（上海专用）2023版高考数学总复习专题13推理与证明、新定义分项练习（含解析）

PAGE1-第十三章推理与证明、新定义一．根底题组1.【2022上海,理14】点O(0,0)、Q0(0,1)和点R0(3,1)，记Q0R0的中点为P1，取Q0P1和P1R0中的一条，记其端点为Q1、R1，使之满足(|OQ1|－2)(|OR1|－2)＜0，记Q1R1的中点为P2，取Q1P2和P2R1中的一条，记其端点为Q2、R2，使之满足(|OQ2|－2)(|OR2|－2)＜0，依次下去，得到P1，P2，…，Pn，…，那么______.【答案】【解析】2.(2022上海,理13)某地街道呈现东—西、南—北向的网格状,相邻街距都为1.两街道相交的点称为格点.假设以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系,现有下述格点(-2,2),(3,1),(3,4),(-2,3),(4,5),(6,6)为报刊零售点.请确定一个格点(除零售点外)___________为发行站,使6个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短.【答案】〔3，3〕【解析】设确定的格点为〔x,y)，由题意知确定的格点到的6个格点路程的和最短，即为x,y分别到6个格点的横.纵坐标距离和最小，6个格点的横坐标由小到大排列为-2,-2,3,3,4,6，所以x=3时到这6个数的距离和最小.同理y=3时，y到6个格点纵坐标距离之和最小.故所求的格点为(3,3).3.【2022上海,文15】如图，在平面直角坐标系中，是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点C、D的定圆所围成的区域〔含边界〕，A、B、C、D是该圆的四等分点．假设点、点满足且，那么称P优于．如果中的点满足：不存在中的其它点优于Q，那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧〔〕Ａ．B．C．D．【答案】4.【2022上海,理9】假设为非零实数，那么以下四个命题都成立：①②③假设，那么④假设，那么。那么对于任意非零复数，上述命题仍然成立的序号是。5.【2022上海,理10】如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对〞．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对〞的个数是．【答案】36【解析】如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对〞．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对〞，分情况讨论：①对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对〞，这样的“正交线面对〞有2×12=24个；②对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对〞，这样的“正交线面对〞有12个；所以正方体中“正交线面对〞共有36个．6.【2022上海,文12】如图，平面中两条直线和相交于点，对于平面上任意一点,假设分别是到直线和的距离，那么称有序非负实数对是点的“距离坐标〞，根据上述定义，“距离坐标〞是〔1，2〕的点的个数是____________.【答案】47.【2022上海,文16】用个不同的实数可得到个不同的排列，每个排列为一行写成一个行的数阵.对第行，记，.例如：用1，2，3可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，，那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中，等于〔〕A．—3600B．1800C．—1080D．—720【答案】－1080【解析】在用1，2，3，4，5形成的数阵中，每一列各数之和都是360，二．能力题组8.【2022上海,理22】〔此题总分值18分〕此题共有3个小题，第1小题总分值3分，第2小题总分值5分，第3小题总分值10分.假设实数、、满足，那么称比远离.〔1〕假设比远离，求的取值范围；〔2〕对任意两个不相等的正数、，证明：比远离；〔3〕函数的定义域.任取，等于和中远离的那个值.写出函数的解析式，并指出它的根本性质〔结论不要求证明〕.【答案】〔1〕〔2〕〔3〕(3)，

性质：1f(x)是偶函数，图像关于y轴对称，2f(x)是周期函数，最小正周期，

3函数f(x)在区间单调递增，在区间单调递减，kZ，

4函数f(x)的值域为．【点评】此题给人耳目一新的感觉，问题的表述比拟陌生，提问方式新颖，考生需要较强的数学理解和化归能力，对考生的综合数学能力要求较高．但认真分析一下就会有“他乡遇故知〞的感觉——函数与不等式的综合.9.【2022上海,理16】如图，平面中两条直线和相交于点O，对于平面上任意一点M，假设、分别是M到直线和的距离，那么称有序非负实数对〔，〕是点M的“距离坐标〞．常数≥0，≥0，给出以下命题：①假设＝＝0，那么“距离坐标〞为〔0，0〕的点有且仅有1个；②假设＝0，且＋≠0，那么“距离坐标〞为〔，〕的点有且仅有2个；③假设≠0，那么“距离坐标〞为〔，〕的点有且仅有4个．上述命题中，正确命题的个数是〔〕〔A〕0；〔B〕1；〔C〕2；〔D〕3．【答案】D②假设＝0，且＋≠0，那么p与q中有一个为0，另一个不为0，“距离坐标〞为〔，〕的点可以在直线l1或直线l2上，例如〔p，q〕=(0，1)，那么点M在直线l2上，且到O点距离为1，这样的点有2个，命题②正确；③假设≠0，那么p≠0，q≠0，“距离坐标〞为〔，〕的点在两条直线相交而成的四个区域内，这样的点有且仅有4个．正确上述命题中，正确命题的个数是3个，选D.10.【2022上海,理22】〔此题总分值18分〕此题共有3个小题，第1小题总分值4分，第2小题总分值8分，第3小题总分值6分．在直角坐标平面中，点，，，…，，其中是正整数．对平面上任一点，记为关于点的对称点，为关于点的对称点，……，为关于点的对称点．求向量的坐标；当点在曲线上移动时，点的轨迹是函数的图象，其中是以3为周期的周期函数，且当时，，求以曲线为图象的函数在的解析式；〔3〕对任意偶数，用表示向量的坐标【答案】〔1〕〔2，4〕；〔2〕；〔3〕因此，基线C是函数的图象，其中是以3为周期的周期函数，且当设假设当当时，。〔3〕由于，.三．拔高题组11.【2022高考上海理数】〔此题总分值18分〕此题共有3个小题，第1小题总分值4分，第2小题总分值6分，第3小题总分值8分.对于定义域为的函数，假设存在正常数，使得是以为周期的函数，那么称为余弦周期函数，且称为其余弦周期.是以为余弦周期的余弦周期函数，其值域为.设单调递增，，.〔1〕验证是以为周期的余弦周期函数；〔2〕设．证明对任意，存在，使得；〔3〕证明：“为方程在上得解〞的充要条件是“为方程在上有解〞，并证明对任意都有.【答案】〔1〕详见解析〔2〕详见解析〔3〕详见解析〔2〕由于的值域为，所以对任意，都是一个函数值，即有，使得.假设，那么由单调递增得到，与矛盾，所以.同理可证.故存在使得.〔3〕假设为在上的解，那么，且，，即为方程在上的解.同理，假设为方程在上的解，那么为该方程在上的解.以下证明最后一局部结论.由〔2〕所证知存在，使得，，，，，.而是函数的单调区间，，，，.与之前类似地可以证明：是在上的解当且仅当是在上的解.从而在与上的解的个数相同.故，，，，，.对于，，，而，故.类似地，当，，，时，有.结论成立.【考点定位】新定义问题【名师点睛】新定义问题一般先考察对定义的理解，这时只需一一验证定义中各个条件即可.二是考查满足新定义的函数的简单应用，如在某些条件下，满足新定义的函数有某些新的性质，这也是在新环境下研究“旧〞性质，此时需结合新函数的新性质，探究“旧〞性质.三是考查综合分析能力，主要将新性质有机应用在“旧〞性质，创造性证明更新的性质.12.【2022上海,理22】〔此题总分值16分〕此题共3个小题，第1小题总分值3分，第2小题总分值5分，第3小题总分值8分.在平面直角坐标系中，对于直线：和点记假设<0，那么称点被直线分隔.假设曲线C与直线没有公共点，且曲线C上存在点被直线分隔，那么称直线为曲线C的一条分隔线.⑴求证：点被直线分隔；⑵假设直线是曲线的分隔线，求实数的取值范围；⑶动点M到点的距离与到轴的距离之积为1，设点M的轨迹为E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分割线.【答案】(1)证明见解析；〔2〕；〔3〕证明见解析.【解析】二次项系数为0和不为0分类，然后在曲线上找到两点位于直线的两侧．那么可得到所求范围；〔3〕首先求出轨迹的方程，化简为，过原点的直线中，当斜率存在时设其方程为，然后解方程组，变形为，这个方程有无实数解，直接判断不方便，可转化为判断函数与的图象有无交点，而这可利用函数图象直接判断．是开口方向向上的二次函数，是幂函数，其图象一定有交点，因此直线不是的分隔线，过原点的直线还有一条就是，它显然与曲线无交点，又曲线上两点一定在直线两侧，故它是分隔线，结论得证．试题解析：〔1〕由题得，，∴被直线分隔.又对任意的，点和在曲线上，满足，被直线分隔，所以所求的范围是．〔3〕由题得，设，∴，化简得，点的轨迹方程为①当过原点的直线斜率存在时，设方程为.联立方程，.令，因为，所以方程有实解，直线与曲线有交点．直线不是曲线的分隔线．②当过原点的直线斜率不存在时，其方程为.显然与曲线没有交点，又曲线上的两点对于直线满足，即点被直线分隔．所以直线是分隔线．综上所述，仅存在一条直线是的分割线.【考点】新定义，直线与曲线的公共点问题.13.【2022上海,理23】平面上的线段l及点P.任取l上一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到线段l的距离，记作d(P，l)．(1)求点P(1,1)到线段l：x－y－3＝0(3≤x≤5)的距离d(P，l)；(2)设l是长为2的线段，求点的集合D＝{P|d(P，l)≤1}所表示的图形面积；(3)写出到两条线段l1，l2距离相等的点的集合Ω＝{P|d(P，l1)＝d(P，l2)}，其中l1＝AB，l2＝CD，A，B，C，D是以下三组点中的一组．对于以下三种情形，只需选做一种，总分值分别是①2分，②6分，③8分；假设选择了多于一种的情形，那么按照序号较小的解答计分．①A(1,3)，B(1,0)，C(－1,3)，D(－1,0)②A(1,3)，B(1,0)，C(－1,3)，D(－1，－2)③A(0,1)，B(0,0)，C(0,0)，D(2,0)【答案】(1);(2)4＋π;(3)参考解析(2)不妨设A(－1,0)、B(1,0)为l的两个端点，那么D为线段l1：y＝1(|x|≤1)、线段l2：y＝－1(|x|≤1)、半圆C1：(x＋1)2＋y2＝1(x≤－1)、半圆C2：(x－1)2＋y2＝1(x≥1)所围成的