定理判断D．【详解】解：因为不能构成该平面的基底，所以，又有公共点，所以A、B、C共线，即正确；由平面向量的数量积可知，若，则，所以，无法得到，即不正确；设线段的中点为，若点为的重心，则，而，所以，即正确；，，若，的夹角为锐角，则解得，且与不能共线，即，所以，故D错误；故选：AC．【点睛】本题考查向量共线定理和向量数量积的性质和向量的加减运算，属于中档题．6．BC【分析】用正弦定理求得的值，由此得出正确选项.【详解】解：根据正弦定理得：，由于，所以或.故选：BC.【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，是基础题.解析：BC【分析】用正弦定理求得的值，由此得出正确选项.【详解】解：根据正弦定理得：，由于，所以或.故选：BC.【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，是基础题.7．BD【分析】根据向量的加法和减法运算，对四个选项逐一计算，即可得正确答案.【详解】对于选项：，选项不正确；对于选项：，选项正确；对于选项：，选项不正确；对于选项：选项正确.故选：解析：BD【分析】根据向量的加法和减法运算，对四个选项逐一计算，即可得正确答案.【详解】对于选项：，选项不正确；对于选项：，选项正确；对于选项：，选项不正确；对于选项：选项正确.故选：BD【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，属于基础题.8．ACD【分析】先根据已知条件求得，再根据正余弦定理计算并逐一判断即可.【详解】因为所以可设：（其中），解得：所以，所以A正确；由上可知：边最大，所以三角形中角最大，又，所以角为解析：ACD【分析】先根据已知条件求得，再根据正余弦定理计算并逐一判断即可.【详解】因为所以可设：（其中），解得：所以，所以A正确；由上可知：边最大，所以三角形中角最大，又，所以角为锐角，所以B错误；由上可知：边最小，所以三角形中角最小，又，所以，所以由三角形中角最大且角为锐角,可得：，所以，所以C正确；由正弦定理得：，又所以，解得：，所以D正确.故选:ACD.【点睛】本题考查了正弦定理和与余弦定理，属于基础题.9．ABC【分析】设平行四边形的四个顶点分别是，分类讨论点在平行四边形的位置有：，，，将向量用坐标表示，即可求解.【详解】第四个顶点为，当时，，解得，此时第四个顶点的坐标为；当时，，解得解析：ABC【分析】设平行四边形的四个顶点分别是，分类讨论点在平行四边形的位置有：，，，将向量用坐标表示，即可求解.【详解】第四个顶点为，当时，，解得，此时第四个顶点的坐标为；当时，，解得，此时第四个顶点的坐标为；当时，，解得，此时第四个项点的坐标为．∴第四个顶点的坐标为或或．故选:ABC.【点睛】本题考查利用向量关系求平行四边形顶点坐标，考查分类讨论思想，属于中档题.10．AB【分析】利用平面向量数量积的定义和运算律可判断各选项的正误.【详解】对于A选项，，A选项错误；对于B选项，表示与共线的向量，表示与共线的向量，但与不一定共线，B选项错误；对于C选项，解析：AB【分析】利用平面向量数量积的定义和运算律可判断各选项的正误.【详解】对于A选项，，A选项错误；对于B选项，表示与共线的向量，表示与共线的向量，但与不一定共线，B选项错误；对于C选项，，C选项正确；对于D选项，，D选项正确.故选：AB.【点睛】本题考查平面向量数量积的应用，考查平面向量数量积的定义与运算律，考查计算能力与推理能力，属于基础题.11．BCD【分析】由向量的加法减法法则及菱形的几何性质即可求解.【详解】菱形中向量与的方向是不同的，但它们的模是相等的，所以B结论正确，A结论错误；因为，，且，所以，即C结论正确；因为，解析：BCD【分析】由向量的加法减法法则及菱形的几何性质即可求解.【详解】菱形中向量与的方向是不同的，但它们的模是相等的，所以B结论正确，A结论错误；因为，，且，所以，即C结论正确；因为，，所以D结论正确.故选：BCD【点睛】本题主要考查了向量加法、减法的运算，菱形的性质，属于中档题.12．AB【分析】若，则反向，从而；若，则，从而可得；若，则同向，在方向上的投影为若存在实数使得，则共线，但是不一定成立.【详解】对于选项A，若，则反向，由共线定理可得存在实数使得；对于选解析：AB【分析】若，则反向，从而；若，则，从而可得；若，则同向，在方向上的投影为若存在实数使得，则共线，但是不一定成立.【详解】对于选项A，若，则反向，由共线定理可得存在实数使得；对于选项B，若，则，,可得；对于选项C，若，则同向，在方向上的投影为;对于选项D，若存在实数使得，则共线，但是不一定成立.故选：AB.【点睛】本题主要考查平面向量的性质及运算，明确向量的性质及运算规则是求解的关键，侧重考查逻辑推理的核心素养.13．BD【分析】由三角形的面积公式求出即得解.【详解】因为,所以,所以,因为,所以或120°.故选：BD【点睛】本题主要考查三角形面积的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.解析：BD【分析】由三角形的面积公式求出即得解.【详解】因为,所以,所以,因为,所以或120°.故选：BD【点睛】本题主要考查三角形面积的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14．ABCD【分析】根据向量的线性运算逐个选项求解即可.【详解】;;;.故选：ABCD【点睛】本题主要考查了向量的线性运算,属于基础题型.解析：ABCD【分析】根据向量的线性运算逐个选项求解即可.【详解】;;;.故选：ABCD【点睛】本题主要考查了向量的线性运算,属于基础题型.15．无二、平面向量及其应用选择题16．D【分析】根据已知条件可得，整理可得，若为中点，可知，从而可知在中垂线上，可得轨迹必过三角形外心.【详解】设为中点，则为的垂直平分线轨迹必过的外心本题正确选项：【点睛】本题考查向量运算律、向量的线性运算、三角形外心的问题，关键是能够通过运算法则将已知条件进行化简，整理为两向量垂直的关系，从而得到结论.17．C【分析】化简条件可得，由正弦定理化边为角，整理，即可求解.【详解】，.，.由正弦定理，得，，化简得.，，则，∴是等腰直角三角形.故选：C.【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角恒等变换，属于中档题.18．D【分析】先根据得到之间的关系，再根据是的等差中项计算出的大小，由此再判断的形状.【详解】因为，所以，所以，所以，又因为，所以，所以，所以是等边三角形.故选：D.【点睛】本题考查等差中项以及利用正弦定理判断三角形形状，难度一般.（1）已知是的等差中项，则有；（2）利用正弦定理进行边角互化时，注意对于“齐次”的要求.19．D【分析】先根据，判断出的角平分线与垂直，进而推断三角形为等腰三角形进而根据向量的数量积公式求得，判断出三角形的形状．【详解】解：，，分别为单位向量，的角平分线与垂直，，，，，三角形为等边三角形．故选：D．【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算，三角形形状的判断．考查了学生综合分析能力，属于中档题．20．B【分析】先化简得，即得点P为三角形的垂心.【详解】由于三角形所在平面内一点P满足，则即有，即有，则点P为三角形的垂心.故选：B.【点睛】本题主要考查向量的运算和向量垂直的数量积，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.21．A【分析】直接利用向量的基础知识的应用求出结果.【详解】对于①：零向量与任一向量平行，故①正确；对于②：若，则，必须有，故②错误；对于③：，与不共线，故③错误；对于④：，根据三角不等式的应用，故④正确；对于⑤：若，则为一个三角形的三个顶点，也可为，故⑤错误；对于⑥：一个平面内，任意一对不共线的向量都可以作为该平面内所有向量的基底，故⑥错误.综上：①④正确.故选：A.【点睛】本题考查的知识要点：向量的运算的应用以及相关的基础知识，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题．22．B【分析】，令，易得时，，即，结合选项即可得到答案.【详解】，令，因为，所以当时，，又的最小值为1，所以的最小值也为1，即，，所以，所以，故若确定，则唯一确定.故选：B【点睛】本题考查向量的数量积、向量的模的计算，涉及到二次函数的最值，考查学生的数学运算求解能力，是一道容易题.23．B【分析】计算得到，得到，为平行四边形，得到答案.【详解】，则.设，故，为平行四边形，故为梯形.故选：.【点睛】本题考查了根据向量判断四边形形状，意在考查学生的综合应用能力.24．D【分析】由点是的重心可得,即,代入中可得,由不共线可得,即可求得的关系,进而利用余弦定理求解即可【详解】因为点是的重心,所以,所以,代入可得,因为不共线,所以,即,所以,故,故选:D【点睛】本题考查向量的线性运算,考查利用余弦定理求角25．B【分析】选取向量，为基底，由向量线性运算，求出，即可求得结果.【详解】，，，，，.故选：B.【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，平面向量基本定理，属于基础题.26．A【分析】作出图形，利用、表示，然后利用平面向量减法的三角形法则可得出可得出结果.【详解】如下图所示：为的中点，则，，，，故选：A.【点睛】本题考查利用基底表示向量，考查了平面向量减法和加法三角形法则的应用，考查计算能力，属于中等题.27．C【分析】由三角形的重心定理和平面向量的共线定理可得答案．【详解】中，、、分别是、、上的中线，它们交于点G，可得G为重心，则，，且故选：C【点睛】本题考查了三角形的重心定理和向量共线定理，属于中档题．28．D【分析】作出图形，过点作于，于，依题意可求得在中利用正弦定理可求的长，从而可得山顶高．【详解】解：依题意，过点作于，于，，米，米，依题意，在中，，，在中，，，在中，米，米，故选：D．【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，考查作图与计算的能力，属于中档题．29．B【分析】设塔高为x米，根据题意可知在△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，AB=x，从而有BC=，在△BCD中，CD=10，∠BCD=105°，∠BDC=45°，∠CBD=30°，由正弦定理可求BC，从而可求x即塔高．【详解】设塔高为x米，根据题意可知在△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，AB=x，从而有BC=，AC=，在△BCD中，CD=10，∠BCD=60°+30°+15°=105°，∠BDC=45°，∠CBD=30°由正弦定理可得，可得，BC=.则x=10；所以塔AB的高是10米；故选B．【点睛】本题主要考查了正弦定理在实际问题中的应用，解决本题的关键是要把实际问题转化为数学问题，即正确建立数学模型，结合已知把题目中的数据转化为三角形中的数据，进而选择合适的公式进行求解．30．C【分析】化简得到，根据得到，得到的最大值.【详解】，故故，故.当时等号成立.故选：.【点睛】本题考查了向量的运算，最值问题，意在考查学生的综合应用能力.31．A【分析】不等式恒成立，即求最小值，利用三角不等式放缩，转化即求最小值，再转化为等边三角形的边的中点和一条直线上动点的距离最小值.当运动到时且反向时，取得最小值得解.【详解】，,易得设，中点为，中点为则在单位圆上运动，且三角形是等边三角形,，所在直线方程为因为恒成立，,(当且仅当与共线同向，即与共线反向时等号成立)即求最小值.三角形是等边三角形，在单位圆上运动