2023北京版数学高考第二轮复习-9直线和圆的方程

2023北京版数学高考第二轮复习

第九章直线和圆的方程

9.1直线方程与圆的方程

三年模拟

一、选择题

1.(2022福建龙岩一模,2)直线x+ay+b=0经过第一、二、四象限，则()

A.a<0,b<0B.a<0,b>0

C.a>0,b<0D.a>0,b>0

答案C因为直线x+ay+b=0经过第一、二、四象眼，所以该直线的斜率-%0,在y轴上的截距q>0,则

a>0,b<0.故选C.

2.(2022济南二模,14)过直线x+y=2与x-y=0的交点，且平行于向量v=(3,2)的直线方程为()

A.3x-2y-l=0B.3x+2y-5=0

C.2x-3y+l=0D.2x-3y-l=0

答案C由热;22得所以直线x+y=2与x-y=o的交点坐标为(1,1).因为所求直线平行于向

量v=(3,2),所以所求直线方程为y-l=|(x-l),即2x-3y+l=0,故选C.

3.(2022重庆巴蜀中学3月适应性月考(八),4)已知O为坐标原点，直线l:y=kx+(2-2k)上存在一点P,使得

|OP|=&JH[]k的取值范围为()

A.[V3-2,>/3+2]

B.(-oo,2-V3]U[2+V3,+oo)

C.[2-A/3,2+a

D.(-oo,V3-2]U[V3+2,+oo)

答案C由题意知■^型4夜,解得kG[2-B,2+圾故选C.

4.(2021四J11诊断性测试,9)已知直线l:bx-ay+ab=0(a,b>0)经过点P(-l,2),则2a+b的最小值为()

A.6B.7C.8D.9

答案C直线l:bx-ay+ab=0(a,b>0)经过点P(-1,2),-b-2a+ab=0,EP2a+b=abN2V^F,；.ab28(当且仅

当2a=b时取等号),...2a+b的最小值为8,故选C.

5.(2022哈尔滨三十二中期末,12)已知圆C的圆心为(2,-3),且过点(0,0),则圆C的方程为()

A.(x+2)2+(y-3)2=5

B.(x-2)2+(y+3)2=5

C.(x+2)2+(y-3)2=13

D.(x-2)?+(y+3)2=13

答案D设圆C的方程为(x-2)2+(y+3)2=r2(r>0),因为圆C过点(0,0),所以(0-2)2+(0+3)2=F,解得F=13,所

以圆C的方程为(x-2)2+(y+3>=13.故选D.

6.(2022山东烟台、德州一模,8)过直线x-y-m=0上一点P作圆M:(x-2)2+(y-3)2=l的两条切线，切点分别

为A,B,若使得四边形PAMB的面积为夕的点P有两个，则实数m的取值范围为()

A.(-5,3)B.(-3,5)

C.(-a>,-5)U(3,+oo)D.(-oo,-3)U(5,+oo)

答案A由圆M:(x-2)2+(y-3)2=l得圆心M(2,3),半径为1,.,.|MA|=|MB|=1，故四边形PAMB的面积

S=||PA|-|MA|+||PB||MB|=|PA|=夕，

.,.|PM|=V|M/1|2+|PA|2=JI?+(b)2=2四,要使四边形PAMB的面积为«的点P有两个厕

,了臼3辿一<2混,解得-5<m<3.故选A.

Ji2+(-D2

7.(2022福州一模,2)已知A(-V3,0),B(疯0),C(0,3)厕一ABC外接圆的方程为()

A.(x-l)2+y2=2

B.(x-l>+y2=4

C.x2+(y-l)2=2

D.x2+(y-l)2=4

22

((-V3-a)+(0-b)2=r,(a=0,

答案D设△人8(2外接圆的方程为慎也)2+0上)2=1>0,则卜缶)2+(0-b)2=r2,解得卜=L则

k(0-a)2+(3-b)2=r2,=2，

△ABC外接圆的方程为x?+(y-1)2=4,故选D.

8.(2022山东荷泽期末⑻瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心位于同一

直线上.这条直线被后人称为三角形的欧拉线”.在平面直角坐标系中作△ABC,AB=AC,点点

C(3,5),过其欧拉线"上一点P作圆O:x2+y2=4的两条切线，切点分别为MN则|MN|的最小值为()

A.A/2B.2近C.A/3D.2V3

答案B因为线段BC的中点坐标为(1,3),欧拉线"的斜率为k=^=-l,所以欧拉线"方程为y-3=-(x-l),

即x+y-4=0,又点O到直线x+y-4=0的距离d=*=2/>2,即欧拉线"与圆0相离，要使|MN|最小，则在

RMPMO与RMPNO中,NMOP=ZNOP最小，即NMPN最大.而当OP_L欧拉线"时/MPN最大，所以

d=|OP|=2也则|MN|=2rsinNNOP(r为圆O的半径)，且r=2,coszNOP三=翌所以sinZNOP=¥，即

|MN|min=2鱼，故选B.

9.(2022广东江门3月模拟,8)已知M是圆C:x2+y2=l上一个动点，且直线h：mx-ny-3m+n=0与直线

L：nx+my-3m-n=O(m,nWR,m2+n2wO)相交于点P,则|PM|的取值范围是()

A.IV3-1,273+1]

B.[V2-1,372+1]

C.[V2-1,2V2+1]

D.[A/2-1,3V3+1]

答案B直线h：m(x-3)-n(y-l)=0恒过点A(3,l),直线l2：n(x-l)+m(y-3)=O恒过点B(l,3),显然直线li±12,

因此，直线h与L的交点P的轨迹是以线段AB为直径的圆，其方程为(x-2)2+(y-2)2=2,圆心N(2,2),半径

年鱼,而圆C的圆心C(0,0),半径r产1,如图,

|NC|=2&>n+r2厕两圆外离，由圆的几何性质得PMLHNC卜口士=尤-1,|PM|max=|NC|+rl+r2=

3或+1,所以FM|的取值范围为[&-1,3鱼+1],故选B.

10.(2022福建4月百校联合测评⑻在平面直角坐标系xOy中点A在x轴上点B在y轴上,|AB|=2点C

满足ACLBC,则点C到点P(点1)的距离的最大值为()

7

A.3B.；C.5D.4

答案D由题意可知点C在以线段AB为直径的圆上，设AB的中点坐标为M(a,b),有

|OM|=|AM|=|BM|=1,可得a2+b?=l,由|MP|4|OP|+1,|OP|=卜鬲2Tlz=2,有

|CP|<|MP|+1<|OP|+1+1=2+1+1=4.当且仅当O,M,P三点共线时取等号.

11.(2020安徽淮南一模,6)数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直

线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知△ABC

的顶点A(4,0),B(0,2),且AC=BC,则△ABC的欧拉线方程为()

A.2x+y-3==0B.x-2y-3=0

C.x-2y+3=0D.2x-y-3=0

答案D线段AB的中点为(2,l),kAB=，，

线段AB的垂直平分线方程为y=2(x-2)+1,即2x-y-3=0.VAC=BC,三角形ABC的外心、重心、垂心

依次位于线段AB的垂直平分线上，

因此△ABC的欧拉线方程为2x-y-3=0,故选D.

12.(2021黑龙江齐齐哈尔八中月考,6)已知点(-1,2)和铮0)在直线l:ax-y+l=0(aH0)的同侧,则直线1的倾

斜角的取值范围为()

氏(抬)B,(0,加售,勾

。(需)。借书

答案D因为点(-1,2)和(苧,0)在直线l:ax-y+l=0(a*0)的同侧，所以(-a-2+l)•停a-0+l)>0,即

(a+l>(a+b)<0,解得又直线1的斜率k=a，所以又直线的倾斜角范围为［0,兀)，所以直线

1的倾斜角的取值范围为管片)，故选D.

13.(2022江西景德镇重点中学3月模拟,5)已知点P在曲线y=岛上6为曲线在点P处的切线的倾斜角,

则a的取值范围为()

A.(o,第B,律m)

C［喝喑m)D.(o,加&咒

答案B根据题意得y-e£2二x+2：e；x+"i・曲线e在^x+点zePx+处l的切线铲+的右斜+2率k2+=2-2二:工=-一

当且仅当6*=占即x=0时取岂又ex+^>O,.-.k<O,.\-l<k<O.S。[0,兀),结合正切函数图象可

知,aG岸,Ti),故选B.

14.(2021吉林第三次调研考试,5)若圆C的半径为1,圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0和x轴都相切，则

该圆的标准方程是()

A.(x-3)2+(y-l)2=1B.(x-2)2+(y-3)2=l

C.(x-2)2+(y-l)2=1D,(x-3)2+(y-2)2=1

答案C因为圆C的半径为1.圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0和x轴均相切,所以圆心的纵坐标为

1，从而设圆心坐标为(a,1),a>0,则有了地1L=1,解得a=2或a=-；(舍去)，所以圆C的标准方程为(x-2>+(y-

2

*匕42乙+(»-3、)2

1)2=1,故选C.

15.(2022山西晋城重点中学4月月考,6)以(a,1)为圆心，且与两条直线2x-y+4=()与2x-y-6=0同时相切的

圆的标准方程为()

A.(x・l)2+(y-1产=5B.(x+l)2+(y+l)2=5

C.(x-l)2+y2=5D.x2+(y-l)2=5

答案A由已知得圆心到直线的距离d上*=与詈，解得a=l,d=V^,所以半径「=点所以圆的标

V5V5

准方程为(x-1>+(y-1)2=5.

16.(2022皖南八校联考,5)已知直线y=ax与圆C:x2+y2-2ax-2y+2=0相交于A,B两点，且△ABC为等边三

角形，则圆C的面积为()

A.497tB.36兀C.77iD.6TI

答案D圆C的标准方程为(x-a)2+(y-l)2=a21则圆心C(a,l)到直线y=ax的距离为警卫=冬被可，

Va2+1乙

解得a?=7.所以圆C的半径为①,所以圆C的面积为67t，故选D.

17.(2020天津南开二模,3)方程x2+y2-kx+2y+k2-2=0表示圆的一个充分不必要条件是()

A.kG(-oo,-2)U(2,+oo)

B.kE(2,+8)

C.kG(-2,2)

D.ke(0,1]

答案D由方程x2+y2-kx+2y+k2-2=0表示圆得1?+4-4(1<2-2)>0,即-2<k<2.，k£(O,l］为方程x2+y2-

kx+2y+k2-2=0表示圆的一^充分不必要条件.

18.(2020天津四中复习检测,6)已知圆C与直线y=x及x-y-4=0都相切，圆心在直线y=-x上厕圆C的方

程为()

A.(x+l)2+(y-l)2=2

B.(x+l/+(y+1产=2

C.(x-l)2+(y-l)2=2

D.(x-l)2+(y+l)2=2

答案D设圆C的半径为r.♦.•圆心在直线y=-x上,...可设圆心坐标为(a,-a),♦圆C与直线y=x相切，\

圆心(a,-a)到直线y=x的距离为詈=您，

同理，圆心(a,-a)到直线x-y-4=0的距离为嗤1②，联立①②，解得a=l,r=VI.•.圆C的方程为(x-

l)2+(y+1尸=2.故选D.

二、填空题

19.(2022河北九师联盟一模,14)写出/同时满足下列条件①②③的直线的方程:.

①斜率小于0；

②在x轴上的截距大于0;

"2

③与双曲线%y2=l有且仅有一个公共点.

答案丫=-》+1(答案不唯一)

解析只要与双曲线的渐近线y=-%平行.且在x轴上的截距大于0即可.

20.(2022豫西五校4月联考,14)过点P(l,2)作直线1,若点A(2,3),B(4,-5)到它的距离相等,则直线I的方程

为.

答案4x+y-6=0或3x+2y-7=0

解析解法一:若A、B位于直线I的同侧，则直线111人8«八15=衿=4所以直线1的方程为4*+/6=0;若

A、B位于直线1的两侧厕直线I必经过线段AB的中点(3,-1),所以直线I的方程为3x+2y-7=0.所以直

线I的方程为4x+y-6=0或3x+2y-7=0.

解法二:设直线1的方程为y-2=k(x-l),即kx-y+2-k=0,则竿型=零丝型,化简得k-l=3k+7或k-

"出+1

1+3k+7=0.解得k=-4或k=-|,所以直线1的方程为4x+y-6=0或3x+2y-7=0.

21.(2021豫西南五校3月联考,14)已知点P(2,l)在圆C:x?+y2+ax-2y+b=0上点P关于直线x+y-l=0的对

称点也在圆上，则圆C的半径为.

答案2

解析解法一:由题意知圆心C(4，l)在直线x+y/=0上，从而有-汨-1=0,解得a=0,又知点P(2,l)在圆

C:x2+y2+ax-2y+b=0上,所以有22+F+0x2-2xl+b=0,即b+3=0,解得b=-3,所以圆C的半径

Jo2+(-2)2-4n(-3)

r=----------2----------=2.

解法二:同解法一知a=0,二C(0,1),又点P(2,1)在圆C上,.••圆C的半径为,(0-2)2+(1-1/=2.

22

22.(2022河北一模,13)经过点P(5,5)的直线1被圆C：x+y=25截得的弦长为4相则直线I的方程

为.

答案x-2y+5=0或2x-y-5=0

解析由题意可得，直线的斜率存在，

则可设直线1的方程为y-5=k(x-5),即kx-y+5-5k=0.又弦心距为125-(2V5)2=V5,

所以圆心到直线的距离d」°：+5-5W=V5,

同

解得k=2或k=1,

则直线I的方程为2x-y-5=0或x-2y+5=0.

23.(2022天津五十五中统练20,12)已知圆C过P(0,l)、Q(2,l)两点.且圆心C在x轴上,经过点M(-l,0)且

倾斜角为钝角的直线I交圆C于A、B两点，若Z%荏=0厕直线1的斜率为

答案-y

解析由题可知,PQ为圆C的弦,则圆心C在PQ的中垂线x=1上，又•圆心在x轴上,故圆心C的坐标

为(1,0),故圆的半径r=|PC|=V2.

•••过点M(-l,0)的直线1交圆C于A,B两点次加=0,

△CAB为等腰直角三角形,|CA|=|CB|=r=&,

则圆心C到直线1的距离d=l,

设1的方程为y=k(x+l),k<0,即kx-y+k=0,

则d=-I^L=l=>k=±*,;k<0,.-.k=

庖33

24.(2021天津十二校联考一模,12)已知直线l:y=kx-l与圆C:x2+y2-4x+3=0相切，则正实数k的值

为.

/安-

Q条3

解析易知圆C的圆心为(2,0),半径r=l,

由题意得圆心到直线y=kx-l的距离为粤=1,解得k=0或k=:

河3

因为k为正实数，所以

25.(2022和平一模,12)已知圆C的圆心在直线2x-y-2=0上，且与直线l:3x+4y-28=0相切于点P(4,4),则圆

C的标准方程为.

答案(x-l)2+y2=25

解析过点P(4,4)与直线l:3x+4y-28=0垂直的直线m的斜率为《所以直线m:y-4=g(x-4),即4x-3y-4=0.

联立第驾°,解得c(的

所以圆C的半径r=|PC|=J(4-1)2+(4-0)2=5.

故圆C的方程为(x-l>+y2=25.

名师点睛过切点的切线的垂线过圆心.

26.(2022天津十二区县一模考前模拟,12)圆心为直线x-y+2=0与直线2x+y-8=0的交点，且过原点的圆的

标准方程是.

答案(x-2)2+(y-4)2=20

解析联立院y"：解得｛浮：

即圆心的坐标为(2,4),

设圆的标准方程为(x-2)2+(y-4)2=F,

将(0,0)代入上式得r=20.

故圆的标准方程为(x-2)2+(y-4)2=20.

27.(2022天津市实验中学自主模拟一,12)已知圆x2+y2+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为6,则

实数a的值为.

答案-9

解析(x+1)2+(y-1)2=2-a(a<2),

..•圆心为(-1,1),半径为VTF

.••圆心到直线的距离d=止滑i=2.

又弦长为6,二2'2—a-2=6,解得a=-9.

28.(2022天津耀华中学统练(9),12)已知直线l:y=x+m被圆C:x2+y2-4x-2y-l=0截得的弦长等于该圆的半

径，则实数m=.

答案2或-4

解析(x-2)2+(y-l)2=6,

圆心C(2,l),半径为遥，

点C到直线y=x+m的距离£|=邑护=喀，

・••2/-噌=爬,

整理得(m+1>=9,解得m=2或m=-4.

29.(2021天津十二校联考二模,12)已知直线l:mx+y-2m-2=0与圆C:x2+y2-8y=0交于A,B两点，若

ZACB4则直线1的方程为.

答案x-y=0

解析x2+y2-8y=0=>x2+(y-4)2=16,

则圆心C(0.4),铐r=4.VzACB=],|AC|=|BC|=r=4,

二AACB为等腰直角三角形....圆心到直线1的距离d=r-sin45。=4乂乎=2Vz

由d=^=2V^=m2+2m+l=0=m=-l.

/J:-x+y=0,BPx-y=0.

30.(2020天津第二十五中学线上测试,13)过点A(-3,2),B(-5,-2),且圆心在直线3x-2y+4=0上的圆的半径

为.

答案V10

解析直线AB的斜率k=号总=2,

所以与直线AB垂直的直线的斜率k'=3

又线段AB的中点坐标为(-4,0),

所以线段AB的垂直平分