高考数学第5章平面向量数系的扩充与复数的引入第4节数系的扩充与复数的引入教学案理

第四节数系的扩大与复数的引入[最新考纲

]

1.理解复数的观点，理解复数相等的充要条件

.2.

认识复数的代数表示法及其几何意义

.3.

能进行复数代数形式的四则运算，

认识两个详细复数相加、

减的几何意义．1．复数的有关观点复数的观点：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，此中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数，若b≠0，则a＋bi为虚数，若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．复数相等：a＋bi＝c＋di?a＝c，b＝d(a，b，c，d∈R)．共轭复数：a＋bi与c＋di共轭?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．→a2＋b2.(4)复数的模：向量OZ的模r叫做复数z＝a＋bi的模，即|z|＝|a＋bi|＝2．复数的几何意义复数z＝a＋bi一一对应Z(a，b)一一对应→复平面内的点平面向量OZ＝(a，b)．3．复数的运算复数的加、减、乘、除运算法例设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；②减法：z－z＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；12③乘法：z1·z2＝(＋i)·(＋i)＝(ac－)＋(＋bc)i；abcdbdad④除法：z1a＋bia＋bic－diac＋bdbc－adz＝c＋di＝c－di＝22＋22i(c＋di≠0)．2c＋dic＋dc＋d复数加法的运算定律复数的加法知足互换律、联合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)z3＝z1＋(z2＋z3)．[常用结论]21＋i1－i1．(1±i)＝±2i；1－i＝i；1＋i＝－i.2．i4n4n＋1，i4n＋24n＋3＋＝1，i＝i＝－1，i＝－i(n∈N)．z113．·z＝|z|2＝|z|2，|zz＝|z·||，＝|z|znzn1212z2zz2|z|一、思虑辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若∈C，则2≥0.()aa(2)已知z＝a＋bi(a，b∈R)，当a＝0时，复数z为纯虚数．()(3)复数z＝＋i(a，∈R)的虚部为i.()abbb(4)方程x2＋x＋1＝0没有解．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×二、教材改编1．若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为()A．－1B．0C．1D．－1或1A[∵z为纯虚数，∴x2－1＝0，∴x＝－1.]x－1≠0，2．在复平面内，向量→对应的复数是→对应的复数是－1－3i，则向量→2＋i，向量对ABCBCA应的复数是()A．1－2iB．－1＋2iC．3＋4iD．－3－4i→→→→→[∵CA＝CB＋BA＝CB－AB＝－1－3i－2－i＝－3－4i，应选D.]1＋z3．设复数z知足1－z＝i，则|z|等于()A．1B．2C．3D．21＋zi－1[1－z＝i，则z＝1＋i＝i，∴|z|＝1.]4．已知(1＋2i)z＝4＋3i，则＝________.z4＋3i4＋3i1－2i2＋i[由(1＋2i)z＝4＋3i得z＝1＋2i＝5＝2－i.∴z＝2＋i.]考点1复数的观点复数的分类、复数相等、复数的模、共轭复数的观点都与复数的实部和虚部有关，因此解答与复数有关观点有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即＋i(a，abb∈R)的形式，再依据题意列方程(组)求解．1.若复数(2－)＋i为纯虚数，则实数的值为()mmmmA．－1B．0C．1D．22m－m＝0，C[由纯虚数的观点得≠0，得m＝1，应选C.]ma2．(2019·长沙模拟)已知i为虚数单位，若复数z＝1－2i＋i(a∈R)的实部与虚部互为相反数，则a＝()A．－5B．－115C．－3D．－3D[z＝aa1＋2ia2a＋5＋i＝1＋2i＋i＝＋5i，1－2i1－2i5a＋i(a∈R)的实部与虚部互为相反数，a2a＋55由于复数z＝因此－＝，解得a＝－.1－2i553应选D.]3．(2019·唐山模拟)已知z)＝2＋i，则z(z的共轭复数)为(1－iA．－3－iB．－3＋iC．3＋iD．3－i[由题意得z＝(2＋i)(1－i)＝3－i，因此z＝3＋i，应选C.]4．(2018·全国卷Ⅰ)设z1－i＋2i，则|z|＝()＝1＋i1A．0B.2C．1D.21－i1－i2C[法一：由于z＝1＋i＋2i＝1＋i1－i＋2i＝－i＋2i＝i，因此|z|＝1，故选C.1－i1－i＋2i1＋i－1＋i－1＋i|－1＋i|法二：由于z＝1＋i＋2i＝1＋i＝1＋i，因此|z|＝1＋i＝|1＋i|＝2＝1，应选C.]2解决此类时，必定要先看复数能否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确立实部和虚部．考点2复数的运算复数代数形式运算问题的解题策略复数的加、减、乘法：复数的加、减、乘法近似于多项式的运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别归并即可．复数的除法：除法的重点是分子分母同乘以分母的共轭复数，使分母实数化解题中要注意把i的幂写成最简形式．(1)(2019·全国卷Ⅲ)若z(1＋i)＝2i，则z＝( )A．－1－iB．－1＋iC．1－iD．1＋i2＋i2(2)1－i计算：＝( )1－2iA．2B．－2C．2iD．－2i(3)(2019·惠州模拟)已知复数z的共轭复数为z，若z(1－i)＝2i(i为虚数单位)，则z＝( )A．iB．i－1C．－i－1D．－i(4)(2019·武汉调研)已知复数z知足z＋|z|＝1＋i，则z＝()A．－iB．iC．1－iD．1＋i2i2i1－i(1)D(2)A(3)C(4)B[(1)由题意得z＝1＋i＝1＋i1－i＝1＋i，应选D.2＋i1－i2－2＋i2i2－4i(2)1－2i＝1－2i＝1－2i＝2，应选A.2i2i1＋i(3)由已知可得z＝1－i＝1－i1＋i＝－1＋i，则z＝－1－i，应选C.(4)法一：设z＝a＋i(，b∈R)，则z＋|z|＝(a＋a2＋2)＋bi＝1＋i，因此baba＋a2＋b2＝1，a＝0，因此z＝i，应选B.＝，解得b＝1，b1法二：把各选项代入考证，知选项B知足题意．](1)在只含有z的方程中，z近似于代数方程中的x，可直接求解；(2)在含有z，z，|z|中起码两个的复数方程中，可设z＝＋i，，∈R，变换方程，abab利用两复数相等的充要条件得出对于a，b的方程组，求出a，b，进而得出复数z.1.(2018·全国卷Ⅲ)(1＋i)(2－i)＝()A．－3－iB．－3＋iC．3－iD．3＋iD[(1＋i)(2－i)＝2－i＋2i－i2＝3＋i.]α2．对于两个复数α＝1－i，β＝1＋i，有以下四个结论：①αβ＝1；②β＝－i；③αβ＝1；④α2＋β2＝0，此中正确结论的个数为()A．1B．2C．3D．4α1－i1－i2C[αβ＝(1－i)(1＋i)＝2，①不正确；β＝1＋i＝1＋i1－i＝－i，②正确；α2222β＝|－i|＝1，③正确；α＋β＝(1－i)＋(1＋i)＝－2i＋2i＝0，④正确．]3．(2019·贵阳模拟)设i为虚数单位，复数z知足i(z＋1)＝1，则复数z＝()A．1＋iB．1－iC．－1－iD．－1＋i1C[由题意，得z＝i－1＝－1－i，应选C.]4．已知a为实数，若复数2a＋i2020＝()z＝(a－1)＋(a＋1)i为纯虚数，则1＋iA．1B．0C．1＋iD．1－i[z＝(a2－1)＋(a＋1)i为纯虚数，则有a2－1＝0，a＋1≠0，得a＝1，1＋i20201＋121－i＝1－i.]则有1＋i＝1＋i＝1＋i1－i考点3复数的几何意义与复数几何意义有关的问题的一般解法第一步，进行简单的复数运算，将复数化为标准的代数形式；第二步，把复数问题转变为复平面的点之间的关系，依照是复数a＋bi与复平面上的点(a，b)一一对应．(1)(2019·全国卷Ⅰ)设复数z知足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则()A．(x＋1)2＋y2＝1B．(x－1)2＋y2＝1C．x2＋(y－1)2＝1D．x2＋(y＋1)2＝1(2)(2019·全国卷Ⅱ)设z＝－3＋2i，则在复平面内z对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(3)已知z＝(＋3)＋(－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是mmm(

)A．(－3,1)

B．(－1,3)C．(1，＋∞)

D．(－∞，－

3)(1)C(2)C(3)A

[(1)

设复数

z与i

分别表示复平面内的点

Z与点

P，则

P(0,1)

，且|z－i|表示复平面内点Z与点P之间的距离，因此点(，)到点(0,1)的距离为定值1，ZxyP因此Z的轨迹是以(0,1)为圆心，1为半径的圆，应选C.∵z＝－3＋2i，∴z＝－3－2i，∴在复平面内，z对应的点为(－3，－2)，此点在第三象限．m＋3＞0，(3)由已知可得复数z在复平面内对应的点的坐标为(m＋3，m－1)，因此m－1＜0，解得－3＜m＜1，应选A.]复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个复数对应的点，只要确立复数的实部和虚部即可．→1.如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是OA，→对应的点位于( )OB，则复数z·z12A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限→→[由已知OA＝(－2，－1)，OB＝(0,1)，因此z1＝－2－i，z2＝i，z1z2＝1－2i，它所对应的点为(1，－2)，在第四象限．]2．若复数z知足|z－i|≤2(i为虚数单位)，则z在复平面内所对应的图形的面积为________．2π[设z＝x＋yi(x，y∈R)，由|z－i|≤2得|x＋(y－1)i|≤2，因此x2＋y－12≤2，因此x2＋(y－1)2≤2，因此z在复平面内所对应的图形是以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆及其内部，它的面积为2π.