三角函数知识点归纳

邹平一中2020级高一数学期末复习学案01三角函数知识点归纳一、任意角与弧度制1．任意角(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(按旋转方向不同分为正角、负角、零角.,按终边位置不同分为象限角和轴线角.))(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．(3)象限角与轴线角2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.角α的弧度数公式|α|＝eq\f(l,r)(l表示弧长)角度与弧度的换算①1°＝eq\f(π,180)rad；②1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°弧长公式l＝|α|r扇形面积公式S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r23．任意角的三角函数一、定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sinα＝eq\a\vs4\al(y)，cosα＝eq\a\vs4\al(x)，tanα＝eq\a\vs4\al(\f(y,x))(x≠0)．二、常用结论汇总——规律多一点(1)一个口诀：三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦．(2)三角函数定义的推广：设点P(x，y)是角α终边上任意一点且不与原点重合，r＝|OP|，则sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．三、特殊角的三角函数：角不存在不存在3.1象限角及终边相同的角例1、若角α是第二象限角，则eq\f(α,2)是()第一象限角B．第二象限角C．第一或第三象限角D．第二或第四象限角例2、的终边在第三象限，则的终边可能在（）A．第一、三象限B．第二、四象限C．第一、二象限或轴非负半轴 D．第三、四象限或轴非正半轴3.2三角函数的定义例1、已知角α的终边经过点P(－x，－6)，且cosα＝－eq\f(5,13)，则eq\f(1,sinα)＋eq\f(1,tanα)＝________.例2、已知角α的终边经过点(3，－4)，则sinα＋eq\f(1,cosα)＝________.3.3、三角函数符号的判定例1、已知且则的终边落在()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3.4扇形面积问题1．已知一个扇形的弧长和半径都等于2，则这个扇形的面积为（）．A．2 B．3 C．4 D．6二、同角三角函数的基本关系与诱导公式1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；(2)商数关系：tanα＝eq\f(sinα,cosα).同角三角函数的基本关系式的几种变形(1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cosα)；cos2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sinα)；(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα.(2)sinα＝tanαcosαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).2．诱导公式“奇变偶不变，符号看象限”公式一：sin(α＋2kπ)＝sinα，cos(α＋2kπ)＝cos_α，其中k∈Z.公式二：sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，tan(π＋α)＝tanα.公式三：sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cos_α，．公式四：sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α，.公式五：sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝cos_α，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝sinα.公式六：sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝cos_α，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝－sin_α.诱导公式可概括为k·eq\f(π,2)±α的各三角函数值的化简公式．口诀：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指eq\f(π,2)的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则函数名称要变(正弦变余弦，余弦变正弦)；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指：把α看成锐角时，根据k·eq\f(π,2)±α在哪个象限判断原三角函数值的符号，最后作为结果符号．B.方法与要点一个口诀1、诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．2、四种方法在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tanα＝eq\f(sinα,cosα)化成正、余弦．(2)和积转换法：利用(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ的关系进行变形、转化．（、、三个式子知一可求二）(3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ=sin＝taneq\f(π,4)（4）齐次式化切法：已知，则三、三角函数的图像与性质一、基础知识1．作正弦函数和余弦函数的简图2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RReq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x∈R，且x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))值域[－1,1][－1,1]R奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)＋2kπ))(k∈Z)上是递增eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2kπ，\f(3π,2)＋2kπ))(k∈Z)上是递减函数在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是递增函数，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是递减函数在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))(k∈Z)上是递增函数周期性T=2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是eq\a\vs4\al(π)对称性对称轴是x＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)，对称中心是(kπ，0)(k∈Z)对称轴是x＝kπ(k∈Z)，对称中心是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))(k∈Z)对称中心是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))(k∈Z)二、常用结论1．对称与周期的关系正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期．2．与三角函数的奇偶性相关的结论(1)若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．(2)若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．(3)若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．2．有关周期的2个结论(1)函数y＝|Asin(ωx＋φ)|，y＝|Acos(ωx＋φ)|，y＝|Atan(ωx＋φ)|的周期均为T＝eq\f(π,|ω|).(2)函数y＝|Asin(ωx＋φ)＋b|(b≠0)，y＝|Acos(ωx＋φ)＋b|(b≠0)的周期均为T＝eq\f(2π,|ω|).3、研究函数性质的方法：类比于研究的性质，只需将中的看成中的。函数y＝Asin（x＋）（A＞0，＞0）的性质。（1）定义域：R（2）值域：[-A,A]（3）周期性：①和的最小正周期都是。②的最小正周期都是。函数y＝|Asin(ωx＋φ)|，y＝|Acos(ωx＋φ)|，y＝|Atan(ωx＋φ)|的周期均为T＝eq\f(π,|ω|).函数y＝|Asin(ωx＋φ)＋b|(b≠0)，y＝|Acos(ωx＋φ)＋b|(b≠0)的周期均为T＝eq\f(2π,|ω|).（4）单调性：函数y＝Asin（x＋）（A＞0，＞0）的单调增区间可由2k－≤x＋≤2k＋，k∈z解得；单调减区间可由2k＋≤x＋≤2k＋，k∈z解得。在求的单调区间时，要特别注意A和的符号，通过诱导公式先将化正。四、函数的图像和三角函数模型的简单应用一、基础知识1．函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)振幅周期频率相位初相AT＝eq\f(2π,ω)f＝eq\f(1,T)＝eq\f(ω,2π)ωx＋φeq\a\vs4\al(φ)2．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：ωx＋φ0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πx－eq\f(φ,ω)eq\f(π,2ω)－eq\f(φ,ω)eq\f(π－φ,ω)eq\f(3π,2ω)－eq\f(φ,ω)eq\f(2π－φ,ω)y＝Asin(ωx＋φ)0eq\a\vs4\al(A)0－A03．由函数y＝sinx的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法(1)两种变换的区别①先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；②先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是eq\f(|φ|,ω)(ω>0)个单位长度．(2)变换的注意点无论哪种变换，每一个变换总是针对自变量x而言的，即图象变换要看“自变量x”发生多大变化，而不是看角“ωx＋φ”的变化．eq\a\vs4\al(考点一求三角函数的单调区间)[典例](2017·浙江高考)已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－2eq\r(3)sinxcosx(x∈R)．(1)求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)))的值；(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间．1．函数y＝|tanx|在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(3π,2)))上的单调递减区间为________．2．函数g(x)＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2x＋\f(π,3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))))的单调递增区间为________．eq\a\vs4\al(考点二求三角函数的值域最值)[典例](1)函数f(x)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的值域为()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(3,2)))B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，3))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3\r(3),2)，\f(3\r(3),2)))D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3\r(3),2)，3))(2)函数f(x)＝sin2x＋eq\r(3)cosx－eq\f(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))))的最大值是________．1.eq\a\vs4\al(变条件)若本例(1)中函数f(x)的解析式变为：f(x)＝3coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))，则f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的值域为________．2.eq\a\vs4\al(变条件)若本例(2)中函数f(x)的解析式变为：函数f(x)＝sinx＋cosx＋sinxcosx，则f(x)的最大值为________．eq\a\vs4\al(考点一三角函数的周期性)[典例](1)函数f(x)＝eq\f(tanx,1＋tan2x)的最小正周期为()A.eq\f(π,4)B.eq\f(π,2)C．πD．2π(2)若函数f(x)＝2taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kx＋\f(π,3)))的最小正周期T满足1<T<2，则正整数k的值为________．2．若x＝eq\f(π,8)是函数f(x)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,4)))，x∈R的一个零点，且0<ω<10，则函数f(x)的最小正周期为________．eq\a\vs4\al(考点二三角函数的奇偶性)[典例]函数f(x)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)＋φ))，φ∈(0，π)满足f(|x|)＝f(x)，则φ的值为()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C.eq\f(5π,6)D.eq\f(2π,3)[解题技法]三角函数中奇函数一般为y＝Asinωx或y＝Atanωx的形式，而偶函数一般为y＝Acosωx＋b的形式．1．下列函数中，周期为π，且在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))上单调递增的奇函数是()A．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(3π,2)))B．y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,2)))C．y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))D．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))2．若函数f(x)＝eq\r(3)cos(3x－θ)－sin(3x－θ)是奇函数，则tanθ等于________．eq\a\vs4\al(考点三三角函数的对称性)[典例](1)已知函数f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,6)))(ω>0)的最小正周期为4π，则该函数的图象()A．关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，0))对称B．关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,3)，0))对称C．关于直线x＝eq\f(π,3)对称D．关于直线x＝eq\f(5π,3)对称(2)已知函数y＝sin(2x＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)<φ<\f(π,2)))的图象关于直线x＝eq\f(π,3)对称，则φ的值为________．1．若函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)，0))对称，则|φ|的最小值为()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3)D.eq\f(π,2)2．(2018·长春质检)函数f(x)＝2sin(2x＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<φ<\f(π,2)))，且f(0)＝1，则下列结论中正确的是()A．f(φ)＝2B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，0))是f(x)图象的一个对称中心C．φ＝eq\f(π,3)D．x＝－eq\f(π,6)是f(x)图象的一条对称轴考点一求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式[典例](1)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)，，则函数f(x)的解析式为()A．f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋\f(π,4)))B．f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋\f(3π,4)))C．f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)x＋\f(3π,4)))D．f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))(2)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，－\f(π,2)≤φ≤\f(π,2)))的图象上的一个最高点和它相邻的一个最低点的距离为2eq\r(2)，且过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(1,2)))，则函数f(x)＝________________.考点二函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与变换[典例]1．将函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))的图象上所有的点向左平移eq\f(π,4)个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得图象对应的函数解析式为()A．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(5π,12)))B．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(