专题17 圆锥曲线的轨迹问题（解析版）-2023年高考数学复习大题题型专练（新高考）

专题17圆锥曲线中的轨迹问题

1.（浙江省杭州市八县市区2021-2022学年高二下学期期末数学试题）己知椭圆C的离心率为受，其焦点是双曲线

2

一一片=1的顶点.

3

（D写出椭圆C的方程；

（2）直线与椭圆C有唯一的公共点M,过点M作直线/的垂线分别交x轴、y轴于A（x,0）,8（0,y）两点，当

点M运动时，求点P（x,y）的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.

【答案】⑴三+y2=l

2

（2）轨迹方程2x2+丁=l,（x工0,yh0）,为椭圆2/+V=1除去4个顶点

【解析】

【分析】

（1）根据双曲线的顶点，结合椭圆离心率的公式与基本量的关系求解即可；

（2）根据题意可得直线/与椭圆C相切，故联立直线与椭圆的方程，利用判别式为0可得幺机的关系，再得到点M坐

标的表达式，从而得到过点M作直线/的垂线的方程，求得P（x,y）,结合椭圆的方程求解即可

（1）

222

设椭圆C的方程为，+斗=1,（〃>6>0）,a2=b2+c2,（c>0）,由题意，双曲线/一女=1的顶点为（土1,0）,故c=l.

又£=也，故°=血，故从=2-1=1,故椭圆C的方程为片+丁=1

a22

（2）

V2

由题意，直线/与椭圆C相切，联立（万+）'一得（1+2公卜2+46"+2加-2=0,故△=16公〃?2-4（1+2左2）（2〃?2-2）=0,

y=kx+m

,,../\,,.-2km2k,（2k\m2-2k'I.f2k1

a即n加2=2公+1.设材（%,九），则x”=,2,=——，故加=k\——\+m=-------=一，故----|.所以直线A3

\'\+2km\m）"im\mm）

的方程为y--=尤+"],EPy=-^-x—当y=O时,x=—―，故—,ol,当x=0时，x=-■—,故B（0,一-—|,

mmJkinm\mJm<mJ

故P[-常一/）,又〃获'故尸（兑力则M（2x,-V）,又M（2x,—y）在、+y?=1上，故IZU-+（_y/=i,即

2x2+y2=\,由题意可得xH0,y#0,故点尸（x,y）的轨迹方程为2x?+V=1,（万工0,尸0）,为椭圆2/+丁=1除去4

个顶点

2.（2022・青海•海东市第一中学模拟预测（文））已知动圆E过定点尸（2,0）,且），轴被圆E所截得的弦长恒为4.

（1）求圆心E的轨迹方程.

⑵过点尸的直线/与E的轨迹交于A,B两点,M（-2,0）,证明：点尸到直线AM,的距离相等.

【答案】（l）V=4x

（2）证明见解析

【解析】

【分析】

（1）设E（x,y）,由圆的弦长公式列式可得：

（2）设A（x2J,8仁,%），设=2）,直线方程代入抛物线方程，应用韦达定理得王+々，中2，”•算

KM+怎M=°，得直线PM平分NAMB,从而得结论，再说明直线/斜率不存在时也满足.

（1）

设E（x,y）,圆E的半径r=J（x-2,+y2,圆心E到y轴的距离4=可，

由题意得/="2+4,

化简得y2=4x,经检验，符合题意.

（2）

设/:y=Z（x-2）,与E的方程联立，消去y得，A:V-（4*2+4）x+4Z;2=0.

-4+—2

设B（X2，y2）,贝人，**k,,

砧=4

k,；__y,必_-2）&（*2_2）_%（X]-2）（.+2）+Mw-2）（X|+2）..

AM5-R_（占+2）（占+2）.

Z（Xi-2）（x,+2）+Z（X2-2乂%+2）=2%（X]W-4）=0,

/-kAM+&0M=。，则直线PM平分ZAMB.

当直线/与x轴垂直时，显然直线PW平分NAMB.

综上，点P到直线AM,8M的距离相等.

3.（2022•江西・上高二中模拟预测（理））已知圆心在y轴上移动的圆经过点A（O,-4）,且与x轴、y轴分别交于点8（%,0）,

C（0,%）两个动点，记点。（%，%）的轨迹为曲线「

（1）求曲线「的方程；

（2）过点F（0,l）的直线/与曲线厂交于产，。两点，直线。P,OQ与圆£：丁+（尸2）2=4的另一交点分别为加，N（其

中。为坐标原点）,求AOMN与△OPQ的面积之比的最大值.

【答案】⑴f=4〉

【解析】

【分析】

（1）设动圆的圆心为H,则,半径为也尹，所以Ba?=£+[』/]化简整理即可；（2）

分析可知直线斜率存在，设丫=履+1,尸&方），<2（%,%），联立得士+迎=4%,再求出直线0P的方程为

xr.6464

y=?x,直线。。的方程为y言x,分别与圆联立求出与=而下，"而所以

SA（,„V\OM\x\ON\1024

器=胃避=（16+可（16+引，展开再代入韦达定理,分析求解即可■

（1）

设动圆的圆心为H,则”（0,丛广），半径为用回，

8〃2=x；,化简得：x；=4%,即「的方程为V=4y；

（2）

当直线/的斜率不存在时，直线/为：x=0,此时与抛物线只有一个交点，不符合题意；

当直线/的斜率存在时，设过尸（0,1）的直线方程为》=依+1，P（内/），。（孙丫2），联立方程：

x2—4y

<,彳导工2—4履一4=0,%+工2=4%,xx=-4,

y=kx+i]2

则直线OP的方程为y="x=3,直线。。的方程为，

Xi4x24

（x-2），y2=46464

联立方程：与,解得知=哈‘同理"吟’

4.

|。尸|=旧+父=Jx<+77=%严产，画=&+£=卜+a=人严苫，

Vlo4Vlo4

16yjl6+x；16小16+x；

s八OMN=|。-冈ON|=F+x；x161=1024

2

SAOPQ|OP|x|OQ|।J16+x,.1516+.（16+x：）（16+x；）

MiI4x\x214

_________1024_____________________1024____________1024_64

2

256+16（x；+x；）+x；x；256+16[（%,+x2）-2x,x21+16256^+40025+16公

显然当左=0时最大，最大值为去；

64

综上，r的方程为V=4x,4MN与△OPQ的面枳之比的最大值为：

4.(2022・河南省兰考县第一高级中学模拟预测(理))已知点可力,0),平面上的动点5到尸的距离是5到直线而;+4=0

的距离的正倍，记点S的轨迹为曲线C.

2

⑴求曲线C的方程；

(2)过直线/：y=2上的动点尸(5,2乂6>2)向曲线C作两条切线《，£4交x轴于交y轴于N,4交x轴于T,交y

轴于Q,记VPNQ的面积为耳，△尸用T的面积为邑，求5「邑的最小值.

【答案】⑴《+>2=1

4

(2)48

【解析】

【分析】

(1)设S(x,y)是所求轨迹C上的任意一点，根据题意列出方程，即可求解；

(2)设直线的方程分别为y=K(x-s)+2,y=似x-s)+2,求得M,N,T,Q的坐标，求得S/S,=s?•争+3―2,

Kk2

4v34S2(S2+12)

联立方程组求得△=(),得到4+网=:工温月=岛，化简得到s「s,=八令s2-4=f(f>0),结合基本

s—4-43(5"-4)

不等式，即可求解.

(1)

解：设S(x,y)是所求轨迹C上的任意一点，

由题意知动点S到尸(6,0)的距离是S到直线小+4=0的距离的半倍，

可得J(x-扬=亭

4，整理得工+y2=l,

X+-尸

64-

即曲线C的方程为工+V=i.

4'

⑵

解：设宜线34的方程分别为y=K(x-s)+2,y=&(x-s)+2,

可得N（0,2fs）,0（0,2-卷）,“5-^2,0|,7-5-p0

%

I122

所以AS'jNQlk/jy/MTluiZ/-7对库-日

乙乙，K-）AC|

=/.(h-kj。=$2.2+&-2,

k}k2k】k2

jy=%(x-s)+2

联立方程组,整理得(4%2+1)——8〃(公一2»+4(2-抬)2-4=0,

h+r=1

则A=64(1-2>I_4(4r+[)[4(2_fo)2-4]=0,

整理得［2-4）/-4抬+3=0,所以/林2=p^

心+%¥16s2所咋+>/2

所以

2

kyk23(5-4)

4s2(Y+12)

代入上式,可得Sj-S=s2

23(.*-4)3(，*-4)

令$2-4=f(r>0),

S「S,=|4(f+?：+16)[=寸卡?+20卜g.(2〃.1+20)=48,

当且仅当f=*64时，即f=8时，即s=26r-时，的最小值为48.

t

5.（2022•重庆南开中学模拟预测）已知点尸（血,0）,动点M（x,y）到直线/：%=2应的距离为d,且d=0|MF|,记M

的轨迹为曲线C.

⑴求C的方程；

（2）过M作圆a：/+y2=g的两条切线〃p、MQ（其中户、。为切点），直线用尸、MQ分别交C的另一点为A、B.从

下面①和②两个结论中任选其一进行证明.

①|尸4归陷为定值;

®\MA\=\MB\.

22

【答案】⑴三+二=1

42

（2）条件选择见解析，证明见解析

【解析】

【分析】

（1）根据已知条件可得出关于x、y的等式，化筒后可得出曲线c的方程；

（2）设材（知儿）、A（x“yJ、B（x2,y2）,分x；=g、石二g两种情况讨论，在第一种情况下，直接验证OMLOA；

在第二种情况下，设直线M4的方程为丫=履+机，由直线与圆相切结合韦达定理可得出

选①，分析出RtAMOPsRQAOP,利用三角形相似可求得|幺卜|加|的值；

选②，分析可知|0川=|。却，结合勾股定理可证得结论成立.

（1）

解：由题意知|2应—小在/-⑹二丁,两边平方整即得月+2丁=4,

22

所以，曲线c的方程为±+±=1.

42

（2）

证明：设必（为九）、A（X[,y）、B（x,,y2）,

当片=5时，则不妨设点例则点-一7|或"[―一

此时丽•丽=0，则QW_LO4；

当时，设直线M4:y=Ax+〃z，

由直线MA与圆O：Y+y2=g相切可得的—=1，即31=4（1+公），

y=loc-}-in2

可得（2必+l）f+4kmx+2m—4=0,

联立2

x+2y2=4

△=16公疗一4（2公+1）（2济一4）=8（4公+2-也*（4公+1）>0,

由韦达定理可得%+玉=-=三，%々=筌二六，

ZK11Zk+1

2

则OM-OA=x（）xy+y（）y=%0%（）+（5+，〃）（g+间=（1+公房办+Am（%oH-xJ+w

（1+/2）0疗一4）一4/>+疗（1+2标）3病一4（1+巧

二0,

1+2/­1+2/

所以，OMVOA,同理可得。

选①，由OW_LQ4及OP_LAM可得RlzjWOPsRsAOP,

则需=尚，所以，|PMHPA|=|OP|L：

选②，出。及OMJ_OB可得：A、。、B三点共线，则=

X|M4|2=\OA(+\OMf=|OB|2+|OM|2=|MB|2,因此，|MA|=M却.

6.(2022婀南郑州三模(理))在直角坐标系》伽中，曲线6的方程为产+(丫-1)2=1.P为曲线G上一动点，且丽=2丽,

点。的轨迹为曲线C?.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.

⑴求曲线G，C。的极坐标方程；

(2)曲线G的极坐标方程为22=高而，点M为曲线G上一动点，求|画的最大值.

【答案】⑴0=2sin，；p=4sin。

(2)5

【解析】

【分析】

(1)利用直角坐标和极坐标的互化关系求G的极坐标方程，利用代入法求C2的极坐标方程；

(2)M为］+＞2=1上一点，。为V+(y_2)2=4上一点，可知21111ax=|肱"皿+2,即可求解.

(1)

X=OCOS0.,

.。代入/+("1)-=1得0=2sin，，

{y=psin夕

则曲线G的极坐标方程为夕=2sin。，

设点P的极坐标为(4,4),则Po=2sin6»0,

点。的极坐标为(。,。)，由丽=2而得即＜"*=5°,

将，自＞2“代入。0=2sin%得0=4sin，，

所以点。轨迹曲线C2的极坐标方程为。=4sin。；

(2)曲线G直角坐标方程为5+V=1,设点例(&COSQsin。)，

2

曲线C2的直角坐标方程为炉+(y-2)=4,则圆心为N(0,2),

风=1叽+2,

B|J\MN\=+(sin3-2『二J-sir^o-dsin3+6

当sin°=T时,|MV舄=3,所以2kx=3+2=5.

7.(2022•山东•肥城市教学研究中心模拟预测)在平面直角坐标系，中，己知4出两点的坐标分别是(-30),(石,0),

直线4,8,48相交于点B,且它们的斜率之积为g.

⑴求点B的轨迹方程；

(2)记点B的轨迹为曲线C,川,〃P,。是曲线。上的点，若直线“V,PQ均过曲线C的右焦点尸且互相垂直，线段

的中点为R,线段尸。的中点为T.是否存在点G,使直线RT恒过点G,若存在，求出点G的坐标，若不存在，说明

理由.

【答案】(吟-9=1("±@；

⑵存在，(3,0).

【解析】

【分析】

(1)根据直线斜率公式，结合已知等式进行求解即可；

(2)设出直线方程与双曲线方程联立，根据一元二次方程根的判别式、根与系数关系、直线斜率公式进行求解即可.

(1)

设M(x,y),因为直线相交于点B,且它们的斜率之积为:，

VV1

所以^^=晨

整理可得三-y2=],

3

所以点8的轨迹方程为弓-y2=l(X*土百).

(2)

因为曲线C的方程为。-y2=l(XH±G),

所以直线MN,P。的斜率都存在且不为0.

设直线MN：y=k(x-2),则直线PQ：y=-l(x-2),

k

设

y=/:(x-2)

由<232—3(w+⑹可得："2_i)x2_i2%2x+⑵2+3=0,

当次2-1=0时，即％方程为Yx+7=0,此时只有一解，不符合题意，

当弘2-1M0时，△=144/-4(3公-1)(12公+3)=12(/2+1)>0,

由韦达定理可得：%+々=」受，所以点R的横坐标为4=上&+2)=—衿，

3人123%1

6k2.2k

代入直线MN：y=M*-2)可得：y=k(x-2)=k目一2

KK3二一1

所以线段MN的中力:R

6_2

用"4替换左可得/=卢=3，％=〃互=言

所以线段p。的中点T（鼻，言］,

—kJ-kJ

2k-2kz、

当心+1nlk一素733P2M3")+2k伊2-1).2k

T七±1M，%-*6公(3-公)-6"2-『3(-2)'

3k23-k2

2k2k6

直线RT的方程为："立=死不(、-薮记)，

整理可得：y=-^~rx——------^-7

-3(1-/)3(1-83-%23-公

2k2k6,、2k2k9-3k22k,小

=-----5-*X------7(z-----z-F1)=-----z-X------z------z-=-----z-(X—3)

3(1—/)3-k23(1-公)3(1-A;2)3-k23(1-Jt2)3(1-Jt2)

此时直线RT过定点G（3,0）,

若尢=±1时,

则R(3,l),7(3,—1),或R(3,-l),T(3,l),直线RT的方程为x=3,

此时直线RT也过点G（3,0）,

综上所述：直线RT过定点G（3,0）

8.（2022•河北张家口•三模）已知5＞。＞0,点A（O,、&）,^［。，卓，

，动点尸满足|PA|=0|PB|,点P的轨迹为曲

线C.

⑴求曲线C的方程；

22

（2）直线，=仙+m与曲线C相切，与曲线£:二-鼻=1交于M、N两点，且/MON=g（O为坐标原点），求曲线E的离

a"b~2

心率.

【答案】（\）x2+y2=h\

⑵6

【解析】

【分析】

（1）根据两点间距离距离公式，结合已知等式进行求解即可；

(2)根据曲线切线的性质，结合一元二次方程根的判别式、根与系数关系、平面向量垂直的性质、双曲线的离心率公

式进行求解即可.

(1)

设P(x,y),由IPA1=应IPBI得后于7^=a•[F+y-^-b，整理得/+/="即为曲线C；

(2)

•.•y=H+帆与曲线C相切，..)="7四〒，即〃=」J.

yj\+k2l+k2

设M(5，X),N(XZ，%)，

将y="+W代入曲线E整理得：万-a%*-2片切+。"2)=0,

加一/无2H0,A=4a2尸(加2+b2_a2k2)>o,

—2a2kma2m2+a2b2

二不+々=和下，叱2=日」

71..

•：/MON=3,:.OMON=0^即％%+乂%=0・

k2a2b2-m2b2

yy=(履|+in)(kx+tri)=lcxx+km(x、+x)+nr

22[22a2k2-b2

a2nr+a2b2k2a2b2-in2b2整理得Fa2b2

------------------1--------------------

a^-b2(^k2-b2k2+\b2-a2

:.-^y=h2,即层=2/,c2=3a2,e=B

b-a

故曲线E的离心率为g.

9.(2022•河南•南阳中学三模(文))已知点。为圆。：f+y2=］上一动点，过点。分别作x轴、y轴的垂线，垂足分

别为A、B,连接BA并延长至点P,使得|R4|=1,点P的轨迹记为曲线C.

(1)求曲线C的方程;

(2)设直线，与曲线C交于不同于右顶点Q的M,N两点，且QMLQN,求|。加卜|。凶的最大值.

丫2

【答案】⑴土+V=1

4.

~32

⑵——

25

【解析】

【分析】

(1)注意到4为8P的中点，由相关点法，即可求得曲线C的方程；

⑵先判断直线/恒过点7怎，0),而|。4|刎即为△QMN面积的两倍，故将问题转化为求△QWV面积的最大值.

(1)

设点尸(x,y),0a)，为)，则A(%,o)、5(0,%)，由题意的|AB|=1，因为=

所以丽=衣而丽=(%-%),AP=(x-x0,y),

所以广F代入圆。：f+y2=l得曲线C的方程为三+2=「

4

1为=7

⑵

由题意知，直线/的斜率不为0,则不妨设直线/的方程为x=6+，〃(m#2).

V2=]

联立得彳+)'=1消去》得92+4}2+2卜政+1一4=0,

x=ky+m

A=4%2加-4件+4)(〃"4)＞0,化简整理,得公+4＞病.

设N®,%),则%+芳％=^^.

因为QMJLQN,所以西•丽=0.

因为Q(2,0),所以轲=(.一2,%),QN=(x2-2,y2),得(士—2)&一2)+乂必=。，

将菁=外|+机，々=b'2+机代入上式，得(X+1)%%+%("?-2)(必+%)+(机-2『=0,

得仅").容+如"一2).熟+(“一2)23

解得机=《或机=2(舍去)，

所以直线/的方程为x=@+4，则直线/恒过点T,0

825(&2+4)-36

所以5衡=3|。斗|%-%|=?%+4yM=

--X----------

25V(公+4)-5------

设『=七，则0＜区；，S-£xJ-36『+25r,

易知y=4xJ—36产+25/在(。，]|上单调递增,所以当r时，S,2MN取得最大值为

132

又SNMN="。叫・例，所以他MMML=2双刎)111ax=石•

10.(2022•河南・宝丰县第一高级中学模拟预测(理))已知点A(l,0),动点〃到直线X=4的距离与到点A的距离的比

为2,设动点M的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程；

⑵若点3(-1,0)，点尸，。为曲线C上位于x轴上方的两点，且PA〃Q8,求四边形PA8Q的面积的最大值.

【答案】⑴工+?=1

43

(2)3

【解析】

【分析】

（1）直接法求点的轨迹方程；

（2）由已知得A,8为所求椭圆C的焦点，通过计算|PE|=|QF|,可得四边形PEFQ为平行四边形，将所求四边形尸他。

的面积转化为求三角形POE的面积，从而得到$四边形厚地=2SN°£誓，利用换元法及导数法即可求出面积的最

大值.

⑴

|x-4|-----------

设M（x,y）,由题意得Jq—iy+y,=2,所以k-4|=24》一1）2+/,

两边平方，得（x—4）2=4（x—l）2+4y2,

22o2

化简，得乙+匕=1,即曲线c的方程为三+二=1.

4343

（2）

如图，由（1）知曲线C为椭圆，A,B为其焦点，延长R4与椭圆相交于另一点E,延长。8与椭圆相交于另一点F.

设直线PE1的方程为x=〃?y+i,2（片方），网七,为），

联立方程Z4+£3一=I’消去X并化简，得（3加+4）y2+6my—9=0,,

x=my+\

6m9

所以i=-五百，跖=-病丁

所以|PE|=J（X|-X2）2+（%-%）2=Jl+%2,（,+必）2_4）＞|必

=讨|一4。不=^1.

VI3疗+4）3川+43m~+4

因为PA//Q3,所以PE//QF,设。F的方程为x=，畋—1,

同理可求|QF|=1；（1：Z）,所以|P£|=|QF|,所以四边形PMQ为平行四边形,

所以四边形PABQ的面积S四边形PABQ=S^PQE=2s△p0E•

l-ll1

点0到直线PE的距离d=11=-；==

+，1+机~

12(l+/n216，1+疗

所以=-------o-----------X-]=----------z--------

3nr+4Ji+*3"+4

所以S四边形皿。=2SNOE=子■

c_⑵_12

令Jl+疗=(21),所以四边物“畋一m石一彳，

令一+；,则八3->亨1,显然当4时，y>0.

所以y=3f+；在上单调递增，所以当1=1,

即m=o时，y取得最小值，且^^=4,

所以(S四边物色)心=3,即四边形PA8Q的最大值为3.

11.(2022♦全国•模拟预测(理))已知4-2,0),8(2,0),动点M(x,y)满足AM与的斜率之积为-L记M的轨迹

4

为曲线C.

(1)求点M的轨迹方程;

(2)点P,。在C上，且APLA。，求AAPQ面积的取值范围.

【答案】⑴三+V=l(x*±2)

4

⑵21。弱16]

【解析】

【分析】

(1)设点M(x,y),由坐标分别求出直线AM、8M的斜率，结合斜率之积为得到关于x,V得方程，化简即可，

注意考虑斜率不存在，得到取值范围；

(2)直线AP的斜率为腹，由点斜式得到直线AP的方程，联立椭圆C消去V得到关于了的一元二次方程，联立韦达

定理求得刖再由弦长公式求得附，因为APU。，则直线AQ的斜率为-)同理可得阙，代入^^=；阉阙

KN

化简得到关于左的式子，利用换元法和对勾函数得到取值范围.

(1)

直线AM的斜率为kAM=-^-(xw-2),直线BM的斜率为kRM=-J(xw2),

x+2x-2

由题意可知：kAM%=-7,-7=-4=丁+4丫2=4(xw±2),

x+2x-24

2

故曲线C的方程为：y+/=l(x^±2).

⑵

不妨设P在x轴的上方，直线AP的斜率为比则%>0.

则直线AP的方程为：y=A(x+2),联立椭圆C：\+)，2=l,

得（1+4k2*+16公x+16k2-4=0,即△=（16代『一叩+4用（搐公-4）=16>0,

则由韦达定理得：-24=竺£二苫=-8^+2

"1+4公1+4公

所以，

H=7i7F|s+2|=Vi7FT7^r=^^

由于APL4Q,所以AQ的斜率为直线AQ的方程为：y=-l(x+2),

Kk

以4代替4n|AQ|=4&a+1

二+4

4kdic°+18-X+i）8伏+工）

所以％"2=；|A刊A0=；4,1+r

X----------------x

1+4公/+4（1+4公）/2+4）4（Z+J_y+9

1，二8f8

令f=k+:，由于女＞0,所以此2,52-4产+9二，9.

K42+一

由于4/+彳9在此2时单调递增，所以£=2时面积最大，此时%”。=考16

0.1|,故"PQ面积的取值范围为(0,卷16.

综上：S&APQ€

25

12.(2022・四川•石室中学三模(理))已知点M(0,2百)，N(0,-20)，R(4,2后)，2(4,0),动点S,T满足启=几届,

MT=2AMR(/LeR),直线MS与N7交于一点P.设动点尸的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程;

(2)直线4：3x-2)，=O与曲线C交于A,B两点，G为线段AB上任意一点(不与端点重合)，倾斜角为a的直线6经过点

G,与曲线C交于E,尸两点.若」看三的值与点G的位置无关,求证：IGERGFI.

|(JA|*|GoI

。7

【答案】(1)二+二=1:

1612

(2)证明见解析.

【解析】

【分析】

(1)设P(x,y)，由M,P,S三点共线，得4(y—26)=一26〃，由N,P,T三点共线，得+26)=46x,消

去X即得解;

(2)不妨设点A在第一象限，设点G(2m,3附，其中若直线4的斜率不存在，则直线4的方程为x=2m,故

IMF

不为定值.若直线％的斜率存在，设直线4的斜率为人，则直线4的方程为》="-(2左-3)%.将直线/2的方程

IGA|•|GB|

代入曲线C的方程化简、整理得到韦达定理计算即得证.

⑴

解：由题意，知R&=（0,-26），从而S（4,26（1-2））,则Mg=（4,-27ii）.

设P（x,y）,贝IJ诂=［,广26），NP=（x,y+2^.

由M,P,S三点共线，得4（y-2月）=-2百/U.

由疝?=（4,0），得7（8尢2石），从而N^=（8/1,45国.

由N,P,T三点共线，得8〃y+2后）=4百x,消去；I得32（丁-12）=-24/,

整理得工+片=1,

1612

即曲线C的方程为工+£=1.

1612

⑵

证明：由题意并结合（1）易知（不妨设点A在第一象限），42,3）,B（-2,-3）.

设点G（2M,3/M）,其中-1＜加＜1,

则|G4|=岳（1一九）,\GB\=713（1+/M）,

所以|G4|-|G8|=13（l-，〃2）

若直线4的斜率不存在，则直线4的方程为x=2m,

此时王（2”,，12-3所1F（2m,-V12-3w2）,

\EF^12（4-/M2）

故IGAI-IGBI-13（l-w2j不为定值.

若注线，2的斜率存在，设直线4的斜率为人,则直线4的方程为丫=丘-（24-3）〃7.

将直线4的方程代入曲线C的方程化简、整理，得（4公+3）/-8切7（24-3）x+4（24—3）2机2-48=0.

\c（、8h〃（2k-3）4（2/-3）2疗-48

坟E（AX），厂（程必），川占+》2=-2—＞XtX2=~'

•'D^TK.十,3

所以|EF|2=（l+/）a_xJ

（1+公）｛64/加（2k-3）2-16（442+3）［（24-3）2/-12］｝

（4A2+3）2

48（1+左2）［（2&-3）2加2-06^+12）］

（4公+3『，

।EF|248（1+公）［（24一3）2病一（16公+12）］

“IGAHGBI=13（叱+3丫（苏-1）

因为」的值与的值无关，

IGAM|•|1CJDI

所以(2左一3)2=1622+12,解得A=-g,

所以与&=4噂=2m,

所以G是EF的中点，即|GE|=|GF|.

13.(2022・福建三明•模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，。为原点，尸。,0),过直线/：x=4左侧且不在x轴上的

动点P，作PH，/于点”,NHPF的角平分线交x轴于点M,且归川=2附用，记动点尸的轨迹为曲线C.

⑴求曲线C的方程；

(2)已知曲线C与x轴正半轴交于点A，过点S(-4,0)的直线乙交C于A,B两点,AS=ABS，点T满足W=/l而，其

中4<1,证明：N4TB=2NTSO.

v22

【答案】(1)二+匕v=l(y*0)

43'，

(2)证明见解析

【解析】

【分析】

(1)根据条件，代入动点P(x,y)(ywO)的坐标，化简即可；

(2)注意到S点在x轴上，所以人=乂，将2作为桥梁，合理利用，即可求解.

(1)

设p(x,y)(yWo),因为P〃〃x轴，所以NHPM=NPMF,

因为PM为的角平分线，所以ZHPM=NFPM,

\pf'\\MF\1

所以NFPM=ZPMF,B|J|MF|=|PF|,所以慌才=扁=万.

即化简整理得不+片=1,因为P不在x轴上，

\x-4\243

22

即曲线C的方程为:+q=1("0)

(2)

易知直线4的斜率存在且不为0,设4的方程为x=/ny-4(M*0).

K£=]

联立方程组43-，消x整理得（3加+4）y2—24my+36=0,

x=my-4

所以△=（一24〃）2-4x（3〃/+4卜36>0,得〃?>2或机<一2,

设A6,yJ,8（孙%），则%+%=常々，》以工乎了.

5m+43/7?+4

由福=2的得一H=-2%，所以4=丛，

%

设7（为,%）,由XT=4无,得%-X=4（必一%），

36

）[+为22），12yM=2x

3疗+4一3

所以为=

24机m

1+21+A7+%

必3/+4

3

所以/=my-4=mx——4=~1,

（）m

所以点了卜吟）在直线x=-l匕

且为W°，

乂因为s（-4,o）与A（2,0）关于直线X=—1对称,所以△7S4，是等腰三角形,

（或者证明直线TS与直线以］的斜率互为相反数）

所以NTSA=N%S,因为NA8=NTSA+NgS,所以ZA/B=2NTSO,

综上所述，ZAITB=2ZTSO.

14.（2022•江苏・南京市宁海中学模拟预测）已知平面上一动点P到定点F（l,0）的距离与它到定直线x=-1的距离相等，

设动点P的轨迹为曲线C

（1）求曲线C的轨迹方程

（2）已知点网2,2收），过点8引圆M:（x-4『+y2=r2（o<r<2）的两条切线BP；BQ,切线BP、8。与曲线C的另一交

点分别为P、Q，线段P。中点N的纵坐标记为4,求4的取值范围.

【答案】（l）/=4x；

⑵4的取值范围为卜6夜,-4夜）.

【解析】

【分析】

(1)根据曲线轨迹方程的定义求解；⑵设切线BP的方程为产勺(r2)+2行，切线B。的方程为产质(尸2)+2行，所以

勺+公=为"，勺鼠=殳二，再求出/=上士及=—20-竺在，即得解.

12r2-44-r228-r2

(1)

设P(x,y),

根据题意可得7(x-l)2+y=|x+1I，

化简得(x-l>+y2=(x+l)2,

所以y2=4x,

所以曲线C的方程为y2=4x,

(2)

由已知8(2,20),所以切线BP,BQ的斜率存在,

设切线BP的方程为y=4(x-2)+2/，

\2k.+2y/2\

则圆心M(4,0)到切线AP的距离d=।।=r,

日

所以(4一,)婷+8&匕+8-产=0,

设切线B